Minimalpolynom

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17.08.2022, 17:29	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Minimalpolynom Hallo Leute Es gilt zu zeigen, dass zwei 3x3-Matrizen genau dann ähnlich sind wenn ihr charakteristisches Polynom und ihr Minimalpolynom übereinstimmen. Minimalpolynom wurde dabei wie folgt definiert: Sei K abgeschlossen. $\begin{eqnarray} dim V \in \mathbb{R}, f \in End(V), \lambda_1,\dots,\lambda_s \end{eqnarray}$ Eigenwerte von f. Für $\begin{eqnarray} \lambda_i \end{eqnarray}$ sei $\begin{eqnarray} r_i \end{eqnarray}$ die Größe, des größten Jordanblocks zum Eigenwert $\begin{eqnarray} \lambda_i \end{eqnarray}$ Dann definieren wir das Minimalpolynom von f als: $\begin{eqnarray} m_f:= \prod\limits_{i}^{} (x-\lambda_i)^{r_i}\in K[x] \end{eqnarray}$ Also wenn die beiden Matrizen ähnlich sind, folgt ja sofort , dass das charakteristische Polynom gleich ist. Aber wie weiter? Hätte jemand einen Rat?
17.08.2022, 18:00	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Minimalpolynom Aus Ähnlichkeit folgt ja sofort, dass auch das Minimalpolynom gleich ist... aus Transitivität sind nämlich beide Matrizen ähnlich zur gleichen Jordan-Matrix und daraus wird ja das Minimalpolynom abgeleitet. Andersrum hatte ich ein Gegenbeispiel parat, aber das erfordert mindestens eine $\begin{eqnarray} 4 \times 4 \end{eqnarray}$ Matrix. Das besondere hier ist, dass es kaum 3x3-Jordan-Matrizen gibt. Das spannendste ist schon, wenn die Matrix einen dreifachen Eigenwert hat. Dann gibt es die Kombinationen: $\begin{eqnarray} r_i = 1 \end{eqnarray}$ => Die Jordanmatrix ist diagonal $\begin{eqnarray} r_i = 2 \end{eqnarray}$ => Die Jordanmatrix hat genau einen zweier-Block und einen Einer-Block $\begin{eqnarray} r_i = 3 \end{eqnarray}$ => Die Jordanmatrix ist ein Dreier-Block In jedem Fall ist die Jordanmatrix (bis auf potentielle Permutation im Fall $\begin{eqnarray} r_i = 2 \end{eqnarray}$ ) eindeutig definiert. Edit: Um es gegen $\begin{eqnarray} 4\times 4 \end{eqnarray}$ zu stellen. Hier kann bei $\begin{eqnarray} r_i = 2 \end{eqnarray}$ gleich zwei Fälle passieren: Es gibt 2 Zweier-Blöcke oder Es gibt einen Zweier-Block und 2 Einer-Blöcke. Die beiden Matrizen sind nicht ähnlich und das heißt die Aussage wäre falsch für $\begin{eqnarray} 4 \times 4 \end{eqnarray}$ . Für $\begin{eqnarray} 1\times 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 2 \times 2 \end{eqnarray}$ folgt es trivialerweise aus der $\begin{eqnarray} 3\times 3 \end{eqnarray}$ Aussage. Nachtrag: Ich bin ab morgen potentiell länger nicht verfügbar. Gerne jemand dann übernehmen.
18.08.2022, 12:56	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
okay. Und wenn die Jordanmatrix eindeutig definiert ist, dann folgt aus der Transitivität sofort, dass die beiden Matrizen ähnlich sind? Sehe ich das richtig?
18.08.2022, 14:44	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau.
18.08.2022, 18:14	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah super, dankeschön! Jetzt hätte ich allerdings noch ein paar Fragen zum Minimalpolynom... Diesmal ist das Minimalpolynom definiert, als das kleinste (vom Grad her) normierte Polynom einer Matrix A, sodass m(A)=0 ist. Jetzt soll man Wohldefiniertheit zeigen. und dass m jedes andere Polynom p mit p(A)=0 teilt.... Irgendwie steh ich da aufm Schlauch... ich seh schon nicht wieso das ganze wohldefiniert seien soll....
18.08.2022, 19:54	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Polynomdivision. Die Antwort ist immer Polynomdivision
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19.08.2022, 12:59	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay... ich hab jetzt eine Weile darüber nachgedacht. Entschuldige meine Blödheit, aber könntest du das nochmal genauer erklären? Meine Vermutung ist, dass das was damit zu tun hat, das die Polynomdivision irgendwann ein kleinstes Polynom erzeugt, weil der euklidische Algorithmus terminiert... Aber diese Vermutung allein ist noch zu vage, damit weiterzuarbeiten..
19.08.2022, 14:17	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Nimm an, du hast zwei Kandidaten $\begin{eqnarray} p,q \end{eqnarray}$ für das Minimalpolynom. Dann gibt es Polynome $\begin{eqnarray} s,r \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} p=sq+r \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} grad(r) < grad (q) \end{eqnarray}$ In die Gleichung kann man $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ einsetzen, um $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ loszuwerden. Dann muss man nur noch $\begin{eqnarray} s=1 \end{eqnarray}$ begründen.
19.08.2022, 19:18	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah schön. Ich hätte auch einen Widerspruchsbeweis gewählt. da nach Definition grad (r)< grad (q) ist und p(A)=0 ist und q(A) auch, muss grad (r)=-undendlich also r=0 sein. Ich glaube jetzt kann man argumentieren, dass das Minimalpolynom normiert ist um s=1 zu argumentieren, oder? und wie weiter? also für jedes Polynom p, dass unser minimalpolynom als Teiler hat, gilt p(A)=0 aber wieso MUSS m ein Teiler sein? Wieso kann es kein anderes Polynom geben, sodass p(A)=0 ist? Ich glaube ich hab da so ne Idee, wir können jedes Polynom p darstellen als p=qm+r wenn p(A)=0 ist und m(A)=0, dann ist 0=p(A)=qm(A)+r=r und somit r=0 , deshalb muss wenn p(A)=0 gilt, es ein vielfaches unseres eindeutigen Minimalpolynoms sein, oder überseh ich was?
19.08.2022, 19:30	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Auch wenn es kein Widerspruchsbeweis ist und nochmal
19.08.2022, 19:52	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach nein? Ich dachte der Widerspruch wäre, das man annimmt es gäbe zwei Polynome und dann schließt das diese bereits gleich sind, aber vielleicht hab ich mich da auch im Namen geirrt. Dankeschön jedenfalls!
20.08.2022, 07:32	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Nur eine kurze Anmerkung zum Widerspruch. URL und dein aktueller Beweis sagen "Seien $\begin{eqnarray} p,q \end{eqnarray}$ zwei Minimalpolynome. [...] Es gilt also $\begin{eqnarray} p =q \end{eqnarray}$ und Minimlpolynom ist also wohldefiniert." Ein Widerspruchsbeweis würde das jetzt noch einmal unnötig verkomplizieren: "Seien $\begin{eqnarray} p,q \end{eqnarray}$ zwei Minimalpolynome mit $\begin{eqnarray} p \neq q \end{eqnarray}$ . [...] Daraus folgt aber $\begin{eqnarray} p =q \end{eqnarray}$ , ein Widerspruch. Damit muss die Annahme $\begin{eqnarray} p \neq q \end{eqnarray}$ falsch sein und es gilt $\begin{eqnarray} p = q \end{eqnarray}$ . D.h. Minimalpolynom ist wohldefiniert."
20.08.2022, 11:18	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach so. Danke für die Erklärung.
20.08.2022, 12:45	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hätte da jetzt allerdings noch eine Frage zum Minimalpolynom; Wir sollen zeigen, dass das kgV von hinreichend vielen Minimalpolynomen von Vektoren, das Minimalpolynom der Matrix ergibt und daraus einen Algorithmus zur Berechnung des Minimalpolynoms finden... Wie darf ich mir das vorstellen? Das Minimalpolynom eines Vektor? Hätte da jemand vielleicht mal ein Beispiel? und wie komme ich dann zur Verifizierung diese Aussage?
20.08.2022, 13:10	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist das wirklich der exakte Wortlaut? Von einem Minimalpolynom für Vektoren habe ich noch nicht gehört. Ansonsten gehe ich davon aus, dass man auf die Formel aus deinem Ausgangspost kommen möchte. Edit: Wikipedia hat einen Algorithmus, auf den man vlt hinaus will. Nach Durchlesen habe ich aber leider keinerlei Intuition was zum Geier da passiert. Da muss ein Algebraiker her
20.08.2022, 14:29	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi okay, Danke. Ich glaub ich hab jetzt so eine Ahnung, was gemeint sein könnte... also ich vermute der Algorithmus läuft so: Man nimmt sich ein v und bestimmt dann ein Polynom, so dass p(A)*v=0 ist. Dass macht man für verschieden Vektoren v und das kgV der Polynome ist dann das Minimalpolynom. Aber WIESO das funktioniert, hab ich leider auch noch nicht verstanden...

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