Alte und neue Logik (Carnap)

22.08.2022, 12:33

Ascareth

Alte und neue Logik (Carnap)

Hallo,

was mich grundsätzlich interessiert, ist, worin eigentlich genau der Unterschied zwischen "alter" und "neuer" Logik besteht. Dazu habe ich einen Kurstext und ein PDF (Die alte und die neue Logik (1930) Rudolf Carnap).

Der Kurstext lautet:

Nun ist aber eine Darstellbarkeit von Relationen besonders wichtig in der Mathematik und in der Physik. Bestimmte geometrische Axiome, z. B. „Liegt a zwischen b und c, so liegt b nicht zwischen a und c“, können in der Syllogistik nicht zum Ausdruck gebracht werden. Folglich ist z. B. der Nachweis der Analytizität der geometrischen Sätze, also die Durchführung des logizistischen Programms für die Geometrie, nicht im Rahmen der Syllogistik, sondern erst mit der neuen Logik möglich.

Was mich dabei besonders interessiert, ist der Zitierfehler, beziehungsweise ob es eben ein für den Inhalt irrelevanter Fehler ist oder nur ein formaler Zitierfehler.

Also: Ist es logisch gesehen etwas anderes zu sagen „Liegt a zwischen b und c, so liegt b nicht zwischen a und c“ wie im Kurstext, verglichen mit dem Original bei Carnap ”liegt a zwischen b und c, so liegt a zwischen c und b“ und ”liegt a zwischen b und c, so liegt b nicht zwischen c und a“? Und: Was folgt aus einem möglicherweise inhaltlichen Unterschied?

Gruß, Asca

PS: Ich frage deshalb, weil doch der Bereich zwischen a und c der gleich sein müsste, wie der zwischen c und a? Es sei denn, man würde sich vielleicht auf einer Kreisbahn befinden, aber dies ist ja an keiner Stelle erwähnt worden. Im Gegenteil: Im Original steht explizit "auf einer offenen Geraden", was damit auch für den Kurstext anzunehmen ist?

22.08.2022, 13:16

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

”liegt a zwischen b und c, so liegt a zwischen c und b“
ist eine andere Aussage als
„liegt a zwischen b und c, so liegt b nicht zwischen a und c“

Beide Aussagen sind Implikationen $\begin{eqnarray*} a\in (b,c)\rightarrow a\in (c,b) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a\in (b,c)\rightarrow \lnot (b\in (a,c)) \end{eqnarray*}$

In der ersten Aussage kommt die Symmetrie der äußeren Punkte zum Ausdruck, für a ist es egal, ob b links und c rechts oder umgekehrt liegen.
In der zweiten Aussage kommt die Asymmetrie zwischen einem inneren Punkt a und den äußeren Punkten b und c zum Ausdruck.

Alte Logik beruht auf natürlicher Sprache und Syllogismen, das sind logische Schlussweisen. Neue Logik beruht auf formaler Sprache, deren Terme Quantoren und Variable enthalten, die Aussagen repräsentieren. Desweiteren enthält neue Logik logische Schlussweisen, die als mathematische Funktionen auf booleschen Algebren definiert werden. Neue Logik ist sehr viel ausdrucksstärker als alte Logik, sie findet sich z.B. heute als Aussagenlogik oder als Prädikatenlogik.

22.08.2022, 13:40

Ascareth

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Elvis
”liegt a zwischen b und c, so liegt a zwischen c und b“

Dies steht nicht in dem oberen Posting. Und falls es von etwas impliziert werden sollte, dann wäre es nett, wenn Du es zeigen könntest. Ansonsten alles Gute weiterhin!

22.08.2022, 14:08

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Alte und neue Logik (Carnap)

Zitat:

Original von Ascareth
Hallo,

was mich grundsätzlich interessiert, ist, worin eigentlich genau der Unterschied zwischen "alter" und "neuer" Logik besteht. Dazu habe ich einen Kurstext und ein PDF (Die alte und die neue Logik (1930) Rudolf Carnap).

Der Kurstext lautet:

Nun ist aber eine Darstellbarkeit von Relationen besonders wichtig in der Mathematik und in der Physik. Bestimmte geometrische Axiome, z. B. „Liegt a zwischen b und c, so liegt b nicht zwischen a und c“, können in der Syllogistik nicht zum Ausdruck gebracht werden. Folglich ist z. B. der Nachweis der Analytizität der geometrischen Sätze, also die Durchführung des logizistischen Programms für die Geometrie, nicht im Rahmen der Syllogistik, sondern erst mit der neuen Logik möglich.

Was mich dabei besonders interessiert, ist der Zitierfehler, beziehungsweise ob es eben ein für den Inhalt irrelevanter Fehler ist oder nur ein formaler Zitierfehler.

Also: Ist es logisch gesehen etwas anderes zu sagen „Liegt a zwischen b und c, so liegt b nicht zwischen a und c“ wie im Kurstext, verglichen mit dem Original bei Carnap ”liegt a zwischen b und c, so liegt a zwischen c und b“ und ”liegt a zwischen b und c, so liegt b nicht zwischen c und a“? Und: Was folgt aus einem möglicherweise inhaltlichen Unterschied?

Gruß, Asca

PS: Ich frage deshalb, weil doch der Bereich zwischen a und c der gleich sein müsste, wie der zwischen c und a? Es sei denn, man würde sich vielleicht auf einer Kreisbahn befinden, aber dies ist ja an keiner Stelle erwähnt worden. Im Gegenteil: Im Original steht explizit "auf einer offenen Geraden", was damit auch für den Kurstext anzunehmen ist?

Da staune ich aber, weil ich nur dich zitiert habe.

22.08.2022, 14:20

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Alte und neue Logik (Carnap)

Zitat:

Original von Ascareth
Also: Ist es logisch gesehen etwas anderes zu sagen „Liegt a zwischen b und c, so liegt b nicht zwischen a und c“ wie im Kurstext, verglichen mit dem Original bei Carnap ”liegt a zwischen b und c, so liegt a zwischen c und b“ und ”liegt a zwischen b und c, so liegt b nicht zwischen c und a“? Und: Was folgt aus einem möglicherweise inhaltlichen Unterschied?

In der axiomatischen Grundlegung der Geometrie wird auch die "Zwischen"-Relation als 3-stellige Relation für die Punkte auf einer Geraden unabhängig von jeder anschaulichen Bedeutung axiomatisch festgelegt. Hilbert formuliert in "Grundlagen der Geometrie" dazu die folgenden Axiome:

(1) Wenn ein Punkt B zwischen einem Punkt A und einem Punkt C liegt, so sind A, B, C drei verschiedene Punkte einer Geraden und B liegt dann auch zwischen C und A.

(2) Zu je zwei Punkten A und C gibt es stets wenigsten einen Punkt B auf der Geraden AC , so dass B zwischen A und C liegt.

(3) Unter irgend drei Punkten einer Geraden gibt es nicht mehr als einen, der zwischen den beiden anderen liegt.

Diese Axiome sind unabhängig voneinander. Es kann nicht eins aus den anderen gefolgert werden. Bei deinem Zitat wird einmal das Axiom (1) angesprochen und das andere mal das Axiom (3). Die Axiome stellen sicher, dass ein Kreis nicht als Modell für eine Gerade gewählt werden kann.

22.08.2022, 14:31

Ascareth

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Alte und neue Logik (Carnap)
Anmerkung: Huggy war schneller, habe ich noch nicht gelesen

Zitat:

Original von Elvis
[quote]Original von Ascareth
Da staune ich aber, weil ich nur dich zitiert habe.

Oh, entschuldige vielmals! Das habe ich total übersehen.

Im Original heißt es wirklich so:

Die geometrischen Axiome ”liegt a zwischen b und c, so liegt a zwischen c und b“ und ”liegt a zwischen b und c, so liegt b nicht zwischen c und a“ konnen nur in der neuen Logik ausgedruckt werden.

Und im Kurstext steht aber nur:

Bestimmte geometrische Axiome, z. B. „Liegt a zwischen b und c, so liegt b nicht zwischen a und c“, können in der Syllogistik nicht zum Ausdruck gebracht werden.

Ich hatte daher nur noch das "zwischen a und c" im Sinn.

Ich muss mir das noch mal genauer anschauen, aber jedenfalls fehlt doch dann im Kurstext die eine Hälfte und damit ist es doch schlichtweg unvollständig und irreführend? Jedenfalls sollte damit verdeutlicht werden, dass innerhalb der Syllogistik ist ein Schluss auf die Konverse unmöglich sei, weil die Syllogistik lediglich einstellige Prädikate kennt. Also schon Sätze wie "Sokrates ist größer als Simmias" sind damit nicht schlussfähig und auch nicht darstellbar.

Vielleicht noch die Frage: Was ist eine Konverse? Also eine vage Vorstellung davon habe ich natürlich, da es etwas wie eine "Umkehrung" bedeutet?

22.08.2022, 15:00

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

In einer Ordnungsrelation $\begin{eqnarray*} a\le b \end{eqnarray*}$ a kleiner oder gleich b ist nach moderner Logik klar, dass $\begin{eqnarray*} b\ge a \end{eqnarray*}$ b groesser oder gleich a sein muss. Das ist die konverse Aussage, die mit Syllogismen nicht zu beweisen ist.
In der Logik kennen wir die Umkehrung einer Implikation $\begin{eqnarray*} A\Rightarrow B \end{eqnarray*}$ , die umgekehrte Implikation ist von der Implikation $\begin{eqnarray*} A\Rightarrow B \end{eqnarray*}$ logisch unabhängig und lautet $\begin{eqnarray*} B\Rightarrow A \end{eqnarray*}$ . Das Wort konvers bezieht sich nicht auf die logische Umkehrung sondern auf relationale Umkehrung, also auf die Umkehrung der Relation (siehe oben).

Neue Frage »

Antworten »

Alte und neue Logik (Carnap)

Verwandte Themen