Berechnung der Höhe eines Volumens in einem Zylinder

21.08.2022, 17:54

Schmulle63

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Berechnung der Höhe eines Volumens in einem Zylinder

Hallo zusammen Wink

Wink

Kann mir jemand bei folgendem Problem helfen?
Ich habe ein Rohr (Zylinder) mit festem Radius von 10 cm. Die Länge kann variieren.
Nun werden unterschiedliche Volumina von Wasser in dieses Rohr (liegt eben auf dem Boden) gefüllt.
Wie kann ich möglichst einfach die Füllstandhöhe in dem Rohr berechnen?
Im Einzelfall habe ich natürlich die Rohrlänge.

Vielen Dank schon mal!

21.08.2022, 18:35

Ehos

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gegeben:
L=Rohrlänge
h=Höhe des Wasserstandes im Rohr
r=Rohrradius

gesucht:
V=Volumen des Wassers
-----------------------

Das Volmen berechnet man gemäß:

$\begin{eqnarray*} V=L\cdot \left [r^2\cdot \arccos \left ( 1- \tfrac{h}{r}\right )- (r-h)\cdot \sqrt{2rh-h^2}\right ] \end{eqnarray*}$

----------------------------------------------------------------------------------
Spezialfall 1: Im Fall h=0 ist das Rohr leer und man erhält wegen $\begin{eqnarray*} \arccos(1)=0 \end{eqnarray*}$ das Volumen V=0.
----------------------------------------------------------------------------------
Sezialfall 2: Im Fall h=r ist das Rohl halb voll und man erhält wegen $\begin{eqnarray*} \arccos(0)=\tfrac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ das Volumen $\begin{eqnarray*} V=\tfrac{1}{2}\pi r^2 L \end{eqnarray*}$ , was dem bekannten Volumen eines halben Zylinders entspricht.
----------------------------------------------------------------------------------

21.08.2022, 19:29

Phenix

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Es ist die Füllhöhe (FH) im Rohr und nicht das Volumen im Rohr gesucht.

Gegeben:
V(max) = Rohrvolumen
L = Rohrlänge
d = Rohrdurchmesser

Gesucht:
FH = Füllhöhe

FH = V/V(max)*d

22.08.2022, 08:12

Huggy

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Zitat:

Original von Phenix
Gesucht:
FH = Füllhöhe

FH = V/V(max)*d

Das ist grottenfalsch!

Um die Füllhöhe als Funktion des eingefüllten Volumens zu bestimmen, ist die Formel von Ehos nach $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ aufzulösen. Das ist allerdings nur numerisch möglich. Wenn keine übermäßige Genauigkeit erforderlich ist, kann man sich ein Diagramm für $\begin{eqnarray*} V(h) \end{eqnarray*}$ erstellen. Man geht dann mit $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ auf der y-Achse in das Diagramm und kann $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ auf der x-Achse ablesen. Möchte man das Diagramm universeller gestalten, trägt man $\begin{eqnarray*} \frac {V(h)}{L r^2} \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \frac h r \end{eqnarray*}$ auf.

22.08.2022, 08:32

Phenix

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@Huggy

… grottenfalsch?

Fall 1: V im Rohr = 0
dann gilt: FH = (0 / V(max)) * d = 0

Fall 2: V im Rohr = V(max)
dann gilt: FH = (V(max) / V(max)) * d = d

das ist doch richtig, oder?

22.08.2022, 08:39

Huggy

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Und was ist mit den Fällen dazwischen? Wenn etwas für einzelne (und hier noch dazu triviale) Fälle richtig ist, für alle anderen Fälle aber falsch ist, dann ist das falsch. Da ist jede Diskussion überflüssig.

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22.08.2022, 08:46

HAL 9000

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Behauptung: Es gilt $\begin{eqnarray*} \cos(x) = 1-\frac{2}{\pi}x \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} 0\leq x\leq \pi \end{eqnarray*}$

Beweis: Es gilt für die beiden Randpunkte $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} x=\pi \end{eqnarray*}$ , und sogar auch noch für die Intervallmitte $\begin{eqnarray*} x=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ , q.e.d.

22.08.2022, 08:47

Phenix

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Fall 3: V im Rohr = 0,5 V(max)
dann gilt: FH = (0,5 V(max)) / V(max) * d = 0,5 d

das ist auch richtig, oder?

22.08.2022, 08:49

Huggy

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Siehe HAL!
Und noch mal: Diskussion überflüssig.

22.08.2022, 08:53

Phenix

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Fall x: V(x) = xV(max)
dann gilt: FH = (xV(max) / V(max) * d = x d (für x = 0 - 1)

das ist die Verallgemeinerung.

22.08.2022, 08:58

Huggy

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Zitat:

Original von Huggy
Und noch mal: Diskussion überflüssig.

22.08.2022, 09:02

HAL 9000

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Die von Ehos angegeben Formel ist nicht explizit nach $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ umstellbar. Etwas umformuliert bekommt man

$\begin{eqnarray*} V(h) = Lr^2 \cdot \left[ \arccos\left(1-\frac{h}{r}\right) - \left(1-\frac{h}{r}\right)\sqrt{\frac{2h}{r}-\frac{h^2}{r^2}}\right] = Lr^2\cdot g\left(\frac{h}{r}\right) \end{eqnarray*}$

mit Hilfsfunktion $\begin{eqnarray*} g(x) = \arccos(1-x) - (1-x)\sqrt{2x-x^2} \end{eqnarray*}$ . Die kann man mal plotten:

Wie man sieht (und auch analytisch nachweisbar ist), ist das eine streng monoton wachsende stetige Funktion $\begin{eqnarray*} g:\;[0,2]\to [0,\pi] \end{eqnarray*}$ (die aber nicht linear ist!!!), sie besitzt also eine Umkehrfunktion $\begin{eqnarray*} g^{-1}:\; [0,\pi]\to [0,2] \end{eqnarray*}$ . Leider lässt die sich nicht mit gewöhnlichen Funktionen explizit darstellen - was bleibt sind Näherungsverfahren oder vielleicht auch Reihenentwicklungen, die zumindest für gewisse Argumentbereiche brauchbar sind.

Mit diesem $\begin{eqnarray*} g^{-1} \end{eqnarray*}$ ist dann $\begin{eqnarray*} h = h(V) = r\cdot g^{-1}\left(\frac{V}{Lr^2}\right) \end{eqnarray*}$ , anwendbar für $\begin{eqnarray*} 0\leq V\leq V_{\max}=\pi r^2 L \end{eqnarray*}$ .

22.08.2022, 09:08

Phenix

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Genau, meine einfache Formel ist für bestimmte Bereiche eine brauchbare Näherungsfunktion. Danke, schon wieder etwas gelernt.

@HAL, wie groß ist denn mit deiner Formel die Füllhöhe, wenn 25% bzw. 75% von V(max) im Rohr sind?

22.08.2022, 09:18

HAL 9000

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Nix mit "Genau": Eigentlich in keinem Bereich ist deine Näherung, welche der Linearapproximation $\begin{eqnarray*} g(x)\approx \frac{\pi}{2}x \end{eqnarray*}$ entspricht, wirklich brauchbar:

Weder für kleine $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , wo $\begin{eqnarray*} g(x) = \frac{4\sqrt{2}}{3} x^{\frac{3}{2}} + O\left(x^{\frac{5}{2}}\right) \end{eqnarray*}$ gilt, noch in der Mitte, wo $\begin{eqnarray*} g(x)\approx \frac{\pi}{2} + 2(x-1) \end{eqnarray*}$ die bessere lineare Näherung ist, noch am Ende, wo man per Symmetrie $\begin{eqnarray*} g(x) = \pi-g(2-x) \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} g(x) = \pi - \frac{4\sqrt{2}}{3} (2-x)^{\frac{3}{2}} + O\left((2-x)^{\frac{5}{2}}\right) \end{eqnarray*}$ landet. Von den anderen Bereichen ganz zu schweigen, dort ist der absolute Fehler dieser Näherung noch größer.

22.08.2022, 09:20

Phenix

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@HAL9000

Ich habe aber bereits drei Fälle genannt, für die meine Formel für die Füllhöhe exakte Ergebnisse geliefert hat.

22.08.2022, 09:23

Phenix

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@HAL9000
Ich fInde deine Formel super, aber nach der Füllhöhe kann ich sie nicht auflösen, bei meiner Formel geht das problemlos.

22.08.2022, 09:30

Phenix

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@HAL9000
vielleicht sollte man die Füllhöhe über eine Integration zwischen V = 0 + 1 V(max) bestimmen?

22.08.2022, 09:37

HAL 9000

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Zitat:

Original von Phenix
bei meiner Formel geht das problemlos.

Gewiss ist es für Approximationsformeln auch wichtig, dass sie einfach berechenbar sind, vor allem in zeitkritischen Anwendungen. Aber ausschlaggebender ist doch noch, dass eine geforderte Mindestgenauigkeit erreicht wird.

Und da würde ich im vorliegenden Fall für $\begin{eqnarray*} g^{-1} \end{eqnarray*}$ eher eine LUT (lookup table) vorberechnen, um dann dazwischen zu interpolieren (sei es nun linear, quadratisch oder vielleicht sogar per kubischen Spline). Die Größe dieser LUT wird davon abhängen, welche Genauigkeit man erzielen willen, da wird man etwas probieren müssen.

22.08.2022, 09:43

Phenix

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@HAL9000
Völlig richtig, nicht selten geht das Probieren über das Studieren.
Gib mir doch mal bitte die FH für 25% und 75% V(max), mich würde interessieren wie hoch der Fehler meiner Formel ist.
Vielen Dank für deine Mühe und Mitarbeit …

22.08.2022, 09:58

HAL 9000

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Es ist $\begin{eqnarray*} g^{-1}\left(\frac{\pi}{4}\right) \approx 0.596 \end{eqnarray*}$ . Deine einfache Näherung $\begin{eqnarray*} g^{-1}(x) \approx \frac{2}{\pi}x \end{eqnarray*}$ ergibt ja $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} = 0.5 \end{eqnarray*}$ , das ist ein relativer Fehler von über 16%.

Über die Symmetrie $\begin{eqnarray*} g(x) = \pi-g(2-x) \end{eqnarray*}$ folgt sofort auch $\begin{eqnarray*} g^{-1}(y) = 2-g^{-1}\left(\pi-y\right) \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} g^{-1}\left(\frac{3\pi}{4}\right) \approx 1.404 \end{eqnarray*}$ im Vergleich zu deiner Näherung 1.5, da ist der relative Fehler aufgrund des größerem absoluten Wertes natürlich geringer als bei 1/4 Füllvolumen.

22.08.2022, 10:17

Phenix

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@HAL9000
Moment mal, für 25% Füllvolumen ist mein Näherungswert 0,25 und nicht 0,5 und für 75% ist mein Näherungswert 0,75 und nicht 1,5.

22.08.2022, 10:23

HAL 9000

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Ich spreche von Funktion $\begin{eqnarray*} g^{-1} \end{eqnarray*}$ - was das ist, habe ich oben erläutert (ich wiederhole nicht alles zehnmal):

Zitat:

Original von HAL 9000
Mit diesem $\begin{eqnarray*} g^{-1} \end{eqnarray*}$ ist dann $\begin{eqnarray*} h = h(V) = r\cdot g^{-1}\left(\frac{V}{Lr^2}\right) \end{eqnarray*}$ , anwendbar für $\begin{eqnarray*} 0\leq V\leq V_{\max}=\pi r^2 L \end{eqnarray*}$ .

Der Funktionswert von $\begin{eqnarray*} g^{-1} \end{eqnarray*}$ bezieht sich auf den Rohrradius $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ , nicht auf die Höhe $\begin{eqnarray*} 2r \end{eqnarray*}$ des liegenden Rohres. unglücklich

unglücklich

$\begin{eqnarray*} 0.25\cdot 2r = 0.5r \end{eqnarray*}$

22.08.2022, 10:38

Leopold

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Zitat:

Original von Phenix
Ich habe aber bereits drei Fälle genannt, für die meine Formel für die Füllhöhe exakte Ergebnisse geliefert hat.

$\begin{align*} p = \frac{3}{\infty} = 0 \end{align*}$

22.08.2022, 11:48

Phenix

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HAL9000
Okay, jetzt haben wir des Pudels Kern, denn meine Füllhöhe bezieht sich nicht auf r, sondern 2r = d.

22.08.2022, 11:53

Leopold

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Wenn du nicht irrst, kommst du nicht zu Verstand. Willst du entstehn, entsteh auf eigne Hand.

22.08.2022, 11:55

Phenix

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Richtig, und falls du gläubig bist, kannst du nicht tiefer fallen als in Gottes Hand.

22.08.2022, 12:03

Finn_

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20:
21:
22:
23:
24:
25:
26:

from math import pi, acos, sqrt

def sgn(x):
    return float(x > 0) - float(x < 0)

def bisection(f, y, a, b, tol, nmax = 1000):
    for n in range(nmax):
        c = 0.5*(a + b); yc = f(c) - y
        if yc == 0 or 0.5*(b - a) < tol:
            return c
        if sgn(yc) == sgn(f(a) - y):
            a = c
        else:
            b = c
    raise ArithmeticError("Bisection failed")

def g_inv_from_tol(tol):
    def g(x):
        return acos(1 - x) - (1 - x)*sqrt(2*x - x*x)
    return lambda x: bisection(g, x, 0, 2, tol)

g_inv = g_inv_from_tol(1E-14)

print(abs(g_inv(pi) - 2))
# Ausgabe: 2.9E-11

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