Bilinearform?

20.08.2022, 16:22

HiBee123

Bilinearform?

Hallöchen

Es geht darum zu bestimmen, ob folgende Abbildung eine Bilinearform ist.
$\begin{eqnarray*} (x,y) \mapsto \phi(x,y) \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} 2\phi(x,y)=\phi(2x,y)=\phi(x,2y) \end{eqnarray*}$ ist
und $\begin{eqnarray*} \phi(x,y)+\phi(x,z)=\phi(x+z,y) \end{eqnarray*}$

so ist die Aufgabe gestellt... ich hab das Gefühl, das vielleicht ein Fehler in der Aufgabenstellung ist? So wie es jetzt gestellt wurde, würde ich sagen, es ist keine Bilinearform...
Kann mir jemand weiterhelfen?

20.08.2022, 16:32

HAL 9000

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Zitat:

Original von HiBee123
$\begin{eqnarray*} \phi(x,y)+\phi(x,z)=\phi(x+z,y) \end{eqnarray*}$

Kein Schreibfehler? Nun denn:

$\begin{eqnarray*} z=0 \end{eqnarray*}$ ergibt $\begin{eqnarray*} \phi(x,y)+\phi(x,0)=\phi(x,y) \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} \phi(x,0)=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . (1)

$\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$ ergibt $\begin{eqnarray*} \phi(x,0)+\phi(x,z)=\phi(x+z,0) \end{eqnarray*}$ , wegen (1) daher $\begin{eqnarray*} \phi(x,z)=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x,z \end{eqnarray*}$ , d.h. schlicht die Nullfunktion. Dass die bilinear ist, dürfte wohl keiner anzweifeln. Augenzwinkern

Ich tippe aber nach wie vor auf einen Schreibfehler.

20.08.2022, 16:39

HiBee123

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Also jedenfalls kein Schreibfehler meinerseits. So steht es in der Aufgabenstellung, das hatte mich nämlich auch gewundert.

Angenommen es IST ein Schreibfehler:

wenn ich jetzt zum Beispiel (5x,y) betrachte, dann steht da $\begin{eqnarray*} \phi(5x,y) \end{eqnarray*}$ es ist aber doch keine Aussage dazu getroffen ob das gleich $\begin{eqnarray*} 5\phi(x,y) \end{eqnarray*}$ ist, oder? oder doch? ... ich hab das Gefühl ich übersehe hier irgendwas...

20.08.2022, 16:43

HAL 9000

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Vielleicht hast du nicht verstanden, was ich da oben gemacht habe, daher nochmal deutlich:

Allein aus der Gültigkeit von $\begin{eqnarray*} \phi(x,y)+\phi(x,z)=\phi(x+z,y) \end{eqnarray*}$ für alle reellen $\begin{eqnarray*} x,y,z \end{eqnarray*}$ folgt zwingend, dass $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ nur die Nullfunktion sein kann. Dass die Nullfunktion auch diese andere Eigenschaft $\begin{eqnarray*} 2\phi(x,y)=\phi(2x,y)=\phi(x,2y) \end{eqnarray*}$ , hatte ich nicht weiter erwähnt, weil es selbstverständlich der Fall ist.

Weitere Erörterungen machen nur dann Sinn, wenn die Eigenschaft $\begin{eqnarray*} \phi(x,y)+\phi(x,z)=\phi(x+z,y) \end{eqnarray*}$ doch nicht gilt bzw. durch was anderes ersetzt wird - aber was? Da möchte ich nicht spekulieren.

20.08.2022, 16:47

HiBee123

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Doch doch, ich hatte das mit der Nullfunktion schon verstanden...

Ich dachte halt, vielleicht ist es naheliegend, dass die Gleichung eigentlich heißen soll: $\begin{eqnarray*} \phi(x,z)+\phi(y,z)=\phi(x+y,z) \end{eqnarray*}$ und ob es dann möglich ist daraus Schlüsse zu ziehen...?

20.08.2022, 17:01

HAL 9000

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Zitat:

Original von HiBee123
$\begin{eqnarray*} \phi(x,z)+\phi(y,z)=\phi(x+y,z) \end{eqnarray*}$

Wenn das die zweite Eigenschaft ersetzen soll, dann ist die Funktion in der ersten Komponente linear (das ist ja gerade die Definition dafür). Dennoch lassen sich Beispielfunktionen angeben, die beide Eigenschaften erfüllen, aber in der zweiten Komponente NICHT linear sind. Einfach mal suchen - Tipp: Ansatz $\begin{eqnarray*} \phi(x,y) = x\cdot g(y) \end{eqnarray*}$ mit einer nichtlinearen Funktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ die so gebaut ist, dass Eigenschaft 1 dennoch erfüllt ist.

20.08.2022, 17:25

HiBee123

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Lieben Dank! smile

Ich hab ein bisschen getüftelt und bin auf $\begin{eqnarray*} \phi(x,y)=x*(\frac{1}{2}y^2-2y) \end{eqnarray*}$ gekommen, die erfüllt beide eigenschaften, ist aber nicht linear in der 2. Komponenten und somit nicht bilinear...

Vielleicht war das doch kein Schreibfehler und man sollte wirklich auf die Nullform kommen... Danke jedenfalls!!

20.08.2022, 17:32

HAL 9000

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Nein, das klappt nicht als Gegenbeispiel - jegliche Polynome sind zum Scheitern verurteilt. $\begin{eqnarray*} \phi(x,2y) = 2\phi(x,y) \end{eqnarray*}$ wird von deiner Funktion nicht für alle $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ erfüllt. unglücklich

Mein Vorschlag: $\begin{eqnarray*} \phi(x,y) = 2^n\cdot x \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 2^n\leq |y|<2^{n+1} \end{eqnarray*}$ und beliebige $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ , zudem noch $\begin{eqnarray*} \phi(x,0)=0 \end{eqnarray*}$ .

20.08.2022, 18:46

HiBee123

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Ah ja. das passt, danke. (War ich wohl etwas vorschnell gewesen... sorry.)

20.08.2022, 19:38

IfindU

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Ein alternativer Vorschlag für das $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ von HAL:
$\begin{eqnarray*} g(y) = \begin{cases} \lambda y & \text{falls } y \in \mathbb Q \\ \mu y &\text{falls } y \in \mathbb R \setminus \mathbb Q \end{cases} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lambda \neq \mu \end{eqnarray*}$ .

Der Hauptgrund, warum das Beispiel funktioniert ist $\begin{eqnarray*} 2 \mathbb Q = \mathbb Q \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 2 \mathbb R \setminus \mathbb Q = \mathbb R \setminus \mathbb Q \end{eqnarray*}$ , d.h. sobald man sich auf ein $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ geeinigt hat, wird man mit $\begin{eqnarray*} 2^n y \end{eqnarray*}$ entweder immer in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ oder in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \setminus \mathbb Q \end{eqnarray*}$ bleiben. Damit sieht man immer nur einen Zweig der Funktion und dort sieht die Funktion linear aus.

20.08.2022, 20:53

HAL 9000

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Ich war oben in anderer Hinsicht etwas ungenau: Es ist durchaus auch nicht so, dass $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ in der ersten Komponente linear sein muss - genauere Infos siehe

https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy%27s_functional_equation

(Abschnitt: "Existence of nonlinear solutions...")

Aber für ein Gegenbeispiel reicht es ja, wenn man sich auf die zweite Komponente konzentriert. Mit etwas mehr Mühe als oben bekommt man da sogar ein stetiges Gegenbeispiel hin. Augenzwinkern

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