Zahl gesucht |
| 21.08.2022, 11:00 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Zahl gesucht (1) Meine Lieblingszahl besteht aus 9 Ziffern und jede der Ziffern von 1 bis 9 kommt genau einmal darin vor. (2) Die letzte Ziffer ist doppelt so groß wie die erste Ziffer. (3) Die mittlere Ziffer ist um 2 kleiner als die letzte Ziffer. (4) Die dritte Ziffer ist um 1 größer als die achte Ziffer. (5) Das Produkt aus der fünften und der sechsten Ziffer ist gleich dem Produkt aus der siebten Ziffer und der achten Ziffer. (6) Die zweite Ziffer ist größer als die vierte Ziffer. Wie lautet die Lieblingszahl des Lehrers? Da können auch Nichtmathematiker mitmachen. Rechnereinsatz verboten! |
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| 21.08.2022, 12:09 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich hab mal mein Gebot via PN eingereicht um anderen noch den Spaß zu lassen 
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| 21.08.2022, 12:15 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Deine Lösung ist korrekt! Mit deinem Ansatz bin ich auch recht schnell zur Lösung gekommen. |
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| 21.08.2022, 12:27 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich schätze mal, dass die Programmierung des Problems länger dauert, als die paar wenigen Fälle von Hand abzuklappern. |
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| 21.08.2022, 12:51 | Romaxx | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ebenfalls per PN. |
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| 21.08.2022, 13:29 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
In deiner Zahl kommt die Ziffer 3 zweimal vor, also keine Lösung. |
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| 21.08.2022, 13:30 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist wohl wahr. |
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| 21.08.2022, 14:04 | Romaxx | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke, neuer Versuch. 
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| 21.08.2022, 15:06 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Jetzt stimmt die Lösung! |
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| 21.08.2022, 17:54 | klauss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Zahl gesucht Da die offizielle Lösung noch auf sich warten läßt, habe ich auch meinen Vorschlag eingereicht. Bin gespannt, ob es ein effizienteres Verfahren gibt als eine ohnehin zügige Folge von Ausschluß-/Bestätigungskriterien. |
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| 21.08.2022, 18:10 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Zahl gesucht Auch dein Resultat ist natürlich richtig. Es haben offenbar alle nach ziemlich derselben Methode gearbeitet. Gerade habe ich gesehen, dass mir auch HAL seine Lösung geschickt hat. Er hat auch seinen Lösungsweg beigefügt. Vielleicht ist er so nett, ihn morgen ins Board zu stellen. Es sollten dann alle genügend Zeit gehabt haben, selbst zu lösen. |
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| 21.08.2022, 22:03 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Eigentlich gebührt die Ehre jemanden, der vor mir die Lösung gepostet hat - ich würde es höchstens dann erledigen, wenn keiner bis morgen abend Lust dazu hat. |
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| 22.08.2022, 07:52 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Ehre gehört dann Equester der die erste Lösung eingesandt hat. Ich denke, er liest mit. @Gualtiero Auch deine Lösung ist richtig. Für deinen Fall 2) kann man zeigen, dass damit keine Lösung möglich ist. |
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| 22.08.2022, 10:33 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Kleine Hilfe für alle Lösungswütigen: Die gesuchte Zahl ist durch eine Primzahl teilbar, die zwischen 260270 und 260328 liegt, und enthält eine Potenz von 9, deren Exponent größer als 1 ist, als Faktor. |
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| 22.08.2022, 18:50 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hmm, muss ich wohl doch ran (versprochen ist versprochen): a) Bedingung (2) ergibt in Kombination mit (3) die Varianten 0xxxxxxx0 , fällt raus wegen (1) [und auch (3)] 1xxx0xxx2 , fällt raus wegen (5), da dann auch siebte oder achte Ziffer 0 sein müsste 2xxx2xxx4 , fällt raus wegen (1) 3xxx4xxx6 4xxx6xxx8 b) In Bedingung (5) sind vier paarweise verschiedene Ziffern involviert, wo das Produkt der ersten zwei dem Produkt der letzten zwei entspricht. Da ist sofort klar, dass weder 0, 5 noch 7 involviert sein dürfen. Es verbleiben (ohne Berücksichtigung der Reihenfolge) die Varianten 1 * 8 = 2 * 4 1 * 6 = 2 * 3 2 * 9 = 3 * 6 2 * 6 = 3 * 4 3 * 8 = 4 * 6 c) Betrachten wir nun die zwei in a) übrig bleibenden Fälle im Lichte von b). Fall 3xxx4xxx6: Hier muss 4 in der Gleichung involviert sein, 3 und 6 aber nicht. Es verbleibt nur 1 * 8 = 2 * 4 und damit 3xxx42186 oder 3xxx42816. Mit (4) ergänzt ergibt dies 3x9x42186 oder 3x2x42816, letzteres widerspricht (1). Ersteres mit (6) ergänzt ergibt 379542186, die Zahl erfüllt alle Bedingungen (1)-(6). Fall 4xxx6xxx8: Hier muss 6 in der Gleichung involviert sein, 4 und 8 aber nicht. Es verbleiben 1 * 6 = 2 * 3 2 * 9 = 3 * 6 und damit (um (4) ergänzt) 4x4x61238 , fällt raus wegen (1) 4x3x61328 , fällt raus wegen (1) 4xxx63298 , fällt raus wegen (4), da dritte Ziffer gleich 10 sein müsste 4x3x63928 , fällt raus wegen (1) |
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| 22.08.2022, 19:24 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
HAL, danke dass du deinen Lösungsweg eingestellt hast. Ein Punkt ist mir beim jetzigen Lesen noch aufgefallen:
Die ist auch schon wegen (1) an keiner Stelle zulässig. |
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| 22.08.2022, 19:32 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja richtig. Wenn man die 0 trotzdem zulässt, also nur die Bedingung stellt "9 verschiedene Ziffern", dann gäbe es auch noch zwei weiteren Lösungen 379042186 und 359042186.
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| 22.08.2022, 21:28 | nachhilfelehrer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke für das schöne, motivierende Zahlenrätsel, Huggy. Ich bin das heute mit einigen Schülern mal durchgegangen. Unsere Vorgehensweise war wie folgt : zu (1) Wir haben die 9 Ziffern der Reihe nach gekonnt unkreativ mit den Buchstaben a bis i bezeichnet, also abcdefghi zu (2) und (3) Die Gleichung i=2a liefert zunächst für a die Werte 1,2,3 oder 4, wobei 1 und 2 direkt wegen e=0 und der Doppelbelegung e=2=a durch die Gleichung e=i-2 rausfallen (4) liefert als Gleichung c = h+1 Für (5) mit der Gleichung ef=gh folgt sofort, dass nur die Produkte p=6 und p=8 in Frage kommen, da die beiden Produktpaare sonst nicht aus 4 verschiedenen Faktoren bestehen. Ferner ergibt das Einbeziehen der Gleichungen in (2) und (3) den Zusammenhang 2(a-1)f=gh. Wäre das gemeinsame Produkt 6, dann führt das auf der linken Seite zu (a-1)f=3 und rechts dazu, dass gh aus den Faktoren 1 und 6 bestehen muss. Für f=1 gibt es demnach direkt einen Widerspruch wegen der Doppelbelegung und a=2 wurde oben bereits ausgeschlossen. Für das gemeinsame Produkt 8 gilt dementsprechend (a-1)f=4, wo nur a=3 und damit f=2 übrig bleiben und ebenso e=2a-2=4 so wie i=2a=6 resultiert. Auf der rechten Seite muss gh aus den Faktoren 1 und 8 bestehen, wobei h=1 zur Doppelbelegung c=f=2 führt und daher h=8 und g=1 gelten muss und final dann auch c=9 wegen (4). Mit eh nur noch 2 übrig gebliebenden Zahlen 5 und 7 ist (6) dann nur noch Formsache mit b=7>5=d und insgesamt ergibt das dann die Zahl 379542186 Ich hoffe wir haben uns nicht irgendwo vertan. 
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| 22.08.2022, 22:13 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Tatsächlich? 18 = 2 * 9 = 3 * 6 12 = 2 * 6 = 3 * 4 24 = 3 * 8 = 4 * 6 |
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| 22.08.2022, 22:21 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@HAL Genauso bin ich auch vorgegangen. Ich bin also dankbar, dass du mir die Schreibarbeit abgenommen hast 
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| 22.08.2022, 23:18 | nachhilfelehrer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke HAL_9000, wie konnte ich diese Fälle unterschlagen ? 
Naja, immerhin kann man p=12 und p=24 in einem Rutsch abfrühstücken, da durch a=3 oder a=4 sonst Doppelbelegungen vorliegen würden. Für p=18 würde wegen 2(a-1)f=gh auf der linken Seite (a-1)f=9 gelten, was wenn dann für a=4 gilt und f=3 liefert. gh müsste damit aus den Faktoren 2 und 9 bestehen. h=9 kann wegen (4) nicht sein und h=2 führt zu c=3=f und damit zu einer Doppelbelegung. Ich hoffe jetzt passt es. 
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| 23.08.2022, 13:09 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke für die Rückmeldung. Ich bin erstaunt und erfreut, dass das Problemchen doch recht viel Anklang gefunden hat. |
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| 23.08.2022, 21:11 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Offenbar müssen es nicht immer die neuesten Erkenntnisse über die Nullstellen der Zetafunktion sein, mit denen man Mathematiker begeistern kann. |
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