Maximale Wahrscheinlichkeit

21.08.2022, 15:46

Abinus16

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Maximale Wahrscheinlichkeit

Hallo,
Die folgende Aufgabe bereitet mir Probleme und ich weiß nicht genau wie ich weiter vorgehen soll.
"Ein durchschnittlicher Besuch bei einem Zahnarzt (Wartezeit + Behandlung) dauert 120 Minuten bei einer Standardabweichung von 15 Minuten.
a) Wie groß ist die maximale Wahrscheinlichkeit, dass man länger als 150 Minuten in der Praxis ist?
b) Wie groß ist die maximale Wahrscheinlichkeit, dass man sich weniger als 50 Minuten in der Praxis aufhält?
c) Berechnen Sie a und b unter der Bedingung, dass die Verteilung der Arztbesuche normalverteilt ist."
Der durchschnittliche Besuch beim Arzt ist wahrscheinlich exponentialverteilt. Doch wie gehe da nun weiter vor? Muss man wegen dem Begriff "Maximale" Wahrscheinlichkeit die Maximum-Likelihood-Methode verwenden? Könnte mir vielleicht jemand einen Denkansatz geben?

21.08.2022, 16:01

HAL 9000

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Die Autoren sind bei a) und b) wohl eher auf die Ungleichung von Tschebyscheff aus.

Wobei sich mit der Ungleichung von Cantelli in beiden Teilaufgaben ein noch besseres (genauer gesagt: scharfes) Resultat erzielen lässt.

P.S.: Das muss übrigens ein ganz spezieller Zahnarzt sein, z.B. ein Kiefernchirurg. Oder aber einer mit einem ganz schlechten Bestellmanagement (d.h. lange Wartezeit). Bei meinem Zahnarzt (war erst vorige Woche da) ist es schon sehr selten, dass ich mal länger als 15 Minuten warten muss, wenn ich pünktlich zum Termin erscheine.

21.08.2022, 16:46

Abinus16

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Ich habe jetzt erst einmal Aufgabe a gerechnet:
EW=120
Standardabweichung=15
Varianz=225
Fehler=150-120=30<31
P(|X − 120| ≥ 31) ≤ 225/961=0,2341311134=23,41%

Stimmt dies soweit bislang?

21.08.2022, 16:51

Abinus16

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$\begin{eqnarray*} P(|X - 120|\geq 31) \leq 225/961=0,2341311134=23,41% \end{eqnarray*}$

21.08.2022, 16:54

HAL 9000

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Wie kommst du auf 31 ? Die Zeit ist m.E. als stetig zu betrachten: So ist eine Wartezeit von 150 Minuten plus eine Mikrosekunde auch schon mehr als 150 Minuten...

21.08.2022, 17:11

Abinus16

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a) $\begin{eqnarray*} P(|X - 120|\geq 30) \leq 225/900=0,25=25% \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} P(|X - 120|\geq 70) \leq 225/4900=9/196=4,59% \end{eqnarray*}$
So?

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21.08.2022, 17:25

Abinus16

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Zitat:

Original von Abinus16
a) $\begin{eqnarray*} P(|X - 120|\geq 30) \leq 225/900=0,25=25% \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} P(|X - 120|\geq 70) \leq 225/4900=9/196=4,59% \end{eqnarray*}$
So?

Bei b müsste $\begin{eqnarray*} P(|120-X|\geq 70) \leq 225/4900=9/196=4,59% \end{eqnarray*}$ hin oder vertue ich mich da?

21.08.2022, 17:28

HAL 9000

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Ja, aber wie ich oben schon angedeutet habe, sind das nicht die wirklichen Maximumwerte, sondern nur obere Schranken davon. Das liegt daran, dass hier verschenkt wird:

$\begin{eqnarray*} P(|X-120|\geq 30) = P(X\geq 120+30) + P(X\leq 120-30) = P(X\geq 150) + P(X\leq 90) \end{eqnarray*}$ .

Mit Cantelli bekommt man die besseren Abschätzungen $\begin{eqnarray*} P(X\geq 150)\leq \frac{1}{5} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} P(X\leq 50)\leq \frac{9}{205} \end{eqnarray*}$ , die tatsächlich scharf sind, weil man jeweils Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ angeben kann, die die Voraussetzungen erfüllen und wo Gleichheit in den Ungleichungen gilt, d.h. $\begin{eqnarray*} = \frac{1}{5} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} = \frac{9}{205} \end{eqnarray*}$ .

21.08.2022, 18:23

Abinus16

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Die Ungleichung von Cantelli ist nicht in meinem Skript vorhanden.
Also wären a) $\begin{eqnarray*} P(|X - 120|\geq 30) \leq 225/900=0,25=25% \end{eqnarray*}$ und b) $\begin{eqnarray*} P(|120-X|\geq 70) \leq 225/4900=9/196=4,59% \end{eqnarray*}$ unter der Anwendung der Ungleichung von Tschebyscheff richtig? Ich hatte bei b ja noch etwas verändert, aber dein Wert für b unterscheidet sich ja sehr. verwirrt

verwirrt

Bei c habe ich nun für Teilaufgabe a "P(X größer gleich 150)=1- P(X kleiner gleich 150)" gerechnet.
Also: 1- phi((150-120)/15)=1- phi(2)= 1-0.97725=0,02275=2,27%

21.08.2022, 19:09

Abinus16

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Für den zweiten Teil von c habe ich nun P(X kleiner gleich 50)" gerechnet.
phi((50-120)/15)=phi(-70/15)= phi (-14/3)=???
Hier fehlt mir eine hinreichend große Tabelle um den Wert ablesen zu können.
War die vorgehensweise also wieder falsch?

21.08.2022, 19:27

HAL 9000

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Nein, das ist vom Rechenweg schon Ok so. Keinen Taschenrechner oder CAS, was das kann? verwirrt

verwirrt

Für große positive $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist folgende Näherung ziemlich gut: $\begin{eqnarray*} 1-\Phi(x) = \Phi(-x) \approx \frac{1}{x\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} \end{eqnarray*}$

21.08.2022, 20:09

Abinus16

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In meinem Skript stand eine ein bisschen veränderte Formel (fehlendes Pi im Nenner vor der Wurzel): $\begin{eqnarray*} \Phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1- \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{4,67^2}{2}} \end{eqnarray*}$ . Dies entspricht einer Wahrscheinlichkeit von 99,99%

21.08.2022, 20:33

HAL 9000

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Verwechsle bitte nicht Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} \Phi(x) \end{eqnarray*}$ mit Dichte $\begin{eqnarray*} \varphi(x) \end{eqnarray*}$ . Außerdem habe ich nicht von $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ sondern nur von $\begin{eqnarray*} \approx \end{eqnarray*}$ gesprochen. Und es steht auch kein "Pi" im Nenner vor der Wurzel, sondern Faktor $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Exakt gilt für alle $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ die Einschachtelung

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{\left(x^2+1\right)\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} < 1-\Phi(x) = \Phi(-x) < \frac{1}{x\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} \end{eqnarray*}$ ,

die umso besser ist, je größer $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist.

Für $\begin{eqnarray*} x=\frac{14}{3} \end{eqnarray*}$ ergibt diese Einschachtelung beispielsweise $\begin{eqnarray*} 1.525\cdot 10^{-6} < \Phi\left(-\frac{14}{3}\right) < 1.596\cdot 10^{-6} \end{eqnarray*}$ .

Vergleich mit dem von einem CAS gelieferten Wert: $\begin{eqnarray*} \Phi\left(-\frac{14}{3}\right)\approx 1.531\cdot 10^{-6} \end{eqnarray*}$

-------------------------------------------------------------------------------------

Nochmal zu a)b): Da steht ja nicht "Geben Sie obere Schranken für die Wahrscheinlichkeit von ... an" sondern tatsächlich "maximale Wahrscheinlichkeit". Was man mit Tschebyscheff berechnet sind aber Wahrscheinlichkeiten, die echte obere Schranken sind in dem Sinn, dass sie im vorliegenden Fall NICHT erreichbar sind. Darauf sollte man den Aufgabensteller zumindest hinweisen, damit das nächste mal sorgfältiger formuliert wird - oder aber Cantelli ins Programm aufgenommen wird.

Und zu deiner Einschätzung: Bei a) ist die Lücke zum echten Maximum 20% (mit Cantelli) noch viel größer als bei b).

Ich gebe mal noch zu a) und b) Verteilungen an, die die angegebenen Maxima exakt erreichen (womit bewiesen ist, dass die Cantelli-Werte wirklich "scharf" sind). Es sind jeweils Zweipunktverteilungen:

a) $\begin{eqnarray*} P(X=112.5) = \frac{4}{5}, P(X=150)=\frac{1}{5} \end{eqnarray*}$ ,

b) $\begin{eqnarray*} P(X=50)=\frac{9}{205}, P\left(X=\frac{1725}{14}\right)=\frac{196}{205} \end{eqnarray*}$ .

Beide erfüllen wie gefordert $\begin{eqnarray*} E(X)=120 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V(X)=15^2 \end{eqnarray*}$ .

25.08.2022, 14:19

Abinus16

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Erst einmal vielen Dank für die ausführliche Antwort.
Aber warum rechnen sie am Ende mit x=14/3 weiter?
Man rechnet am Ende doch mit "sigma(-14/3)=1-Sigma(14/3)=???"
Es ist nur leider keine Tabelle der Standardnormalverteilung bis 5 auffindbar um den Wert 14/3 ablesen zu können.
Macht die genannte Formel diesen Umformungsschritt unnötig bzw. ist dieser Schritt in der Formel schon integriert?

25.08.2022, 14:22

Abinus16

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phi statt sigma.

25.08.2022, 14:24

HAL 9000

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Zitat:

Original von Abinus16
Aber warum rechnen sie am Ende mit x=14/3 weiter?
Man rechnet am Ende doch mit "sigma(-14/3)=1-Sigma(14/3)=???"

Zeig mir doch bitte mal genau, was du meinst - das hier etwa?

Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{eqnarray*} \frac{x}{\left(x^2+1\right)\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} < 1-\Phi(x) = {\color{red}\Phi(-x)} < \frac{1}{x\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} \end{eqnarray*}$ ,

[...]

Für $\begin{eqnarray*} x=\frac{14}{3} \end{eqnarray*}$ ergibt diese Einschachtelung beispielsweise $\begin{eqnarray*} 1.525\cdot 10^{-6} < \Phi\left({\color{red}-\frac{14}{3}}\right) < 1.596\cdot 10^{-6} \end{eqnarray*}$ .

Vergleich mit dem von einem CAS gelieferten Wert: $\begin{eqnarray*} \Phi\left({\color{red}-\frac{14}{3}}\right)\approx 1.531\cdot 10^{-6} \end{eqnarray*}$

Ich bitte um Aufklärung, was ich wie in deinen Augen falsch gemacht haben soll. Erstaunt1

Erstaunt1

25.08.2022, 15:07

Abinus16

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Sie hatten die folgende Formel genannt $\begin{eqnarray*} 1-\Phi(x) = \Phi(-x) \approx \frac{1}{x\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} \end{eqnarray*}$ und mein Problem war nun wie sie von -14/3 plötzlich auf 14/3 gekommen sind.
Normalerweise muss man ja immer diesen Umformungsschritt machen, wenn man einen negativen z-Wert der Standardnormalverteilung hat. Aber ich glaube, dass deine Formel diesen Umformungsschritt unnötig macht bzw. dieser Schritt schon in der Formel integriert ist. Man setzt praktisch immer den gegenteiligen positiven Wert ein. Also hätte man phi(-5,75) müsste man 5,75 da einsetzen-
Richtig?

Die genannte Formel ist nicht im Skript und somit mir unbekannt. Hammer

Hammer

Vielleicht möchte der Prof auch gar nicht den genauen Wert hören und wir sollen nur aus dem Sachverhalt erkennen, dass der Wert Richtung Null geht.

25.08.2022, 15:16

HAL 9000

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Ja klar, ich weiß nur nicht warum man das so ausführlich kommentieren muss - die Formel spricht doch für sich selbst: Wenn man $\begin{eqnarray*} x=5.75 \end{eqnarray*}$ einsetzt, berechnet man die Schranken für den Wert $\begin{eqnarray*} \Phi(-5.75) = 1-\Phi(5.75) \end{eqnarray*}$ , steht doch da!!! Wenn man zu jeder Formel noch den ausführlichen Vortrag halten muss, dass man es tatsächlich so gemeint hat, wie man es in der Formel aufgeschrieben hat, dann dürften viele mathematische Abhandlungen zu dicken Romanen verkommen...

25.08.2022, 15:30

Abinus16

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Vielen Dank! Wink

Wink

Ich habe die Formel zunächst richtig verstanden und es auch so aufgeschrieben.
Doch ein Kommilitone hatte mich diesbezüglich gefragt und da ich die Aufgabe nicht mehr frisch im Kopf drin hatte, war ich nun etwas verwirrt. Hammer

Hammer

25.08.2022, 15:42

HAL 9000

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Wie gesagt: Die Tabelle gibt diese Werte nicht her, sie liegen außerhalb des gelisteten Bereichs. CAS oder einen TR mit diesen Fähigkeiten kannst oder willst du nicht benutzen. Da wollte ich eben eine weitere Alternative bieten, die gerade in diesen Außenbereichen gar nicht so schlecht ist (wie die Beispielrechnung samt Vergleich zum tatsächlichen Wert $\begin{eqnarray*} \Phi\left(-\frac{14}{3}\right) \end{eqnarray*}$ zeigt). Aber nochmal, das ist nur eine Behelfslösung - wenn es geht, nimm CAS oder TR für solche Berechnungen.

29.08.2022, 14:49

Abinus16

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Moin,
Ich hätte nochmal eine Frage bzgl. der Aufgabenteile A und B: Wieso haben wir in diesen beiden Teilaufgaben die maximale Wahrscheinlichkeit über die Ungleichung von Tschebyscheff gelöst und nicht mit der Verteilungsfunktion und der Methode von Teilaufgabe C gearbeitet?
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung wird doch durch die Verteilungsfunktion beschrieben.
Wäre dies eine andere Möglichkeit gewesen oder worin besteht da das Problem?

29.08.2022, 15:27

HAL 9000

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Zitat:

Original von Abinus16
Wieso haben wir in diesen beiden Teilaufgaben die maximale Wahrscheinlichkeit über die Ungleichung von Tschebyscheff gelöst und nicht mit der Verteilungsfunktion und der Methode von Teilaufgabe C gearbeitet?

Zum ersten: Meine bevorzugte Lösung geht über Cantelli statt über Tschebyscheff, weil man mit Cantelli wirklich das Maximum trifft, und mit Tschebyscheff nur eine (konkret nicht erreichbare) obere Schranke.

Zum zweiten: Mit welcher Verteilungsfunktion willst du arbeiten, wenn es gar keine eindeutig bestimmte hier gibt? Gegeben sind nur Erwartungswert und Standardabweichung, nicht aber die Verteilung an sich!!! Das ist doch der ganze Witz an der Aufgabe, und ich bin schon etwas schockiert, dass du mit diesem "Vorschlag" jetzt hier am Ende ankommst: Das zeigt mir deutlich, dass beispielsweise meine Bonus-Angabe der beiden Zweipunktverteilungen, die für den worst case "maximale Wahrscheinlichkeit" stehen, vollkommen für die Katz war.

29.08.2022, 15:56

Abinus16

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Meine Lernpartner hatten mich diesbezüglich gefragt. Sie hatte aus der Begriff "Wartezeit" abgeleitet, dass es eine Exponentialverteilung sei und wollte es so auf die andere Methode berechnen.
Also sofern die Verteilung bei solch einer Aufgabe nicht ausdrücklich gegeben ist, immer Ungleichung von Tschebyscheff anwenden und nichts aus den Begriffen ableiten oder deuten?!?

29.08.2022, 16:14

HAL 9000

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Wenn keine konkrete Verteilung gegeben ist bzw. sich auch aus dem Sachverhalt nicht zwingend ergibt, dann darf man auch keine solche konkrete Verteilung annehmen. Ob man dann nun Tschebyscheff, Cantelli, Markoff oder welche Ungleichung auch immer man in solchen Fällen zur Abschätzung solcher Wahrscheinlichkeiten verwendet, ist im Einzelfall zu entscheiden.

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