Warum sind Geraden orthogonal, wenn Steigungen multipliziert =-1?

21.08.2022, 19:53

Roglen

Warum sind Geraden orthogonal, wenn Steigungen multipliziert =-1?

Meine Frage:
Wie kann man beweisen, dass zwei geraden orthogonal zueinander stehen, wenn ihre Steigungen multipliziert miteinander -1 ergeben?

Ich denk da hin und wieder immer mal drüber nach, aber obwohl das ja an sich Sinn ergibt, fällt mir kein Weg ein das zu beweisen.

Über Hilfe würde ich mich freuen smile

Meine Ideen:
-

21.08.2022, 19:59

Elvis

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Für y=x und y=-x stimmt das schon mal. Dann kann man nur noch drehen und verschieben. Ändert das etwas daran, dass das Produkt der Steigungen -1 ist ?

21.08.2022, 20:03

Roglen2

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Ne natürlich nicht. Ich bin mir aber nicht ganz sicher, ob meine Frage richtig aufgefasst wurde. Wenn das Produkt von zwei geraden, zum Beispiel einer Tangente und einer normalen zu dieser Tangente, gleich -1 ergeben, dann schneiden sich die beiden Funktionen im rechten Winkel.

Woran liegt das?

21.08.2022, 20:14

Leopold

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Nennen wir die Geraden $\begin{align*} g \end{align*}$ und $\begin{align*} h \end{align*}$ . Zeichne im Schnittpunkt $\begin{align*} S \end{align*}$ beider Geraden ein Steigungsdreieck von $\begin{align*} g \end{align*}$ . Jetzt drehe $\begin{align*} g \end{align*}$ mit 90° um $\begin{align*} S \end{align*}$ , bis $\begin{align*} g \end{align*}$ auf $\begin{align*} h \end{align*}$ liegt. Stell dir vor, das Steigungsdreieck ist starr an $\begin{align*} g \end{align*}$ befestigt und dreht sich mit. So geht ein Steigungsdreieck von $\begin{align*} g \end{align*}$ in eines von $\begin{align*} h \end{align*}$ über.
Nehmen wir an, beim Steigungsdreieck von $\begin{align*} g \end{align*}$ seien $\begin{align*} \Delta x = a \end{align*}$ und $\begin{align*} \Delta y = b \end{align*}$ die $\begin{align*} x \end{align*}$ - beziehungsweise $\begin{align*} y \end{align*}$ -Differenzen, was sind dann $\begin{align*} \Delta x' \end{align*}$ und $\begin{align*} \Delta y' \end{align*}$ bei $\begin{align*} h \end{align*}$ ? Beachte, daß es beim Steigungsdreieck nicht allein auf die bloßen Streckenlängen ankommt, sondern man gerichtete Strecken, also solche mit Vorzeichen, hat.

21.08.2022, 22:13

steiger

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Zitat:

Wie kann man beweisen, dass zwei geraden orthogonal zueinander stehen, wenn ihre Steigungen multipliziert miteinander -1 ergeben?

Ein Beweis, wo dieser Zusammenhang unmittelbar folgt, würde auch über die Tatsache folgen, dass zwei Vektoren genau dann orthogonal liegen, wenn ihr Skalarprodukt Null ergibt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ m_1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ m_2 \end{pmatrix} =0 \end{eqnarray*}$

23.08.2022, 09:03

klauss

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RE: Warum sind Geraden orthogonal, wenn Steigungen multipliziert =-1?
Ich habe mir dazu folgenden Nachweis überlegt, der ähnlich auch in Gegenrichtung funktioniert:

[attach]55813[/attach]

$\begin{eqnarray*} m_{1} \cdot m_{2} =\tan\alpha \cdot \tan\beta=-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \tan\alpha =-\frac{1}{\tan\beta} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \tan\alpha +\frac{1}{\tan\beta}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\frac{\cos\beta}{\sin\beta}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\sin\alpha\sin\beta+\cos\alpha\cos\beta}{\cos\alpha\sin\beta}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\cos(\beta - \alpha)}{\cos\alpha\sin\beta}=0 \end{eqnarray*}$

Damit sollte man eigentlich was Brauchbares in der Hand haben.
Den Fall Nenner = 0 kann man hier ausschließen.

23.08.2022, 21:14

Leopold

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Da wird aber eine ganze Herde von Pferden von hinten aufgezäumt. Augenzwinkern

Und wie rum geht die Argumentation nun? Was ist vorausgesetzt, was wird behauptet?

Ich finde, dieser elementare Vorgang sollte auch elementar abgehandelt werden.

24.08.2022, 08:54

Phenix

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RE: Warum sind Geraden orthogonal, wenn Steigungen multipliziert =-1?
Sorry, aber mein Gedankengang war falsch …

24.08.2022, 09:04

Elvis

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Falsche Aussage hilft nicht weiter. unglücklich

24.08.2022, 09:05

klauss

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RE: Warum sind Geraden orthogonal, wenn Steigungen multipliziert =-1?
@Leopold:

Habe mich an der Zielrichtung der Frage
[attach]55822[/attach]
orientiert.

Immer der Reihe nach:
[attach]55821[/attach]

In Gegenrichtung hätte ich dementsprechend $\begin{eqnarray*} \tan\alpha \cdot \tan\beta \end{eqnarray*}$ umgeformt, bis ich von $\begin{eqnarray*} \beta - \alpha = 90° \end{eqnarray*}$ Gebrauch machen kann und dann -1 rauskommt.

Bisher sehe ich nur ein einziges reitfertiges Pferd (rechnerische Begründung für Roglen).
Oder ist die Rechnung mangelhaft?

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