Collatz reloaded

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Phenix Auf diesen Beitrag antworten »
Collatz reloaded
Beim sog. Collatz-Problem - oder auch (3n+1)-Vermutung genannt - geht es um Zahlenfolgen, die nach einem einfachen Bildungsgesetz konstruiert werden:

Beginne mit irgendeiner natürlichen Zahl n > 0

Ist n gerade, so nimm als nächstes n/2

Ist n ungerade, so nimm als nächstes 3n + 1

Wiederhole die Vorgehensweise mit der erhaltenen Zahl.

Für die Startzahl n = 19 erhält man nach diesem Algorithmus die Folge:
19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, …
Anscheinend mündet die Folge mit jedem n > 0
in den Zyklus 4, 2, 1.

Die Collatz-Vermutung lautet:
Jede so konstruierte Zahlenfolge mündet immer in den Zyklus 4, 2, 1, egal, mit welcher natürlichen Zahl n > 0 man beginnt.

Verwendet man für die Umwandlung von ungeraden Zahlen in gerade Zahlen 3n - 1 an Stelle von 3n + 1, trifft die oben beschriebene Collatz-Vermutung nicht zu. Zum Beispiel, für n = 19 mündet die Folge mit 3n - 1 nicht in den Zyklus 4, 2, 1 …, sondern in den Zyklus 14, 7, 20, 10, 5 …

Gibt es für dieses grundsätzlich unterschiedliche Verhalten der Zahlen-Folgen eine Erklärung bzw. einen Beweis?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Collatz reloaded
Fragen nach dem weshalb sind oft nicht befriedigend zu beantworten. Hier müsste man aber fragen, wenn man die Folgenvorschrift ändert, weshalb soll dann das Ergebnis gleich bleiben?

Tatsächlich unterscheidet sich die modifizierte Folge gar nicht so stark von der ursprünglichen Folge. Lässt man nämlich bei der Kollatzfolge auch negative Startwerte zu, so ist bis auf das Vorzeichen die modifizierte Folge mit einem positiven Startwert identisch zur Kollatzfolge mit Startwert .
Phenix Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Collatz reloaded
Hallo Huggy …
Negative Startwerte mal -1 liefern identische Zyklen wie positive Startwerte, wohingegen mit 3n-1 grundsätzlich andere Collatz-Zyklen als mit 3n+1 generiert werden, obwohl sowohl 3n-1 als auch 3n+1 gerade Zahlen generieren, allerdings mit der Differenz = 2. Wahrscheinlich ist diese Differenz der Grund für die unterschiedlichen Collatz-Zyklen unter 3n-1, aber diese deskriptive Begründung ist eben kein Beweis.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Huggy
Lässt man nämlich bei der Kollatzfolge auch negative Startwerte zu, so ist bis auf das Vorzeichen die modifizierte Folge mit einem positiven Startwert identisch zur Kollatzfolge mit Startwert .

Damit ist der Zusammenhang zwischen Original-Kollatzfolge und der modifizierten Folge (d.h. 3n-1) exakt wiedergegeben, während das hier

Zitat:
Original von Phenix
Negative Startwerte mal -1 liefern identische Zyklen wie positive Startwerte

schlicht falsch ist.
Phenix Auf diesen Beitrag antworten »

@HAL9000
Kollatz wird mit C geschrieben, Lothar Collatz (deutscher Mathematiker)

Falsch HAL9000, denn …

n = -19 * -1 (Startfolge)
generiert den gleichen Collatz-Zyklus wie
n = 19 (Startfolge)
nämlich: 4, 2, 1

während

n = 19 (Startfolge)
generiert mit 3n-1 einen völlig anderen Collatz-Zyklus als
mit 3n+1
nämlich: 14, 7, 20, 10, 5
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Du bist schnell dabei, anderen zu widersprechen ohne über deren Worte WIRKLICH nachzudenken. Flankierend dazu stellst du eigene unbegründete Gegenbehauptungen auf, die sich leicht widerlegen lassen.

Betrachten wir beispielsweise die Collatz-Folge mit Startwert 19, dann bekommt man

19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1

Hingegen liefert Startwert -19 der Collatz-Folge

-19, -56, -28, -14, -7, -20, -10, -5,

die Periode rot markiert.


Wenn man jetzt schaut, was die modifizierte Folge (die mit 3n-1) mit Startwert 19 liefert, so ist das

19, 56, 28, 14, 7, 20, 10, 5,,

also genau Huggys Aussage, die nicht nur für diesen speziellen Anfangswert 19 gilt, sondern auch allgemein.
 
 
Phenix Auf diesen Beitrag antworten »

@HAL9000
das ist doch unbestritten richtig, aber du musst schon genau lesen, denn ich schrieb:
n = -19 * -1 liefert die gleichen Collatz-Zyklen wie n = 19.

Ich habe nicht geschrieben, dass n = -19 (n < 0) die gleichen Collatz-Zyklen liefert wie n = 19 (n > 0).

Übrigens, n = -19 liefert andere Zyklen als 3n-1, nämlich NEGATIVE Zyklen.

Trotzdem ist es interessant, dass die Zyklen-BETRÄGE bei n < 0 identisch sind mit 3n-1 und sich von Startwerten n > 0 mit 3n+1 grundsätzlich unterscheiden.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Phenix
n = -19 * -1 liefert die gleichen Collatz-Zyklen wie n = 19.

Na das ist doch eine Trivialaussage, da es derselbe Startwert ist - das kann man getrost als Aussage auch weglassen. Ich dachte, du wolltest auf Huggys Aussage eingehen was passiert, wenn man wirklich das Vorzeichen des Startwertes dreht!

Zitat:
Original von Phenix
Übrigens, n = -19 liefert andere Zyklen als 3n-1, nämlich NEGATIVE Zyklen.

Hat Huggy doch geschrieben: "bis auf das Vorzeichen" - ist auch in meiner Beispielrechnung zu sehen.
Phenix Auf diesen Beitrag antworten »

@HAL9000
Die Erkenntnis ist, dass Startwerte von n < 0 gleiche FolgenBETRÄGE liefern wie 3n-1, die sich grundsätzlich von Startwerten mit n > 0 und 3n+1 unterscheiden.

Dieser Zusammenhang könnte die Begründung dafür liefern, dass sich die Collatz-Folgen mit 3n-1 deshalb von Folgen mit 3n+1 unterscheiden, weil Folgenzahlen generiert werden als hätte man Startwerte von n < 0 (anstatt n < 0) verwendet.

Okay, wieder mal etwas gelernt …
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