Skalarprodukt finden

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HiBee123 Auf diesen Beitrag antworten »
Skalarprodukt finden
Hallöchen Wink
Wir sollen alle Skalarprodukte finden, so dass die induzierte Norm für die Standardbasis ergibt:
Norm(e1)=1 Norm(e2)=2 und Norm(e3)=sqrt(2)

Ich würde denken, dass diese Skalarprodukte durch die Grammatrix gegeben sind :


aber sicher bin ich mir nicht...
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Skalarprodukt finden.
Sieht gut aus. Bedenke aber was wir letztens gelernt haben: Nicht jede symmetrische Matrix erzeugt ein Skalarprodukt. D.h. es muss sicherlich noch Bedingungen an gelten, damit es ein Skalarprodukt ist.

Vermutlich ist es äquivalent dazu, dass die Eigenwerte alle positiv sind.
HiBee123 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Skalarprodukt finden.
Ach ja Mist.

Das mit dem Skalarprodukt ist mir sowieso noch nicht ganz klar... Wir haben so Wahr/Falsch Quizze auf dem Uniserver... und eine Frage war, dass wenn dann auch sein muss, und das wahr falsch (?!) aber in der Vorlesung hatten wir eine Proposition, dass für dim V< unendlich und b in den Sigma-Sesquilinearformen über V
und äquivalent sind...
Nur Fragen in meinem Kopf... liegt es vielleicht daran, dass dim V im ersten Fall nicht zwangsläufig kleiner unendlich ist?? Sonst sind diese beiden Aussagen doch widersprüchlich, oder? Weil eine Bilinearform immer auch eine Sesquilinearform ist...
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Skalarprodukt finden.
Wie ist denn und definiert? ?

Und welche Annahmen hat man dort an die Bilinearform(?) getroffen?

Edit: Ich vermute es war keine Symmetrie gefordert.
HiBee123 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Skalarprodukt finden.
Ja genauso ist es definiert. Diejenigen v, sodass b(v,w)=0 für alle w in V. oder halt, diejenigen v, sodass b(w,v)=0 für alle w in V also das links- und rechtsorthogonale. Die Annahme (im Quiz) war einfach sei b Bilinearform auf einem reellen Vektorraum und die Annahme in der Proposition dim V< unendlich und b Sesquilinearform...
HiBee123 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Skalarprodukt finden.
Ja genau. Symmetrie war nicht gefordert...
 
 
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Skalarprodukt finden.
Mal ein Beispiel: Betrachte mit .

Dann ist orthogonal auf allen , d.h. und damit .

Aber . D.h. im endlich-dimensionalen brauchst du nach Vorlesung keine Symmetrie, im Falle von unendlichen Dimensionen schon.
HiBee123 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Skalarprodukt finden.
Okay, Supi danke Freude

Aber um nochmal zum Ausgangsproblem zurückzukommen... Ja die Eigenwerte müssen positiv sein, damit wir eine positiv definite Bilinearform, aka Skalarprodukt haben...

Es waren auch noch andere Sachen gegeben, wie mir jetzt aufgefallen ist. Der Winkel zwischen e1 und e2 soll pi/3 betragen und e2 soll orthogonal auf e3 stehen, also insgesamt komme ich auf:
und jetzt kann man auch das Kriterium für positive Definitheit wählen, dass die Hauptminoren positiv sein müssen.
Schlussendlich komme ich auf 30>aâ .
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Skalarprodukt finden.
Zitat:
Original von HiBee123
[...] und e2 soll orthogonal auf e3 stehen, also insgesamt komme ich auf:


soll senkrecht auf stehen oder ?
HiBee123 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Skalarprodukt finden.
Ach ja. Stimmt. Es soll e2 orthogonal zu e3 sein, also :


also 6/4>aâ Danke für den Hinweis.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Skalarprodukt finden.
Sieht gut aus Freude
HiBee123 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Skalarprodukt finden.
Dankeschön smile
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