Kritischer Wert (Stichprobenfunktion)

21.08.2022, 14:46

FH22

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Kritischer Wert (Stichprobenfunktion)

Hallo, ich habe Verständnisprobleme bei einem Beispiel in Bezug auf die Ermittlung einer Schranke C bei einer Stichprobe.

Folgende Daten sind gegeben:
Standardabweichung Sigma = 200 [EU].
Wahrscheinlichkeit 0,96
n einer Zufallsstichprobe=400
N(1900, 40000/400)=N(1900,100) verteilt
$\begin{eqnarray*} P(1900-c\leq x Dach\leq 1900+c)=0,96 \end{eqnarray*}$

Rechenschritte:
$\begin{eqnarray*} phi(\frac{1900+c-my}{sigma(x Dach)} )- phi(\frac{1900-c-my}{sigma(x Dach)} )=0,96<br /> phi(\frac{+c}{10} )- phi(\frac{-c}{10} )=0,96<br /> phi(2,06)=0,98<br /> phi(2.06)-phi(-2.06)=0,96<br /> c = 10*2.06 = 20.6 \end{eqnarray*}$
....

Nun soll ich in einer anderen Aufgabe "P(Stichprobenmittelwert>c)=0.90" bestimmen.

Jedoch habe ich zum Beispiel noch einige Fragen:
1) Wie kommt man im zweiten Rechenschritt auf die 10 im Nenner? Warum steht da nicht 100?
2)Woher stammt plötzlich die 2,06 um 0,98 aus der Tabelle ablesen zu können? (3.Rechenschritt)

21.08.2022, 17:41

klauss

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RE: Kritischer Wert (Stichprobenfunktion)
Es geht also offenbar um die Grenzen eines Intervalls symmetrisch um den Erwartungswert, in das der Stichprobenmittelwert mit 96%iger Wahrscheinlichkeit fällt.

1)
Für die Stichprobenverteilung des arithmetischen Mittels gilt: $\begin{eqnarray*} \sigma_{\overline{X}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n} } \end{eqnarray*}$
Die 100 sind aber $\begin{eqnarray*} Var(\overline{X})=\frac{\sigma^{2} }{n} \end{eqnarray*}$

2)
2,06 ist (gerundet) das 0,98-Quantil der Standardnormalverteilung.
Wenn Du es nicht gefunden hast - weißt Du, warum das gebraucht wird?

21.08.2022, 18:54

FH22

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Nein, der dritte Rechenschritt ist mit völlig unklar.
Warum rechnet man plötzlich mit einem 0,98-Quantil, wenn vorher die Rede von 0,96 ist?
Und warum nimmt man 2,06 und nicht 2,07 oder 2,08?

21.08.2022, 19:15

klauss

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RE: Kritischer Wert (Stichprobenfunktion)
Wenn das Intervall des Stichprobenmittelwerts ein symmetrisches Wahrscheinlichkeitsintervall von 0,96 abdecken soll, bleibt am oberen und unteren Rand jeweils ein 0,02-Bereich außerhalb übrig.

[attach]55808[/attach]

Der abgedeckte Bereich liegt also zwischen dem 0,02- und dem 0,98-Quantil. Die beiden sind nun mal -2,06 und 2,06, wie Du den Tabellen der Standardnormalverteilung entnehmen kannst.

22.08.2022, 17:15

FH22

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Vielen Dank für die Aufklärung!

Ich habe nun beispielhaft ""P(Stichprobenmittelwert>c)=0.90" durchgerechnet.
Gegeben waren n=80, My=72 und Sigma=3.
Meine Rechnungen waren:
$\begin{eqnarray*} phi(\frac{72+c-my}{sigma(x Dach)} )- phi(\frac{72-c-my}{sigma(x Dach)} )=0,90<br /> phi(\frac{+c}{\frac{3\sqrt{5} }{20} } )- phi(\frac{-c}{\frac{3\sqrt{5} }{20} } )=0,90<br /> phi(1,41)=0,92<br /> phi(1,41)-phi(-1,41)=0,90<br /> c = \frac{3\sqrt{5} }{20} *1,41 = 0,4729 \end{eqnarray*}$
Wäre dies korrekt?

In einer weiteren Aufgabe sollte man "P(Stichprobenmittelwert>c)=0.15" berechnen
Hier verstehe ich nicht, wie man man ein 0,17-Quantil aus der Tabelle ablesen soll, wenn die Quantile erst bei 0,5 beginnen.
Könnte man mir dabei helfen?

22.08.2022, 18:24

klauss

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Hier gilt nun
$\begin{eqnarray*} P(\overline{X}>c)=1-P(\overline{X}\leq c)=0,9 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(\overline{X}\leq c)=0,1=\Phi\left(\frac{c-\mu}{\sigma_{\overline{X}}} \right) \end{eqnarray*}$
Also
$\begin{eqnarray*} \frac{c-\mu}{\sigma_{\overline{X}}}=-1,28155 \end{eqnarray*}$

Letzteres ist das 0,1-Quantil der Standardnormalverteilung, denn wegen Symmetrie gilt für Wahrscheinlichkeiten < 0,5:
$\begin{eqnarray*} \Phi(-z)=1-\Phi(z) \end{eqnarray*}$

Den gleichen Weg kannst Du für die nächste Aufgabe auch beschreiten.

Bitte zu beachten, dass ich momentan nur eingeschränkt Zeit habe.

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22.08.2022, 19:56

FH22

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Ich komme trotz der Anmerkung nicht auf deinen Wert von "-1,28155".
Könnten Sie dies noch etwas genauer erläutern? verwirrt

verwirrt

Und ist bei dieser Aufgabe nicht ausschließlich nach c gefragt?

22.08.2022, 21:11

HAL 9000

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Zitat:

Original von FH22
Hier verstehe ich nicht, wie man man ein 0,17-Quantil aus der Tabelle ablesen soll, wenn die Quantile erst bei 0,5 beginnen.

Die Standardnormalverteilungsdichte ist symmetrisch zur Null, für die zugehörige Verteilungsfunktion bedeutet das $\begin{eqnarray*} \Phi(-x) = 1-\Phi(x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

Für die Quantile $\begin{eqnarray*} z_{\alpha} = \Phi^{-1}(\alpha) \end{eqnarray*}$ kann man das in Eigenschaft

$\begin{eqnarray*} z_{\alpha} = -z_{1-\alpha} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \alpha\in (0,1) \end{eqnarray*}$

übertragen. Wenn du also $\begin{eqnarray*} z_{0.17} \end{eqnarray*}$ bestimmen sollst, dann ist gemäß dieser letztgenannten Eigenschaft $\begin{eqnarray*} z_{0.17} = -z_{0.83} \end{eqnarray*}$ . Wie du $\begin{eqnarray*} z_{0.83} \end{eqnarray*}$ bestimmen kannst, weißt du? Oder benötigst du da auch noch Hilfe? verwirrt

verwirrt

22.08.2022, 21:29

FH22

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-0.796731 wäre das $\begin{eqnarray*} z_{0.17} \end{eqnarray*}$ .
Jedoch scheint dies für meine Aufgabe irrelevant zu sein, weil mein Ansatz schon falsch ist.

22.08.2022, 22:15

HAL 9000

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So irrelevant ist das nicht, diese Methode kann auch zur Berechnung von $\begin{eqnarray*} z_{0.1} \end{eqnarray*}$ (siehe klauss' Beitrag) verwendet werden.

23.08.2022, 05:44

FH22

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Damit wäre -0,815940 das $\begin{eqnarray*} z_{0.1} \end{eqnarray*}$ -Quantil. klauss schrieb aber doch, dass 1,28155 das 0,1-Quartil sei. verwirrt

verwirrt

Nun stehe ich total aufm Schlauch.
Wie komme ich damit jetzt auf diese -1,28155 oder meinen Wert c?

23.08.2022, 08:49

klauss

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \Phi(-z)=1-\Phi(z) \end{eqnarray*}$

Heißt auf gut Deutsch:
Das 0,9-Quantil ist 1,28155, also ist das (1-0,9)=0,1-Quantil -1,28155.

Übrigen nicht verwechseln mit Quartil - dies ist nämlich das 0,25-Quantil.

23.08.2022, 09:49

FH22

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Dann haben wir wohl unterschiedliche Werte für das 0,9-Quantil in der Standardnormalverteilung.
Bei mir lautet das 0,9-Quantil 0,815940 und somit würde das 0,1-Quantil bei mir -0,815940 lauten.
Also müsste man für c nun $\begin{eqnarray*} c = \frac{3\sqrt{5} }{20} *(-0,815940) = -0,2736755 \end{eqnarray*}$ rechnen oder habe ich da irgendetwas missachtet?

23.08.2022, 10:09

FH22

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Zitat:

Original von FH22
Dann haben wir wohl unterschiedliche Werte für das 0,9-Quantil in der Standardnormalverteilung.
Bei mir lautet das 0,9-Quantil 0,815940 und somit würde das 0,1-Quantil bei mir -0,815940 lauten.
Also müsste man für c nun $\begin{eqnarray*} c = \frac{3\sqrt{5} }{20} *(-0,815940) = -0,2736755 \end{eqnarray*}$ rechnen oder habe ich da irgendetwas missachtet?

Ich denke, dass die erste Variante falsch war und man es so rechnen muss:
$\begin{eqnarray*} c=(1-(-0,815940))* \frac{3\sqrt{5} }{20}=0,6090847925 \end{eqnarray*}$
Aber sicher bin ich mir nicht. verwirrt

verwirrt

23.08.2022, 10:13

klauss

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RE: Kritischer Wert (Stichprobenfunktion)
Du hast die Tabelle falschrum gelesen.
Zu $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ = 0,9 gehört die Wahrscheinlichkeit 0,81594.
Aber:
Zu $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ = 1,28155 gehört die Wahrscheinlichkeit 0,9.

Die anderen bekannten Parameter mußt Du halt gemäß Angabe auch einsetzen und nach c auflösen.

23.08.2022, 10:17

HAL 9000

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Auch wenn klauss etwas schneller war, hier noch mein vorbereiteter Beitrag für FH22:

Es sieht so aus, als ob du grundsätzlich falsch abliest: Es ist $\begin{eqnarray*} \Phi(0.9)\approx 0.81594 \end{eqnarray*}$ , aber darum geht es nicht!!! Gesucht ist $\begin{eqnarray*} z_{0.9} = \Phi^{-1}(0.9) \end{eqnarray*}$ , d.h. ein Wert der $\begin{eqnarray*} \Phi\left(z_{0.9}\right)=0.9 \end{eqnarray*}$ erfüllt. D.h., du musst in die Tabelle hinein gehen und den Funktionswert 0.9 suchen, bzw. eben einen Wert, der möglichst nah dran ist - und dann ist das zugehörige Argument das gesuchte Ergebnis. In Tabelle

https://de.wikipedia.org/wiki/Standardno...teilungstabelle

wäre das der Wert 0.89973 mit zugehörigem Argument $\begin{eqnarray*} z=1.28 \end{eqnarray*}$ , also ist $\begin{eqnarray*} \Phi(1.28)=0.89973 \end{eqnarray*}$ . Ganz hohe (und alte) Schule wäre übrigens, auch noch den nächsten Wert $\begin{eqnarray*} \Phi(1.29)=0.90147 \end{eqnarray*}$ heranzuziehen, um dann mittels linearer Interpolation

$\begin{eqnarray*} z_{0.9} \approx 1.28 + 0.01\cdot \frac{0.9-0.89973}{0.90147-0.89973} \approx 1.28155 \end{eqnarray*}$

auszurechnen. Aber das wird wohl heute nicht mehr gelehrt, vielleicht auch weil CAS oder auch schon TR den Quantilwert direkt liefern können. Augenzwinkern

Augenzwinkern

23.08.2022, 10:53

FH22

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Vielen Dank für die ausführliche Erläuterung! Dann habe ich tatsächlich falsch abgelesen.
Ich habe nun $\begin{eqnarray*} \frac{c-72}{ \frac{3\sqrt{5} }{20}}=-1,28 \end{eqnarray*}$ nach c aufgelöst und kam auf einen Wert von ungefähr 71,5707 für c.

23.08.2022, 11:13

FH22

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Für den zweiten Teil von b habe ich nun:
$\begin{eqnarray*} P(\overline{X}>c)=1-P(\overline{X}\leq c)=0,15 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(\overline{X}\leq c)=0,85=\Phi\left(\frac{c-\mu}{\sigma_{\overline{X}}} \right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{c-\mu}{\sigma_{\overline{X}}}=1,03 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{c-72}{ \frac{3\sqrt{5} }{20}}=1,03 <br /> c=72,3455 \end{eqnarray*}$

23.08.2022, 11:29

HAL 9000

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Ich muss sagen, man muss schon ganz schön suchen, bevor man in deinem Tohuwabohu versteckt die Aufgabenstellung findet, die du gerade bearbeitest, womöglich das hier gestern in deinem Beitrag 17:15:

Zitat:

Original von FH22
Ich habe nun beispielhaft ""P(Stichprobenmittelwert>c)=0.90" durchgerechnet.
Gegeben waren n=80, My=72 und Sigma=3. [...]

In einer weiteren Aufgabe sollte man "P(Stichprobenmittelwert>c)=0.15" berechnen

Eine klarere Abgrenzung "erstmal die komplette Aufgabenstellung - dann Lösungsversuche" wäre wünschenswert statt dieses kunterbunten Mischmaschs, aus dem man erst alle Angaben nach und nach zusammenklauben muss.

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