Doppelpost! Mein Beweis zur Überabzählbarkeit von IR - Seite 2

09.09.2022, 19:58

Pippen

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Ich lese in der Tat den Existenzquantor vor dem y auch rein, denn alles andere macht ja auch keinen Sinn, oder? Bei den Pfeilen würde ich fragen: seid ihr sicher, dass Deiser mit „gdw.“ die semantische Äquivalenz meint und nicht bloß das Bikonditional? Ich denke nämlich, er meint letzteres und da wäre mein einfacher Pfeil richtig, sem. Äquivalenzen sind für mich allesamt tautologische Bikonditionale.

Diese Kleinigkeiten sind trotzdem superhilfreich, gerade weil ich zZ froh bin, wenn ich überhaupt den Beweis richtig verstehe. Die letzten Beweise von Deiser konnte ich zum Glück mit kleinen Änderungen fast abschreiben, davor gab es Beweise, da musste ich ziemlich viel anders schreiben, ich will gar nicht wissen, was ihr dazu sagen würdet. LOL Hammer

LOL Hammer

09.09.2022, 20:15

Pippen

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Noch eine Verständnisfrage: Die leere Menge ist immer in D, richtig? Denn man kann ja die Definition von D umformulieren in: x ist Element von D gdw. wenn x Element von M, dann x nicht Element von f(x) und bei der leeren Menge wäre der Antecedens falsch und damit die Implikation wahr.

09.09.2022, 21:21

Elvis

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D ist keine Menge. Sagt der Beweis. Ich kenne keine Logik, die in der Mengenlehre irgend etwas über Nichtmengen sagt. Das wäre dann so etwas wie eine Zombiebiologie, kenne ich auch nicht.

09.09.2022, 21:38

Pippen

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Sorry, mein letzter Post war Quatsch. D kann sowohl nicht die leere Menge enthalten als auch eine nicht-leere Menge sein.

09.09.2022, 21:41

Leopold

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Von welchem D habt ihr es hier? Das D aus Deisers Beweis? Falls ja, dann siehe meine Beispiele.

09.09.2022, 22:10

Elvis

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Ich dachte an das Biest $\begin{eqnarray*} D\in rng(f) \end{eqnarray*}$ , das in der Annahme von Deisers Beweis auf- und gleich wieder abtritt.

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09.09.2022, 22:54

Leopold

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Das Biest $\begin{align*} D \end{align*}$ existiert sehr wohl. Es liegt nur nicht im Bild von $\begin{align*} f \end{align*}$ . Das meinte ich neulich schon, als ich vom verallgemeinerten Diagonalverfahren sprach. Die durch $\begin{align*} f \end{align*}$ bestimmte "Liste" kann die mittels der "Liste" definierte wohlbestimmte Menge $\begin{align*} D \end{align*}$ nicht selbst enthalten. Ich bin schlicht irritiert, weil du sagst, $\begin{align*} D \end{align*}$ sei keine Menge.

10.09.2022, 01:32

Pippen

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Zitat:

Original von Leopold
Das Biest $\begin{align*} D \end{align*}$ existiert sehr wohl. Es liegt nur nicht im Bild von $\begin{align*} f \end{align*}$ . Das meinte ich neulich schon, als ich vom verallgemeinerten Diagonalverfahren sprach. Die durch $\begin{align*} f \end{align*}$ bestimmte "Liste" kann die mittels der "Liste" definierte wohlbestimmte Menge $\begin{align*} D \end{align*}$ nicht selbst enthalten. Ich bin schlicht irritiert, weil du sagst, $\begin{align*} D \end{align*}$ sei keine Menge.

Das lese ich oft. Aber der Beweis klappt ja auch bei überabzählbaren Mengen, wo von Diagonalität keine Rede mehr sein kann. Ich glaube, die springende Beweisidee rührt eher aus der Fruchtbarmachung der Selbstbezüglichkeit: Cantor‘s Menge D enthält nämlich letztlich diejenigen Elemente, die nicht in D sind - und das klingt wie ein Vorspiel für Russell’s Streich 10 Jahre später. Cantor schafft es - anders als Frege - die Flamme der Selbstbezüglichkeit zu beherrschen, während es Frege entgleitet, was dann Russell zeigt. Es ist eben ganz wichtig, dass Cantor seine Menge D definiert: x ist in M und x ist nicht in f(x). Damit muss D eine Teilmenge von M sein und doch kann man dann eingeschränkt ihre inhärente Widersprüchlichkeit fruchtbar machen. Das ist schon genial, auf sowas als Erster zu kommen. Wahrscheinlich hatte auch Cantor einen Monster-IQ.

10.09.2022, 07:40

Leopold

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Zitat:

Original von Pippen
Ich glaube, die springende Beweisidee rührt eher aus der Fruchtbarmachung der Selbstbezüglichkeit: Cantor‘s Menge D enthält nämlich letztlich diejenigen Elemente, die nicht in D sind - und das klingt wie ein Vorspiel für Russell’s Streich 10 Jahre später.

Das ist nicht wahr. Die Menge $\begin{align*} D \end{align*}$ existiert sehr wohl. Hier kannst du drei Beispiele sehen. Oder ein weiteres $\begin{align*} f: \mathbb{R} \to \mathcal{P}(\mathbb{R}) \end{align*}$ , definiert durch $\begin{align*} x \mapsto \left[ 1-x^2,1+x^2 \right] \end{align*}$ . Hier ist

$\begin{align*} D = \left( - \frac{\sqrt{5}+1}{2} , \frac{\sqrt{5}-1}{2} \right) \end{align*}$

10.09.2022, 09:26

Elvis

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Leopold, du hast als Einziger in dieser Diskussion verstanden, worum es geht. Deine instruktiven Beispiele sind sehr erhellend. Ich erkenne jetzt meinen Denkfehler und bestätige die Existenz der Menge D, die erstens stets eine ganz normale Menge und zweitens nicht im Bild von f liegt.
Genau so ist die reelle Zahl im Cantorschen Diagonalargument reell und nicht in der vermeintlich abzählbaren Liste aller reellen Zahlen. Genau so ist die wahre Aussage in Gödels Diagonalargument wahr und nicht in der Liste der formal beweisbaren Aussagen. Danke für deine Geduld.

10.09.2022, 11:23

Leopold

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Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können. (David Hilbert, 1925)

Leider ist der Weg zum Paradies mit scharfkantigen Steinen gepflastert. Und links und rechts des Weges gähnt der Höllenschlund. (Leopold, 2022)

10.09.2022, 15:33

Pippen

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Ich möchte nochmal an die Frage erinnern, ob meine Beweisskizze von Cantor‘s Satz falsch ist, weil ich einen Bikonditional-Pfleil statt eines (semantischen) Äquivalenz-Pfeiles nutze. Ich denke nämlich, mein einfacher Pfeil eines Bikonditionals ist korrekt, weil semantische Ä. tautologische Bikonditionale sind und das ist in dem Beweis nicht der Fall.

10.09.2022, 17:26

Leopold

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Ich bin kein Logikfachmann, sondern Mathematiker, und verstehe so viel von Logik, wie man es als Mathematiker für den Hausgebrauch benötigt. Unter diesem Vorbehalt steht meine folgende Aussage.

Wir reden hier über inhaltliche Dinge, es geht also um Bedeutung. Wir schieben nicht lediglich formale Zeichenketten vor uns her, die wir nach irgendwelchen Kalkülen ineinander umwandeln. Daher ist der Doppelpfeil für inhaltliche Äquivalenzen, wie er in der Mathematik üblich ist, der richtige.

[Off-Topic]
Ich habe mich bei Beiträgen von dir stets zurückgehalten, will aber nun doch einmal etwas loswerden. Die Logik behandelt die Grundlegung der Mathematik. Das klingt so, als stünde sie am Anfang der Dinge. Das ist aber mitnichten so. Logik ist ein Nachdenken über die Mathematik selbst, eine Art Metamathematik. Wenn ein junger Mensch Physik lernt, wird er auch nicht mit der Quantenlehre oder Relativitätstheorie beginnen, er wird sich erst einmal um Newtonsche Mechanik, Elektrizitätslehre, Wellenlehre und andere halbwegs handfeste Dinge kümmern. Wenn er später einmal den Dingen auf den Grund gehen will, wenn er wissen will, was die Welt im Innersten zusammenhält, dann wird er sich schließlich auch jenen Dingen zuwenden. Was ich sagen will: Lern erst einmal Mathematik, dann kannst du dich immer noch mit Logik beschäftigen. Dir fehlt schlicht inhaltlicher Stoff, mit dem du hantieren kannst. Ohne diesen Stoff ist aber die Logik bloßes Geschwätz. Und das ist sie sicher nicht, wenn man den Sinn hinter den Dingen sieht.
[/Off-Topic]

10.09.2022, 17:34

Elvis

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@Pippen
Du kennst auch in diesem Kontext viele schöne und interessante Worte, aber ich weiß nicht, ob du sie immer richtig anwenden kannst.
Das Bikonditional $\begin{eqnarray*} \leftrightarrow \end{eqnarray*}$ verwende ich als Junktor zwischen Aussagenvariablen oder zusammengesetzten Aussagen in der Logik, z.B. $\begin{eqnarray*} A\leftrightarrow B \end{eqnarray*}$ .
Die Aequivalenz $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ verwende ich im Sinne von gdw="genau dann, wenn" als Junktor zwischen (mathematischen) Aussagen.

10.09.2022, 19:20

Pippen

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Zitat:

Original von Elvis
@Pippen
Du kennst auch in diesem Kontext viele schöne und interessante Worte, aber ich weiß nicht, ob du sie immer richtig anwenden kannst.
Das Bikonditional $\begin{eqnarray*} \leftrightarrow \end{eqnarray*}$ verwende ich als Junktor zwischen Aussagenvariablen oder zusammengesetzten Aussagen in der Logik, z.B. $\begin{eqnarray*} A\leftrightarrow B \end{eqnarray*}$ .
Die Aequivalenz $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ verwende ich im Sinne von gdw="genau dann, wenn" als Junktor zwischen (mathematischen) Aussagen.

Und für was steht bei dir der einfache Doppelpfeil? Doch auch für „gdw“, nicht wahr? Oder nur als syntaktisches und daher bedeutungsloses Zeichen? Also ich benutze da den Gebrauch in der Logik: einfacher beidseitiger Pfeil = gdw., doppelter beidseitiger Pfeil = log. Äquivalenz, genauso: einseitger Pfeil = Implikation, doppelter Pfeil = log. Implikation/Folgerung. Aber gut zu wissen, weil mich das schon öfters mal gewundert hat, wenn ich den beidseitigen Doppelpfeil sah und mir sagte: wo ist da was log. äquivalent./tautologisch.

Ich denke, damit kann mein Beweis des Cantorsatzes bestehen, zumindest entnehme ich euren Kommentaren, dass da nichts Gravierendes falsch läuft und so Kleinigkeiten muss ich als Anfänger auch mal verschmerzen, weil man sich sonst auch schnell verrennt. Auf zur sog. Kontinuumshypothese….

10.09.2022, 21:54

Elvis

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Wenn es dir egal ist, dass nur du glaubst, recht zu haben, wenn es dir egal ist, dass alle Mathematiker andere Symbole benutzen als du, dann ist es allen Mathematikern egal, dass du andere Symbole benutzt als sie, und dass du nicht recht hast.
Logische Symbole stehen nicht für etwas anderes, sie sind wie der Name schon sagt, logische Symbole einer formalen Sprache eines formalen logischen Systems.
Damit das hier nicht noch länger wird, mache bei einem neuen Thema bitte einen neuen Thread auf, danke.

12.09.2022, 19:03

Pippen

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So, jetzt schreibt Deiser über die Kontinuumshypothese. Die beiden ersten Seiten - da Deiser sein Buch freigestellt hat, darf ich den Link hier setzen: https://aleph1.info/?call=Puc&permalink=mengenlehre1_1_11 - fasse ich so zusammen, wobei ich mir etwas mehr Freiraum herausnehme, was allerdings auch mit mehr Risiken verbunden ist. Trotzdem hoffe ich, Elvis hat nur über Kleinigkeiten zu mäkeln. Augenzwinkern

Augenzwinkern

[attach]55925[/attach]

12.09.2022, 21:59

Elvis

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Tut mir echt leid, aber ich finde keinen Fehler. Das soll nicht heißen, dass alles richtig ist, denn wenn ich das behaupte, muss ich es beweisen.

13.09.2022, 09:23

Elvis

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Deine Notation der Nichtableitbarkeit von CH und nonCH aus ZFC scheint anzudeuten, dass du die Unabhängigkeit von CH von der klassischen Mathematik für ein logisches Problem hältst. Dem kann ich mich nicht anschließen, und auch bei Deiser wird die Unabhängigkeit ganz klar als mathematisches Problem diskutiert.

14.09.2022, 04:02

Pippen

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Ich sehe das wie du und Deiser. Mit der Notation wollte ich mich nur nochmal daran erinnern, dass es hier um die Nichtbeweisbarkeit von CH/~CH aus ZFC geht. In dem Moment, wo Beide in ZFC nicht bewiesen werden können, sind sie im ZFC-Modell nicht wahr und also dort nicht vorhanden, d.h. das ZFC-Modell ist für die Frage, ob/was zwischen der Mächtigkeit von IN und IR liegt, blind. Das unterscheidet sie von Aussagen, die in ZFC entscheidbar sind, deren Beweis/Widerlegung wir nur nicht kennen. Solche Aussagen sind im ZFC-Modell wahr oder falsch, wir wissen nur nicht, was von beiden, weil wir den Beweis nicht kennen.

Vielleicht erhellt es sich auch noch etwas nach meinen Notizen zur Modelltheorie, die Deiser kurz anreißt:

[attach]55934[/attach]

14.09.2022, 13:24

Elvis

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Da habe ich gravierende Einwände.

Modelle sind nicht Welten aus Axiomen und Logik, in denen etwas als wahr gelten soll.
Modelle sind Welten konkreter Objekte mit konkreten Eigenschaften. Wenn Axiome für ein Modell wahr sind und die Logik für ein Modell gelten, so kann man weitere Aussagen beweisen.

Unser Universum folgt nicht aus Naturgesetzen, und Menschen sind keine notwendigen sondern kontingente Wesen.
In unserem Universum gelten Naturgesetze und die Logik.

Aus Peano-Axiomen folgen nicht die natürlichen Zahlen, sondern für die natürlichen Zahlen gelten die Dedekind-Peano-Axiome.

Zur Korrektheit von Modellen: Aus A wird nichts abgeleitet, weil Axiome kein formales System sind. Ausgehend von Axiomen kann man eventuell mittels Logik weitere Aussagen beweisen.

ZFC ist eine axiomatisierte Mengenlehre, aber kein formales System. Sie bietet zur Zeit eine brauchbare Plattform für große Teile der Mathematik. Wenn es uns eines Tages gefallen sollte, werden wir sie durch etwas anderes ersetzen, und dann wird sich Mathematik weiter entwickeln, als es mit ZFC möglich ist.

Insgesamt scheinst du immer noch die Logik für den Ausgangspunkt der Mathematik zu halten. Diese Grundhaltung kann man als Logizismus bezeichnen, Vertreter dieser mathematischen Philosophie (,oder besser gesagt Mathematiker, die das versucht haben) waren unter anderen Frege, Russell, Hilbert. Gödel, Tarski und andere haben nachgewiesen, dass der Logizismus als mathematische Philosophie ungeeignet ist. Die Mathematik kann erwiesenermaßen nicht auf Logik begründet werden.

15.09.2022, 01:05

Pippen

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Ich werde nochmal einiges überarbeiten.

15.09.2022, 18:30

Pippen

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So, hier eine ganz neue Fassung, die vieles berücksichtigt. Deiser skizziert bewußt die Modelltheorie nur ganz grob und ich tue es ihm nach, es reicht zum Verstehen des Unabhängigkeitsbeweises bereits eine ganz rudimentäre Idee von Modellen und ihrer Funktion.

[attach]55942[/attach]
[attach]55943[/attach]

15.09.2022, 21:47

Elvis

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(Sorry, dein Modellbegriff gefällt mir nicht, deine Modelle gefallen mir nicht, dein Verständnis für den Zusammenhang zwischen Mathematik und Logik gefällt mir nicht, ich finde Deiser einfach besser. Ich könnte noch viel mehr dazu sagen, aber das wird mir zu viel Arbeit, und meine Nörgelei bringt dich auch nicht weiter.)

Nur ein Beispiel : A,B=Banane $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ A=B $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ M1 hat 2 Objekte $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Axiom (1) ist falsch $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ M1 ist kein Modell für $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ .

(Nach meiner Meinung ist ein Modell eine Welt mit Objekten, du scheinst mit Wittgenstein zu glauben, ein Modell sei das, "was der Fall ist", also eine Welt mit Aussagen. Ich kann mit Wittgenstein nichts anfangen, der war noch schlimmer als Russell und Whitehead, deren Logizismus war schon grausam, aber wenigstens noch logisch.)

15.09.2022, 22:21

Pippen

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Ok, und wenn mein erstes Axiom einfach lautet: es gibt die Objekte A, B, C. Dann klappt es, oder?

Ist meine Formalisierung der Konsistenz eines Modells (I) korrekt formalisiert mit der durchgestrichenen Folgerungsrelation?

Ob ein Modell eine Welt mit Objekten sein muss, scheint auch Deiser gleich. Er skizziert den Modellbevriff nur ganz grob und läßt das zB offen. Das reicht wohl, um den CH-Unabhängigkeitsbeweis zu plausibilisieren und mehr will Deiser an dieser Stelle nicht. Ich mache es ihm nach und belasse es bei einer groben Veranschaulichung. Mein erster Versuch hat gezeigt, dass es keine gute Idee ist, wenn ich mich weiter von Deiser entferne, weil da zuviele Fehler reinkommen.

15.09.2022, 22:33

Elvis

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Lass Deiser einfach so, wie er ist. Wenn du ihn verbessern willst, musst du das sehr selbstkritisch machen, sonst wird er nicht besser sondern schlechter.
Ich gehe deshalb auf deine Philosophie ein, weil du auf diesem Gebiet nicht sicher genug bist und du dich trotzdem dazu äußerst. Deine Sprache ist nicht neutral, denn du bringst auch deine Meinung mit ein. Das steht dir frei, aber dann sag ich auch meine Meinung dazu. Wenn du eine bessere Philosophie finden willst, empfehle ich A.J.Ayer (engl. Empirist, großartiger Kritiker von B.Russell).
Ein Modell enthält keine Aussagen, also auch keine wohlgeformten Aussagen.

15.09.2022, 23:05

Pippen

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Zitat:

Original von Elvis
Ein Modell enthält keine Aussagen, also auch keine wohlgeformten Aussagen.

Nicht nach Deiser. Sein Phi, welches im Modell gilt, ist jeweils eine Aussage! Hier der link: https://aleph1.info/?call=Puc&permalink=mengenlehre1_1_11_Z2

16.09.2022, 01:21

zweiundvierzig

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Semantische Erfüllung $\begin{eqnarray*} \mathcal M \models \Phi \end{eqnarray*}$ zwischen einem Modell $\begin{eqnarray*} \mathcal M \end{eqnarray*}$ und einer Satzmenge $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ ist eine Relation der Form $\begin{eqnarray*} \mathrm{Semantik} \models \mathrm{Syntax} \end{eqnarray*}$ . Obwohl es "syntaktische Modelle" (Termmodelle) gibt, leben die beiden Arten von Objekten nicht auf der selben Ebene (siehe auch Unterschied zwischen Meta- und Objekttheorie).

Die Grundbegriffe der Modelltheorie stützen sich auf FO-Semantik, siehe dazu z.B. Ebbinghaus, Flum, Thomas: "Einführung in die mathematische Logik".

16.09.2022, 08:08

Elvis

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@Pippen
Aussagen sind Aussagen über ein Modell oder über Objekte eines Modells. Beweise sind mathematische Beweise und keine logischen Ableitungen eines formalen Systems. Mit dem Beispiel {Banane} als Modell liegst du gar nicht so falsch. In dieser Obst-Welt gibt es genau ein Objekt. Das ist eine wahre Aussage über das Modell. Diese Aussage ist nicht im Modell, Axiome braucht man nicht, ein formales System braucht man nicht, die ganz normale Logik ist ausreichend.
Beweis der Aussage : |{Banane}|=1, denn f(Banane)=137 ist bijektiv und |{137}|=1 qed
Dieser Beweis ist nicht logisch sondern mathematisch, wir setzen die Mengenlehre und die natürlichen Zahlen als bekannt voraus und sind fertig. Das Inverse der Feinstrukturkonstante als Bild des Obst-Welt-Objekts habe ich nur zum Spaß gewählt.
Dass es Aussagen gibt, wie z. B. CH, die von diesem Modell unabhängig sind, ist nicht verwunderlich. Dass CH von nat. und reellen Zahlen unabhängig ist, hat eine ganz andere Bedeutung. Das liegt daran, dass CH keine Aussage über eine Banane ist aber sehr wohl eine Aussage über das Verhältnis von $\begin{eqnarray*} |\mathbb N| \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |\mathbb R| \end{eqnarray*}$ . Nur mit einer Banane bewaffnet hätten auch Cohen und Gödel ihre Unabhängigkeitsbeweise nicht zustande gebracht.

16.09.2022, 17:35

Pippen

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Muss ich also diesen Passus ändern? Ich bin da jetzt eher verwirrt als erleuchtet. Was müsste da stehen, was a sei?

Ein Modell ist eine Welt, in der gewisse Axiome wahr sind. Zwei wichtige Axiome sind: 1) M $\begin{eqnarray*} \nvDash \end{eqnarray*}$ a und ~a (a stehe für eine beliebige wff - also Axiom oder Folgerungen daraus). […]

16.09.2022, 17:57

Pippen

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Und auch gleich noch der Abschluss des CH-Kapitels. Deiser definiert die allg. CH schräg, da finde ich meine Definition besser (wenn sie denn stimmt). Die markierte Menge sieht irgendwie verdächtig aus. Wie kann man alle nat. Zahlen vereinigen und dann soviele Potenzmengen verschachteln? Das ist doch gar keine nat. Zahl mehr?

[attach]55945[/attach]

16.09.2022, 17:59

Leopold

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Zitat:

Original von Pippen
Muss ich also diesen Passus ändern?

Bevor du dich mit Grundsatzfragen der Logik beschäftigst, mußt du erst einmal ein wenig Mathematik können. Wer sich in Potenzmengen wälzt und Mächtigkeiten aufschüttet, deren Größe die sichtbare und die unsichtbare Welt um aleph hoch aleph übersteigt, aber nicht einmal weiß, daß die Potenzmenge einer 5elementigen Menge 32 Elemente enthält, ist nicht ernstzunehmen. Ein Kind, das noch krabbelt und nicht aufrecht stehen kann, sollte man auch nicht auf ein Fahrrad setzen, geschweige denn ans Steuer eines Autos. Aber vermutlich rede ich wieder umsonst. Centerum censeo.

16.09.2022, 18:03

Elvis

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@Pippen 17:35
Hier hast du Deiser nicht verbessert sondern verschlechtert, genau davon rate ich ab.
Deiser spricht über logische Voraussetzungen an den Modellbegriff, du machst daraus Axiome, die in Modellen wahr sind.
Das sind zwei grundverschiedene Sachen.
@Pippen 17:57
Jetzt kann ich dir nicht mehr folgen.
@Leopold
ceterum censeo (?)

16.09.2022, 18:16

G160922

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Frage:
Welche praktische Bedeutung hat die Frage der Überabzählbarkeit?
Welche für das Gebäude der Mathematik?

16.09.2022, 18:20

Elvis

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Du kannst gerne versuchen, die reellen Zahlen zu zählen, es wird dir praktisch nicht gelingen.

16.09.2022, 19:11

laila49

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Zitat:

Original von Elvis
Du kannst gerne versuchen, die reellen Zahlen zu zählen, es wird dir praktisch nicht gelingen.

mir gelingt es praktisch nicht einmal, die (abzählbaren) rationalen Zahlen zu zählen. Ich versuche das jeden Abend, aber schlafe jedes Mal dabei ein.
Ist es dir schon mal gelungen, Elvis?

16.09.2022, 19:19

HiBee123

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Chuck Norris soll ja $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ abgezählt haben...- 2 mal Big Laugh

Big Laugh

16.09.2022, 19:47

Leopold

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@laila49

Die rationalen Zahlen zu zählen ist nicht schwer. Du kannst es so anstellen: Zunächst zählst du die reellen Zahlen laut durch. Dann zählst du die reellen Zahlen ein zweites Mal leise für dich durch. Und immer wenn du auf eine rationale Zahl stößt, rufst du sie laut aus. Und da beim Zählen der reellen Zahlen auch die rationalen vorkommen, hast du auf diese Weise jede rationale Zahl genau einmal erfaßt. Eigentlich ist das gar nicht schwer. Nur Mut. Gib nicht auf, wenn es nicht gleich klappt. Fang heute noch mit Üben an. Und teil uns gelegentlich mit, wie weit du schon bist.

16.09.2022, 19:50

Elvis

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Zitat:

Original von laila49

Zitat:

Original von Elvis
Du kannst gerne versuchen, die reellen Zahlen zu zählen, es wird dir praktisch nicht gelingen.

mir gelingt es praktisch nicht einmal, die (abzählbaren) rationalen Zahlen zu zählen. Ich versuche das jeden Abend, aber schlafe jedes Mal dabei ein.
Ist es dir schon mal gelungen, Elvis?

Ja sicher, kein Problem mit dem bekannten Diagonalverfahren, man muss nur schnell genug abzählen. Die 1.rat.Zahl in einem halben Augenblick, die 2.rat.Zahl in einem viertel Augenblick,... die n.te rat.Zahl in einem $\begin{eqnarray*} \frac 1{2 ^n} \end{eqnarray*}$ - ten Augenblick,... Dann ist man nach einem Augenblick fertig.

16.09.2022, 19:56

Leopold

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Psst, Elvis! Du wirst doch den alten Zenon nicht aufwecken wollen! Psst!
Mein Verfahren oben ist modern und knackig. Es heißt Forcing By Restriction.

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