Frage zum Beweis einer Gruppe

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KonverDiv Auf diesen Beitrag antworten »
Frage zum Beweis einer Gruppe
Hallo,

Wie kann ich prüfen, ob die Menge der invertierbaren Matrizen geschrieben als eine Gruppe bezüglich der Matrixmultiplikation ist mit der Matrix als das neutrale Element, für , für und ?


Ich müsste ja folgendes zeigen, damit eine Gruppe ist: Assoziativität, Identität und Inverse.

Für das Assoziativgesetz würde ich argumentieren, dass dies hinsichtlich der Matrixmultiplikation existiert (Als bekannt vorausgesetzt ohne Beweis).

Auch die Identität gilt, denn die Einheitsmatrix gilt als Identität in steht ja im Text.

Das Inverse folgt ja aus der Definition invertierbarer Matrizen, denn für eine invertierbare Matrix ist das Inverse .

Ich weiß nicht, ob damit jetzt alles erledigt ist, weil ich nicht genau weiß, wie ich das auf und übertrage?
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RE: Frage zum Beweis einer Gruppe
sind Matrizen, deren Elemente alle ganze Zahlen sind, richtig?. Jetzt denk nochmal über die Invertierbarkeit nach smile
KonverDiv Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage zum Beweis einer Gruppe
@URL, also invertierbar kann man ja gleichsetzen mit Determinante , hilft das weiter?
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RE: Frage zum Beweis einer Gruppe
Beispiel: Die Matrix ist invertierbar, sie ist also in .
Ihre Inverse ist und deren Einträge sind nicht alle ganzzahlig.

Anders sieht die Sache aus, wenn man sich auf Matrizen beschränkt, deren Determinante ist.
Oder allgemeiner, wenn die Determinante eine Einheit des Rings ist, aus dem die Matrixelemente stammen.
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RE: Frage zum Beweis einer Gruppe
Zitat:
Original von KonverDiv
@URL, also invertierbar kann man ja gleichsetzen mit Determinante , hilft das weiter?

Warum? verwirrt
KonverDiv Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage zum Beweis einer Gruppe
@URL, ja ich habe mir fast gedacht, dass du darauf hinaus wolltest, dass es keine Inverse geben kann da die Einträge nicht unbedingt ganzzahlig sind.

Zitat:
Original von URL
Warum? verwirrt

@URL vielleicht hätte ich präzisieren sollen, dass mich der Fall interessiert smile

Aber angenommen die Determinante wäre was dann? Dann gibt es doch ein inverses Element? Ich könnte ja sagen und dann
 
 
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RE: Frage zum Beweis einer Gruppe
Dann hat die Inverse auch ganzzahlige Einträge.
Das sieht man wie ich finde am einfachtsten über die Darstellung mit dem char Polynom

Edit: Sorry, hatte Schwierigkeiten mit dem Zeilenumbruch im link, aber ein Leerzeichen hat mal wieder geholfen
KonverDiv Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage zum Beweis einer Gruppe
Zitat:
Original von URL
Dann hat die Inverse auch ganzzahlige Einträge.


Genau! Und die inverse existiert dann auch, d.h. ich kann damit die dritte Eigenschaft einer Gruppe also die Inverse bestätigen?
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RE: Frage zum Beweis einer Gruppe
Je länger du schreibst, desto undurchsichtiger wird die Sache für mich geschockt

Du fängst an mit
Zitat:
Menge der invertierbaren n×n Matrizen geschrieben als

Davon kann man reden, wenn man Invertierbarkeit als "Determinanten ungleich 0" definiert, ohne sich Gedanken machen zu müssen, wie die Inverse denn aussieht und ob sie in der Menge ist.
Allem Anschein nach geht es dir aber um etwas anderes.

Um mal klar zu sagen, was wir haben: Matrizen mit ganzzahligen Einträgen und Determinante bilden eine Gruppe bzgl. Matrixmultiplikation.
KonverDiv Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage zum Beweis einer Gruppe
Zitat:
Original von URL
Matrizen mit ganzzahligen Einträgen und Determinante bilden eine Gruppe bzgl. Matrixmultiplikation.

Wie würde man denn beweisen, dass es sich dabei um eine Gruppe handelt? Das würde mich interessieren smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Der Beweis fußt im Grunde genommen auf der Determinanten-Eigenschaft . Der Rest ist mehr oder weniger Verwaltungsroutine.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Die Gruppe der invertierbaren n-reihigen gannzzahligen Matrizen heißt übrigens nicht sondern . Hilft nicht beim Beweis, ist aber nun mal so.
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