Orthogonalisierung mit Grammatrix

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18.08.2022, 18:56	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Orthogonalisierung mit Grammatrix Hallo Leute Es ist folgende Grammatrix gegeben: $\begin{eqnarray} G:=\begin{pmatrix} 2 & 4 & -2 \\ 4 & 8 & -7 \\ -2 & -7 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ für eine Bilinearform b. Zu dieser sollen wir jetzt ausgehend von der Standardbasis eine Orthogonalbasis bestimmen. Ich denke man muss hier Gram-Schmidt verwenden: Also O1=B1 = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ O2=B2- $\begin{eqnarray} \frac{b(B2,O1)}{b(O1,O1)} \cdot O1 \end{eqnarray}$ Das kann man an der Grammatrix ablesen; O2= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}0 \\1\\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ - $\begin{eqnarray} \frac{4}{2} \cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Und hier fängt der Ärger an. Nach Gramschmidt müsste ich im nächsten Schrit insbesondere durch b(O2,O2) teilen. also durch: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}-2\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}^t\cdot G \cdot \begin{pmatrix}-2\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Das ist aber nach meinen Berechnungen gerade 0 . Wo ist mein Denkfehler?
21.08.2022, 14:58	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Orthogonalisierung mit Grammatrix Hallo ich habs jetzt nochmal durchgerechnet und komm immer noch auf 0, aber ich kann ja nicht durch 0 teilen? Weiß keiner wo der Hund begraben liegt?
21.08.2022, 16:29	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Orthogonalisierung mit Grammatrix Edit: Absolut falsch was ich hier hatte... Ich habe gerade die Aussage gefunden: Es gibt eine Orthogonalbasis gdw. die Bilinearform ein Skalarprodukt darstellt. Und das gilt hier nicht, ein Vektor mit $\begin{eqnarray} v^T G v = 0 \end{eqnarray}$ hast du ja mit $\begin{eqnarray} O_2 \end{eqnarray}$ sogar bestimmt. D.h. es gibt keine Orthogonalbasis.
21.08.2022, 17:24	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Orthogonalisierung mit Grammatrix Danke dir, auch wenn das wirklich sehr ärgerlich ist... Ich frag mich warum dann die Aufgabe so komisch gestellt wurde...
21.08.2022, 18:03	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Orthogonalisierung mit Grammatrix Ich muss mich korrigieren. Die Aussage war für eine Orthonormalbasis. Für eine Orthogonalbasis reicht schon, dass die Matrix symmetrisch ist. Nun hast du schon zwei Vektoren bestimmt, die orthogonal aufeinander stehen. Leider funktioniert Gram-Schmidt hier nicht (Algorithmus funktioniert nur sicher, wenn es ein Skalarprodukt ist). Aber du kannst ja einfach ein lineares Gleichungssystem aufstellen: Suche einen Vektor, der $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ -orthogonal auf $\begin{eqnarray} O_1, O_2 \end{eqnarray}$ steht.
21.08.2022, 18:25	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Orthogonalisierung mit Grammatrix mmh... das reicht? die Orthogonalität erreiche ich ja z.B. auch mit dem Vektor (-4 2 0)^t , der steht orthogonal auf beiden Vektoren 01 und 02, aber es fühlt sich komisch an, weil er ein skalares Vielfaches von 02 ist... so kann ich jawohl keinen 3 dimensionalen Vektorraum aufspannen... Ich will ja letztendlich eine Basis, also sollte mein Vektor auch noch linear unabhängig sein, oder nicht? So einen Vektor finde ich aber einfach nicht...
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21.08.2022, 19:11	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Unfassbar. Ich hätte nicht gedacht, dass man nicht alle orthogonalen Systeme zur orthogonalen Basis fortsetzen kann... wieder was gelernt. D.h. du kannst nicht mit $\begin{eqnarray} O_1 = e_1 \end{eqnarray}$ starten und hoffen, dass es am Ende gut geht. Die einzige Möglichkeit die mir einfällt, wäre 3 allgemeine Vektoren zu nehmen und die drei Orthogonalitätsgleichungen herzuleiten. Dann hat man 9 Variablen und 3 Gleichungen. Das sollte genug Freiheitsgrade sein, um sich eine Orthogonalbasis zu basteln... Aber schön ist es nicht.
25.08.2022, 17:42	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Orthogonalisierung mit Grammatrix Hallo eine Sache zur Grammatrix ist mir noch eingefallen... Weil wir hier die Grammatrix bezüglich der Standardbasis haben, kann man die Vektoren so einfach dranmultiplizieren... Für IRGENDeine Grammatrix gilt das aber nicht, oder? Dann muss man die Vektoren, die man dranrechnen will erst bezüglich der Basis darstellen für die die Grammatrix ist, oder?
25.08.2022, 18:12	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Orthogonalisierung mit Grammatrix Ich verstehe die Frage nicht so ganz: Jede Matrix hat implizit Informationen von Basen kodiert. D.h. sie erwartet und liefert ganz spezielle Darstellung bzgl. irgendeiner Basis. Ob es die Basis ist, die du erwartest, ist ein ganz anderer Punkt. Wenn du eine Orthogonalbasis zur Abbildung bestimmst, nimmst du die gleiche Referenzsicht an. Hier kannst du dir $\begin{eqnarray} (1,0,0) \end{eqnarray}$ als "irgendeinen" Vektor vorstellen, den man sich ausgesucht hat als man die Bilinearform als Matrix aufgeschrieben hat. Solange jeder sich unter $\begin{eqnarray} (1,0,0) \end{eqnarray}$ den gleichen Vektor vorstellt, ist alles gut. Das ist das was passiert wenn man "stumpf" rechnet. Es wird anders wenn du sagst "Für die Matrix wurde eine Basis gewählt, mir gefällt die Standardbasis besser. Ich rechne damit". Damit kommst du in die Situation alles zwischen deiner Welt und der Gramm-Matrix umzurechnen.
25.08.2022, 18:35	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Orthogonalisierung mit Grammatrix Ja so ungefähr hab ich das auch gemeint... Wenn wir z.B. eine Grammatrix bezüglich der Basis {(4,2),(3,2)} haben und b((1,0),(3,2)) ausrechnen wollen müssten wir doch (1,0) bezüglich der Basis, also als (1,-1) wählen, oder?
25.08.2022, 18:45	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Orthogonalisierung mit Grammatrix Ja mit einer großen Fußnote: Die Vektoren selbst sind in dargestellt bzgl. einer Basis. Üblicherweise einigt man sich heimlich auf die Standardbasis. Solange alle Vektoren die du hast, bzgl. der Standardbasis (oder wenigstens einer einheitlichen Basis dargestellt sind), passt das. Wenn wir die Standardbasis mal $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ nennen, dann wäre es sauber zu sagen $\begin{eqnarray} B'= \{ (4,2)_B, (3,2)_B \} \end{eqnarray}$ . Die Vektoren in der Basis $\begin{eqnarray} B' \end{eqnarray}$ sind dargestellt bzgl. $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ ! Wenn du jetzt $\begin{eqnarray} b( (1,0), (3,2)) \end{eqnarray}$ ausrechnen willst, hängt es davon ab wie die Vektoren dargestellt ist: Wenn es $\begin{eqnarray} b( (1,0)_B, (3,2)_B) \end{eqnarray}$ ist, musst du es wie vorgeschlagen hast, umrechnen. Wäre es jedoch $\begin{eqnarray} b( (1,0)_{B'}, (3,2)_{B'}) \end{eqnarray}$ dann sind das schon deine Vektoren für die Matrixmultiplikation. Denk dran, alles nur große Fußnote. Normalerweise unterdrückt man die ganzen Basen und einigt sich, dass man alle Vektoren bzgl. einer ausgewählten Basis darstellt, i.d.R. Standardbasis.
25.08.2022, 18:55	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Orthogonalisierung mit Grammatrix Ach prima, Danke! Wieder was verstanden.

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