Doppelpost! Mein Beweis zur Überabzählbarkeit von IR

21.08.2022, 22:34

Pippen

Mein Beweis zur Überabzählbarkeit von IR

Kann man den Beweis so notieren? Ich habe mich an Deisers Version gehalten, aber etwas umgemodelt und gerade da kann man Fehler reinbringen, deshalb stelle ich es hier rein, um vllt. Verbesserungen oder auch nur ein OK zu bekommen.

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22.08.2022, 14:27

Elvis

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Dein Anfang ist falsch. Du darfst f nicht beliebig und surjektiv voraussetzen, denn es gibt kein surjektives f. Deiser hat ganz bewußt f beliebig gewählt. Eine beliebige Funktion gibt es immer. Du hast wohl versucht, einen Beweis durch Widerspruch zu konstruieren, das ist nicht nötig, wie Deisers direkter Beweis zeigt.
Am Ende deine Liste steht f(n), die Liste kann aber kein Ende haben, deshalb steht bei Deiser am "Ende" ...
Dass du zu Beginn deines Beweises x im Sinne "für alle x" benutzt und später dieselbe Variable x als "ein bestimmtes" x definierst, ist zumindest sprachlich unsauber.

22.08.2022, 15:05

Pippen

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Verstehe ich dich richtig: Mein Beweis hat - bis auf die Unsauberkeit mit x - keinen Fehler, ist aber unnötig umständlich?

22.08.2022, 15:16

Elvis

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So in etwa. Die Liste muss unendlich lang sein, das habe ich auch schon gesagt.
Bedenke auch, dass Deisers Argument recht subtil ist. Jedes f ist nicht surjektiv, also existiert kein surjektives f. wzbw.
Diesen Beweis indirekt zu führen müsste man sicherlich viel ausführlicher machen als du es getan hast.

22.08.2022, 22:12

Pippen

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So sollte es jetzt passen. Ich habe unsichere Stellen nochmal grün markiert. Kann ich das so abheften?

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22.08.2022, 22:28

Elvis

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Für meinen Geschmack ist das etwas zu viel Text am Anfang. Es ist nicht üblich, zu Beginn eines Beweises das Ergebnis (nicht surjektiv) vorweg zu nehmen und anzukündigen, dass ein x konstruiert werden soll. Es genügt

Sei $\begin{eqnarray*} f:\mathbb N\to \mathbb R \end{eqnarray*}$ beliebig.
Also TABELLE
Sei x=...

Der Rest ist ok. In der Tabelle und in der Definition von x hast du reelle Zahlen mit unendlich vielen Kommata geschrieben, auch das ist zu viel des Guten. Ein Komma reicht aus, danach kommen nur noch die Dezimalzahlziffern.

22.08.2022, 22:57

Elvis

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Möchtest du dein Verständnis erweitern? Dann führe denselben Beweis unter zusätzlichen Annahmen durch.
a) alle f(n) sind rational
b) alle f(n) sind irrational
Beweist das etwas? Wenn ja, was? Wenn nein, warum nicht?

23.08.2022, 15:06

Pippen

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Zitat:

Original von Elvis
Für meinen Geschmack ist das etwas zu viel Text am Anfang. Es ist nicht üblich, zu Beginn eines Beweises das Ergebnis (nicht surjektiv) vorweg zu nehmen und anzukündigen, dass ein x konstruiert werden soll. Es genügt

Sei $\begin{eqnarray*} f:\mathbb N\to \mathbb R \end{eqnarray*}$ beliebig.
Also TABELLE
Sei x=...

Der Rest ist ok. In der Tabelle und in der Definition von x hast du reelle Zahlen mit unendlich vielen Kommata geschrieben, auch das ist zu viel des Guten. Ein Komma reicht aus, danach kommen nur noch die Dezimalzahlziffern.

Vielen Dank für die guten Hinweise. Das werde ich alles noch umsetzen.

26.08.2022, 01:48

Pippen

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Und wieder will ich es mir einfach machen. Kann man das grün Markierte so schreiben?

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26.08.2022, 08:58

Elvis

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Das ist weitgehend richtig.
$\begin{eqnarray*} x=0,b_1b_2b_3... \end{eqnarray*}$ hat auch nur ein Dezimalkomma.

Es stimmt, dass die algebraischen reellen Zahlen abzählbar und die transzendenten reellen Zahlen überabzählbar sind. Der Beweis dafür muss aber unabhängig von dem Beweis geführt werden, dass die reellen Zahlen überabzählbar sind. Das Diagonalargument zeigt das nicht. Wenn man einen Beweis für die Abzählbarkeit der reellen algebraischen Zahlen hat, dann ist deine Folgerung richtig.

Bei dem Korollar, dass jedes (nichtleere) Intervall $\begin{eqnarray*} (a,b)\subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ überabzählbar ist, solltest du besser nicht die Folge $\begin{eqnarray*} (z_n) \end{eqnarray*}$ aus dem Intervall als $\begin{eqnarray*} rng(f) \end{eqnarray*}$ benutzen, weil du $\begin{eqnarray*} z_n \end{eqnarray*}$ in dem Diagonalargument schon als ganze Zahlen vor dem Dezimalkomma verbraten hast.

27.08.2022, 21:10

Pippen

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So jetzt sollte es klarer sein oder siehst du noch gröbere Fehler? Die wichtigen Stellen habe ich grün markiert.

27.08.2022, 21:18

Pippen

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Bei diesem Beweis Deisers stocke ich wieder. Dass M-A auf jeden Fall unendlich bleiben muss, will mir nicht so recht einleuchten. Woraus ergibt sich das? Liegt das daran, dass man das Diagonalverfahren am unendlichen A unendlich oft/verschieden anwenden und damit unendlich viele Diagonalzahlen für M konstruieren könnte? Gibt es dafür einen formalen Beweis bzw. nach welchen Namen sollte ich da googlen, denn Deiser gibt dafür keinen Beweis, für ihn scheint es klar zu sein.

27.08.2022, 21:51

Elvis

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$\begin{eqnarray*} M-A \end{eqnarray*}$ endlich, $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ abzählbar, dann $\begin{eqnarray*} M=A\cup (M-A) \end{eqnarray*}$ abzählbar im Widerspruch zur Voraussetzung.

28.08.2022, 22:28

Pippen

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Da hätte ich auch selbst drauf kommen können/müssen. Danke. Und bei meinem vorletzten Beitrag, habe ich da die Sache mit den Intervallen richtig dargestellt (ganz am Schluß grün markiert)? Da hattest du ja noch etwas auszusetzen und ich habe es geändert, ist das ok so?

29.08.2022, 09:06

Elvis

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Die Kunst, Mathematik zu lesen, besteht zum größten Teil darin, jeden Buchstaben und jedes Symbol, jedes Wort und jede Gleichung, jeden Satz und jede Aussage zu bedenken und kritisch zu hinterfragen. Solange auch nur der leiseste Zweifel an den Darstellungen anderer oder an eigenen Darstellungen besteht, muss man nachfragen, verbessern und in Wort und Schrift und in Gedanken alle Lücken schließen. Du bist m.E. auf dem richtigen Weg, und wenn du so weiter machst, wirst du immer mehr verstehen. Alles verstehen kann niemand, wir arbeiten an unserer Perfektion, wohl wissend, dass wir sie niemals erreichen können.

Man muss nur eine Bijektion zwischen einem Intervall und $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ angeben (z.B. tan). Den Beweis, dass alle reellen Intervalle gleichmächtig sind, führt man am besten durch eine Bijektion zwischen zwei Intervallen. Dass offene, halboffene und abgeschlossene reelle Intervalle gleichmächtig sind, hast du ja schon mustergültig (unter dem Punkt 2.) bewiesen. Das ist bequemer als das Diagonalargument zu sehr zu strapazieren.

29.08.2022, 16:37

Pippen

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[attach]55873[/attach]

Also kann man das so schreiben? Mir reicht hier die Grundidee, wie man die Überabzählbarkeit der reellen Intervalle beweisen kann, ich kann/will nicht jeden Beweis übernehmen, mein Heft dient ja später der Wiederholung, da muss man auch Sachen weglassen.

29.08.2022, 18:33

Elvis

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Schade, ich wollte dich ausnahmsweise einmal loben und motivieren. Wenn du es dir unbedingt schwer machen möchtest, dann musst du einen allgemeinen Beweis führen, ein Beispiel reicht nicht. Das Beispiel ist falsch, weil 1,5 nicht zwischen 2 und 3 liegt. Es gibt auch keine Ziffern $\begin{eqnarray*} 5_0,5_1,... \end{eqnarray*}$ .

Findest du die Bijektion j vom Intervall (A,B) auf das Intervall (C,D) nicht auch viel einfacher ? Ein Federstrich und fertig, seit Descartes haben Zahlen auch etwas mit Geometrie zu tun.

30.08.2022, 01:33

Pippen

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Ach, diese Schusselfehler.

Bei einem Intervall a,b - ob nun offen, halboffen oder geschlossen - würde ich zn = c mit a < c < b setzen, wobei c nur n-viele Ziffern habe. Dadurch erhalte ich die altvertraute Funktionsaufstellung für f: IN -> Intervall a,b:

f(0) = z0 a00 a01 a02
f(1) = z1 a10 a11 a12
f(2) = z2 a20 a21 a22
…

Jetzt kann ich das Diagonalargument anwenden und damit die Überabzählbarkeit des Intervalls a,b beweisen, also aller Intervalle.

Siehst du das auch so? Denn dieses Vorgehen würde ich verstehen und deshalb für mich als Erklärung bevorzugen.

p.s. Dein Bild zB verstehe ich nicht recht, weil ich mir denke: was bringt mir eine Bijektion zwischen den Intervallen, wenn ich zeigen muss, dass keine Bijektion zu den natürlichen Zahlen existiert. Natürlich macht das Sinn, weil man letztendlich jedes Intervall auf jedes bijektiv abbilden kann und dann beweist du einmal für (0,1), dass es zu IN keine Bijektion ist und schon folgt daraus, dass es für alle Intervalle gilt, aber das ist mir nicht so eingängig/einfach wie mein Beweis (wenn er denn korrekt wäre).

30.08.2022, 04:23

Elvis

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Jede reelle Zahl kann als Dezimalzahl dargestellt werden, enthält also ein Komma zwischen der ganzen Zahl und den Nachkommastellen. Damit wäre dein Diagonalargument für hinreichend große reelle Intervalle vielleicht meistens korrekt. Bei kleinen Intervallen musst du genau auf die Nachkommastellen im Diagonalargument achten, das wird komplizierter. Zum Beispiel ist x=3,2... reell aber nicht Element von $\begin{eqnarray*} (3,\pi) \end{eqnarray*}$ . Wenn dir der Beweis gelingen sollte, ist jedes reelle Intervall (a, b) mit a<b überabzaehlbar. Damit kennt man aber noch lange nicht die Mächtigkeit eines einzigen Intervalls, die könnte ja theoretisch von seiner Länge abhängen.

Durch Angabe konkreter Bijektionen $\begin{eqnarray*} j: (A, B) \to (C, D) \end{eqnarray*}$ zwischen zwei beliebigen reellen Intervallen und dem $\begin{eqnarray*} tan: (-\pi/2,\pi/2)\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ habe ich sehr viel mehr bewiesen, nämlich dass alle Intervalle und $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ gleichmächtig sind. Es gilt sogar noch viel mehr, nämlich das Korollar: Jede Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ , die ein Intervall (a,b), a<b, enthält, hat die Mächtigkeit von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Für Isaac Newton waren reelle Zahlen mit schönster Selbstverständlichkeit Punkte auf Wegen im Raum, die durch die reelle Zeit $\begin{eqnarray*} t\in [0,1] \end{eqnarray*}$ parametrisiert werden. In meinem Beispiel ist $\begin{eqnarray*} x(t) =A+t(B-A), y(t) =C+t(D-C) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} j: (A, B) \to (C, D), x(t) \mapsto y(t) \end{eqnarray*}$ . Noch natürlicher und leicht verständlicher kann ich es nicht mehr erklären.

Dass man die Endpunkte der Intervalle nach Belieben dazunehmen oder wegnehmen kann, ist dir ja klar, weil eine endliche Menge nichts an der Mächtigkeit einer überabzaehlbar unendlichen Menge ändert.

30.08.2022, 09:42

Pippen

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Danke, das stellt es nochmal klar. Ich werde das auf jeden Fall noch notieren, dass jedes reelle Intervall nicht nur überabzählbar ist, sondern auch gleichmächtig zu IR.

30.08.2022, 21:23

Pippen

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Zitat:

Original von Elvis
$\begin{eqnarray*} M-A \end{eqnarray*}$ endlich, $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ abzählbar, dann $\begin{eqnarray*} M=A\cup (M-A) \end{eqnarray*}$ abzählbar im Widerspruch zur Voraussetzung.

Per Voraussetzung war M überabzählbar, A abzählbar. Damit M trotz Subtraktion von A unendlich viele Elemente enthält, läuft das darauf hinaus, dass es unendlich viele Diagonalzahlen/-elemente geben muss, die nicht in A, aber in M sind. Irgendwoher weiß ich auch, dass das so ist, aber wie geht das Verfahren? Im Cantor'schen Diagonalargument wird ja nur erstmal eine Diagonalzahl konstruiert, was dort auch reicht. Deiser schreibt da nichts zu.

30.08.2022, 22:20

Elvis

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Das hast du gut erkannt. Der einzige Sinn und Zweck des Cantorschen Diagonalarguments war zu seiner Zeit der absolut neue und bis dahin völlig unerwartete Nachweis dafür, dass es eine Menge gibt, die überabzaehlbar ist. Cantor hat diese Tatsache am Beispiel der reellen Zahlen bewiesen. Damit hat er grundlegende Erkenntnisse über Mengen aller Art gewonnen und konnte weiter zeigen, dass es nicht nur eine oder zwei verschiedene Arten von Unendlichkeiten gibt sondern unendlich viele verschiedene Unendlichkeiten.
Giordano Bruno wurde am 12.Februar 1600 wegen solch ketzerischer Ideen verbrannt (seine Statue am Campo de' Fiori in Rom mit dem durch Cantors Wissen geschulten Bewusstsein zu betrachten, ist außerordentlich beeindruckend und seelisch bewegend).
Über diese wichtige und für die gesamte Mengenlehre grundlegende Einsicht hinaus hat das Diagonalargument überhaupt keine weitere Bedeutung für die reellen Zahlen, die Mengenlehre und die Mathematik insgesamt. Alle weiteren Sätze der Mengenlehre befassen sich mit beliebig allgemeinen Mengen, man kann deren Eigenschaften nicht auf reelle Zahlen und das einmalig benutzte Diagonalargument zurückführen. Tipp : Nachdem du es verstanden hast, kannst du es sofort wieder vergessen, du wirst es vermutlich nie wieder brauchen.

30.08.2022, 23:24

Leopold

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Zitat:

Original von Elvis
Das hast du gut erkannt. Der einzige Sinn und Zweck des Cantorschen Diagonalarguments war zu seiner Zeit der absolut neue und bis dahin völlig unerwartete Nachweis dafür, dass es eine Menge gibt, die überabzaehlbar ist.
...
Tipp : Nachdem du es verstanden hast, kannst du es sofort wieder vergessen, du wirst es vermutlich nie wieder brauchen.

Ich weiß nicht, ob man das so sagen kann. Das Diagonalargument kann sich auch hinter einem anderen Argument verbergen. Nehmen wir als Beispiel die Sache mit einer Menge $\begin{align*} X \end{align*}$ und ihrer Potenzmenge $\begin{align*} \mathcal{P}(X) \end{align*}$ .

Angenommen, $\begin{align*} f: X \to \mathcal{P}(X) \end{align*}$ wäre eine Bijektion. Dann könnte man die Menge $\begin{align*} X_0 \subseteq X \end{align*}$ betrachten, die folgendermaßen definiert ist:

$\begin{align*} X_0 = \left\{ \, x \in X \, \left| \ x \not \in f(x) \, \right. \right\} \end{align*}$

Als Bijektion müßte $\begin{align*} f \end{align*}$ für $\begin{align*} X_0 \end{align*}$ ein Urbild $\begin{align*} x_0 \in X \end{align*}$ besitzen: $\begin{align*} f(x_0) = X_0 \end{align*}$ . Bekanntermaßen führt das auf die absurde Äquivalenz

$\begin{align*} x_0 \in X_0 \ \ \Leftrightarrow \ \ x_0 \not \in X_0 \end{align*}$

Und das ist doch der Kern des Diagonalarguments: Man hat eine Liste aller Elemente einer Menge. (Ich sage "Liste" nur wegen der Anschaulichkeit. Das soll für Bijektion stehen und nicht für Abzählbarkeit oder etwas Ähnliches.) Man hat also eine Liste aller (!) Elemente und konstruiert mit Hilfe dieser Liste ein Element, das nicht in der Liste stehen kann, so daß es eine vollständige Liste der Elemente im ursprünglichen Sinn nicht geben kann.
Meiner Erinnerung nach gab es ähnliche Argumentationen auch in der Berechenbarkeitstheorie, etwa wenn es um das Stoppen von Turing-Maschinen geht. Und ich denke, auch in Logik wird man solche Argumente bemühen, wenn es um Unvollständigkeitssätze geht. Aber da begebe ich mich auf holpriges Gebiet, weil ich nicht Fachmann genug bin.

31.08.2022, 03:27

Finn_

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Zitat:

Original von Leopold
Meiner Erinnerung nach gab es ähnliche Argumentationen auch in der Berechenbarkeitstheorie, etwa wenn es um das Stoppen von Turing-Maschinen geht. Und ich denke, auch in Logik wird man solche Argumente bemühen, wenn es um Unvollständigkeitssätze geht. Aber da begebe ich mich auf holpriges Gebiet, weil ich nicht Fachmann genug bin.

Die Beziehung wurde sogar bereits präzisiert durch den Fixpunktsatz von Lawvere, der kategoriell formuliert ist. Siehe den Wikipedia-Artikel Fixpunktsatz von Lawvere und den nLab-Artikel Lawvere's fixed point theorem. William Lawvere ist auch Urheber der ETCS, das ist so eine zu ZFC alternative axiomatische Mengenlehre, siehe Rethinking set theory von Tom Leinster, https://arxiv.org/abs/1212.6543.

31.08.2022, 08:37

Elvis

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Ja, ihr habt sicher recht, und auch Gödel hat ein Diagonalargument benutzt, und man kann es immer wieder mal gebrauchen. Meine Hinweise an Pippen waren eher kurzfristig didaktischer Art, denn ich hatte den Eindruck, dass er sich bei seinem Studium von Oliver Deiser "Einführung in die Mengenlehre" momentan zu sehr am Diagonalargument für die reellen Zahlen festbeißt und so die nächsten 10 Seiten des Buches, die von Mengen im allgemeinen handeln, nicht verstehen kann.

02.09.2022, 22:23

Pippen

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Endlich mal ein Beweis, durch den ich mich nicht durchkämpfen musste, aber stimmt auch mein letzter Satz?

[attach]55897[/attach]

02.09.2022, 22:36

Elvis

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Kann man nicht besser machen, stimmt alles. Mit den Dezimalzahlen kommst du anscheinend gut zurecht.
Stimmt denn auch für jede Menge M, dass |MxM|=|M|?

02.09.2022, 22:46

Pippen

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Das kommt bei Deiser genau jetzt. Augenzwinkern

Er sagt: ja, aber gezeigt wird es erst später.

03.09.2022, 02:15

Elvis

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Das freut mich, einerseits weil die Frage naheliegt, andererseits dass die Antwort positiv sein wird.
Ist dir auch klar, dass wegen $\begin{eqnarray*} 0,\overline 9=1,\overline 0 \end{eqnarray*}$ der Beweis streng genommen für Dezimalzahlen aber nicht für reelle Zahlen gilt (, weil f keine Funktion, also auch keine injektive Funktion auf dem cartesischen Produkt von reellen Zahlen ist) , und wie und warum der Beweis für reelle Zahlen trotzdem richtig ist?

03.09.2022, 18:36

Pippen

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Zitat:

Original von Elvis
Ist dir auch klar, dass wegen $\begin{eqnarray*} 0,\overline 9=1,\overline 0 \end{eqnarray*}$ der Beweis streng genommen für Dezimalzahlen aber nicht für reelle Zahlen gilt (, weil f keine Funktion, also auch keine injektive Funktion auf dem cartesischen Produkt von reellen Zahlen ist) , und wie und warum der Beweis für reelle Zahlen trotzdem richtig ist?

Nein, darüber schreibt Deiser nichts. Ich weiß, dass 0,999… = 1, aber ich wüßte jetzt nicht, wo da hier ein Problem liegt. Wäre das Problem, dass es dann viele reelle Zahlen doppelt gäbe, so wie beim Abzählbarkeitsbeweis der rationalen Zahlen die vielen gleichen Brüche wie zB 1/2, 3/6 usw.? Aber dann könnte man einfach festlegen, dass IR nur die sog. nicht-trivialen Dezimalbrüche erfasst, also zB 0,999… und nicht 1,000…. Kannst du dein angesprochenes Problem nochmal genauer ausführen bzw. einen Link?

03.09.2022, 21:49

Elvis

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Die übliche Ansicht über reelle Zahlen beinhaltet auch, dass alle natürlichen, alle ganzen und alle rationalen Zahlen Teilmengen der reellen Zahlen sind. Nun lässt sich sich aber jede rationale Zahl, die auf Periode 0 endet auch so darstellen, dass sie auf Periode 9 endet. Man definiert normalerweise, dass reelle Zahlen Dezimalzahlen sind, die nicht auf Periode 9 enden, damit die Dezimaldarstellung eindeutig wird. Wenn man das macht, dann ist der Beweis in Ordnung, sonst nicht, wie du dir an einem Beispiel selbst klarmachen kannst. In meinem Beispiel hat f(1,1) die 4 verschiedenen Werte g(0,0),g(0,1),g(1,0), g(1,1) vor dem Komma, je nachdem ob man die reelle Zahl 1 als 0,9... oder als 1,0... darstellt. Eine Funktion muss aber zu jedem Element des Definitionsbereichs genau einen Wert haben und nicht für abzählbar unendlich viele Elemente 2 oder 4 Werte. Deiser hat vermutlich diesen leichtsinnigen Fehler gemacht, weil er weiß, dass für jede Menge M das Produkt MxM die gleiche Mächtigkeit hat wie M. Deshalb kommt es auf den Beweis nicht so sehr an, und er kann sich kleine Nachlässigkeiten erlauben (ich erlaube das nicht). Alternativ kann man den Beweis retten, indem man benutzt, dass die überabzaehlbar vielen reellen Zahlen dieselbe Mächtigkeit haben wie jede Teilmenge, die abzählbar unendlich weniger Elemente hat (den Beweis hatten wir schon). Literatur oder einen Link kann ich dir nicht geben, denn das sind meine eigenen Gedanken zu dem Thema.

04.09.2022, 10:19

Huggy

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Deiser ist da schon sorgfältig. Er bezieht sich bei seinem Beweis auf die kanonische Dezimaldarstellung der reellen Zahlen. Diese kanonische Darstellung hat er so definiert, dass sie eindeutig ist.

04.09.2022, 13:10

Elvis

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Danke Huggy.
Pippen, du musst besser aufpassen. Tipp: Lerne reelle Zahlen als das zu verstehen, was sie "wirklich" sind. Kanonische Dezimalzahlen sind nur eine Möglichkeit unter vielen anderen, reelle Zahlen darzustellen. Man benutzt sie für Schüler, weil man so die reellen Zahlen auch ohne weitere Theorie einigermaßen verständlich machen kann. Als erwachsener Mensch muss man seinen Horizont erweitern, wenn man dazulernen will. (Eventuell kannst du dir die Anfangsgründe aus einem guten Analysis 1 - Buch erwerben.)

04.09.2022, 19:14

Pippen

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Ja, ganz am Anfang stellt Deiser klar, dass er die reellen Zahlen als nicht-triviale Dezimalzahlen darstellt, also zB 0,999… statt 1. Mich als Anfänger hat das erstmal nicht sooo interessiert, weil ich mir sagte: 0,999… und 1,000… sind ja nur Zeichen für die EINE reelle Zahl und ich kann theoretisch immer sagen: aus allen Dezimaldarstellungen reeller Zahlen sondere ich einfach alle Dopplungen aus, indem die Dezimaldarstellung gelöscht wird, die als hyperreelle Zahl kleiner wäre (nur als Bsp., da gibt es bestimmt noch viel raffiniertere Regelungen).

Aber schön, dass ich damit zum Multiplikationsproblem weitergehen kann.

04.09.2022, 20:01

Elvis

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Das Aussondern von Dezimalzahlen aus den reellen Zahlen ist deswegen möglich, weil man nur abzählbar viele Dezimalzahlen entfernen muss, wie ich oben erläutert habe. Es darf ja nicht passieren, dass die Mächtigkeit der reellen Zahlen kleiner wird als die Mächtigkeit der Dezimalzahlen, deren Überabzählbarkeit das Cantorsche Diagonalargument sichergestellt hat. Weiterhin viel Vergnügen mit Oliver Deiser. Bei Fragen stehe ich weiter gerne zur Verfügung.

Beachte bitte auch, dass man jedem Erstklässler leicht sagen kann, dass 1+1=2 ist, die sinngemäß gleiche Aussage 0,999...+0,999...=1,999... ist dagegen nicht einmal allen Erwachsenen klar.

09.09.2022, 01:42

Pippen

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Jetzt kommt bei Deiser der Satz von Cantor, den ich erstaunlicherweise recht gut nachvollziehen kann. Ich habe mir Folgendes notiert und bitte darum zu schauen, ob das stimmig ist oder ob sich da kleinere/größere Fenler eingeschlichen haben.

[attach]55909[/attach]

09.09.2022, 04:02

Elvis

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Deisers Beweis ist perfekt, dein Beweis weicht nur wenig davon ab und enthält Fehler. Das ist ein Dilemma. Wenn du ihn eins zu eins abschreibst, weiß man nicht, ob du ihn verstanden hast. Wenn du ihn änderst und ergänzt, weiß man, dass du darüber nachgedacht hast (löblich). Wäre deine Version korrekt, dann wäre alles gut. Weil deine Version nicht ganz korrekt ist, ist sie falsch, und man kann vermuten, dass du Deiser nicht verstanden hast. Solange du deine eigenen Fehler nicht erkennst, ist es sehr schwierig, dir zu helfen.
Tipp : Du musst dringend fundamental selbstkritisch werden, sonst kannst du nicht Mathematik lernen. Der erste Schritt, den ich dir hiermit empfehle, besteht darin, dass du deine Version komplett überarbeitest und korrigierst. Ich werde diesen Teil der Arbeit nicht mehr machen, weil ich dir damit keinen Gefallen tun kann, aber ich werde dir dadurch helfen, dass ich deine weiteren Versuche, einen perfekten Beweis zu finden, richtig oder falsch nenne.

09.09.2022, 08:05

Leopold

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@Elivs
Und wo ist der Beweis von Pippen falsch? verwirrt

Um etwas wirklich zu verstehen, hilft es manchmal, sich die Sache an einem einfachen Beispiel anzusehen. Was ist eigentlich dieses $\begin{align*} D \end{align*}$ ? Als Beispiel nehme ich

$\begin{align*} M = \mathbb{Z}_4 = \{1,2,3,4\} \end{align*}$

und rechne mit den Elementen von $\begin{align*} M \end{align*}$ modulo 4. (Wir wissen, daß die Potenzmenge von $\begin{align*} M \end{align*}$ sechzehn Elemente enthält, behalten das aber für uns.)

Wir betrachten nun Abbildungen $\begin{align*} f_i: M \to \mathcal{P}(M) \end{align*}$ und setzen $\begin{align*} D_i = \left\{ x \in M \mid x \not \in f_i(x) \right\} \end{align*}$ .

Erstens: $\begin{align*} f_1: x \mapsto \left\{ x,x+1 \right\} \end{align*}$ . Hier ist $\begin{align*} D_1 = \emptyset \end{align*}$ .

Zweitens: $\begin{align*} f_2: x \mapsto \left\{ x+1,x+2 \right\} \end{align*}$ . Hier ist $\begin{align*} D_2 = \left\{ 1,2,3,4 \right\} = M \end{align*}$ .

Drittens: $\begin{align*} f_3: x \mapsto \left\{ x^2 \right\} \end{align*}$ . Hier ist $\begin{align*} D_3 = \left\{ 2,3 \right\} \end{align*}$ .

09.09.2022, 10:16

Elvis

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Gott ist allmächtig, oder fast allmächtig, er muss sich Chronos beugen, also sagt er "es werde", um etwas in die Existenz zu berufen. Deiser ist nicht allmächtig, er sagt "sei" oder "sei also", um etwas zu definieren. Pippen sagt weder "es werde" noch "sei", er sagt nur "d.h.", und Quantoren braucht er auch keine, und woher soll ich dann nachts um drei wissen, welches y er meint ?
Für Äquivalenzen schreibt man $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} \leftrightarrow \end{eqnarray*}$ , auch da verliert man die Präzision ders Deiserschen "gdw". Wo der Widerspruch letztlich steht, wird bei Pippen auch nicht deutlicher als bei Deiser, in beiden Fällen muss man ihn in Gedanken oder schriftlich zusammenbauen als $\begin{eqnarray*} y\in D \Leftrightarrow y\notin D \end{eqnarray*}$ , und auch das scheint mir mit Deisers doppelter Äquivalenz " $\begin{eqnarray*} y\in D \end{eqnarray*}$ gdw $\begin{eqnarray*} y\notin f(y) \end{eqnarray*}$ gdw $\begin{eqnarray*} y\notin D \end{eqnarray*}$ " und weiterer Erklärung besser gelungen.
(Ich weiß, ich bin kleinlich, aber wozu schreibt man einen Beweis ab, wenn er dadurch nicht besser wird. Mir wäre eine Kopie des Originals mit zusätzlichen Erläuterungen erheblich lieber als eine Kopie mit kleinen Unsauberkeiten. Beim letzen mal hatte ich die Unsauberkeiten noch Deiser in die Schuhe geschoben und wurde daher zu recht von Huggy ermahnt.)

09.09.2022, 16:03

Leopold

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Zitat:

Original von Elvis
(Ich weiß, ich bin kleinlich, ...)

Da will ich nicht widersprechen. Augenzwinkern

1. Nach dem "d.h." fehlt der Existenzquantifikator. Da gebe ich dir recht. Ich habe ihn mir einfach dazugelesen, obwohl er offensichtlich nicht da steht. (Man will ja gerne etwas Richtiges lesen, und das Gehirn führt dann erforderliche Ergänzungen stillschweigend durch. Vor Gericht hätte ich einen Eid geschworen, daß ein Existenzquantor stand. Es wäre wohl ein Meineid gewesen.) Dennoch scheint mir das im Zusammenhang eine kleine Nachlässigkeit zu sein.

2. Man sollte sich an mathematische Gepflogenheiten halten und für semantische Äquivalenzen einen Doppelpfeil setzen. Einverstanden. Pippen nimmt den Einfachpfeil. Jaja... jaja... ist nicht gut. Aber mein Gott... (wenn wir schon beim Allmächtigen sind!)

3. Der Widerspruch $\begin{align*} y \in D \ \Leftrightarrow \ y \not \in D \end{align*}$ ist bei Pippen mindestens ebenso gut erklärt wie bei Deiser.

Elvis, wir müssen aufpassen, daß wir bei Denkfehlern streng bleiben, bei Schreibungenauigkeiten es aber bei einem Hinweis an den Fragesteller belassen (damit meine ich nicht, daß wir sie tolerieren). Wir dürfen nicht zu Beckmessern werden. (Und widersprich mir nicht! Bei Wagner kenne ich mich aus!) Ich gelte als "strenger" Lehrer. Wie wäre das aber erst mit dir, Elvis!

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