Spiel ohne Strategie?

22.08.2022, 15:02	uThomas	Auf diesen Beitrag antworten »
Spiel ohne Strategie? Stellen wir uns ein Online-Spiel vor, bei dem ein fester Gewinn von z.B. 10000€ ausgelobt wird. Jeder Spieler darf eine natürliche Zahl (ohne null) nennen und es gewinnt derjenige, der die kleinste nicht mehrfach genannte Zahl nennt. Kann es dafür irgendeine Strategie geben?
22.08.2022, 15:07	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich mache sofort mit, wenn und falls ich der einzige Mitspieler bin. Das ist meine Gewinnstrategie.
22.08.2022, 15:11	uThomas	Auf diesen Beitrag antworten »
... das Spiel werde in der Tagesschau angekündigt, also unwahrscheinlich, dass es nur einen Mitspieler gibt. Welche Zahl soll man wählen?
22.08.2022, 15:14	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
1453 oder eine andere Zahl.
22.08.2022, 15:32	willyengland	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt eine natürliche Zahl zwischen 3 und 4. Siehe: https://www.youtube.com/watch?v=G9sDLuIG5zA (13 min)
23.08.2022, 15:40	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Spiel ohne Strategie? Solche Fragen finde ich interessant, aber tue mich schwer damit. Das liegt sicher daran, dass ich kaum etwas von Spieltheorie verstehe. Mir bereitet schon der Fall von nur 2 Spielern Probleme. Man kann dann die wählbaren Zahlen auf 1 und 2 beschränken. Könnten die Spieler sich verabreden, würde einer 1 wählen und der andere 2 und sie würden sich hinterher den Gewinn teilen. Für eine theoretische Betrachtung sei eine Verabredung ausgeschlossen. Ohne Verabredung kann man mit der 2 nicht gewinnen. Also wählen beide die 1 und keiner gewinnt. Ist das der Weisheit letzter Schluss? Jedenfalls ist $\begin{eqnarray} (1,1) \end{eqnarray}$ auch ein Nash-Gleichwicht. Man kann sich nicht verbessern, wenn man von dieser Strategie abweicht. Wie sieht es mit gemischten Strategien aus? Man wählt die $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ mit einer Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray} 0<p<1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ mit der Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray} 1-p \end{eqnarray}$ . Die sind kein Nash-Gleichgewicht. Man kann sich verbessern, wenn man zur reinen Strategie immer $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ wechselt, während der andere bei der gemischten Strategie bleibt. Sind damit die gemischten Strategien weg vom Fenster. Mir will das nicht gefallen. Der Grund liegt darin, dass man sich auch gegenüber der immer $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ Strategie nicht verschlechtert. Eigentlich verbessert man sich sogar. Denn es verbleibt die Chance, dass auch der andere eine gemischte Strategie wählt. Folgen beide dem gleichen Gedanken, würden beide eine gemischte Strategie mit $\begin{eqnarray} p = \frac 1 2 \end{eqnarray}$ wählen. Dann hat jeder als Erwartungswert $\begin{eqnarray} \frac 1 4 \end{eqnarray}$ der Auszahlung. Ist das die vernünftigste Entscheidung?
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23.08.2022, 16:13	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Dumme ist auch noch, das hier kein Nullsummenspiel vorliegt, denn für die meisten Strategien kommt es mit positiver Wahrscheinlichkeit dazu, dass keiner der $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Spieler gewinnt, weil eben keine Zahl genau einmal auftritt. Auch der Workaround per "Verwerfungsmethode", d.h. man wiederholt solange bis einer gewinnt, schlägt im Fall n=2 fehl, da wie von Huggy schon analysiert beide immer "1" wählen, und das bei fehlender Kooperation auch leider die zwingende Wahl ist. D.h., $\begin{eqnarray} n=2 \end{eqnarray}$ kann man vergessen, nur deprimierend. Wie sieht es bei n=3 aus? Wenn beispielsweise Spieler 1 und 2 jeweils beide dieselbe Zweipunktverteilung auf "1" und "2" tippen, hat Spieler 3 leichtes Spiel: Er muss nur deterministisch auf "3" tippen und gewinnt in mindestens 50% der Fälle. D.h., diese Zweipunktverteilung scheint keine gute Idee zu sein - vielleicht was anderes? ... Kurzum: Es wird keine Strategie geben, mit der man sicher die anderen dominieren kann, denn fahren zwei Spieler dieselbe Strategie, haben sie der Symmetrie wegen auch gleiche Gewinnchanchen. Was man m.E. allenfalls als Ziel ausgeben kann ist das Finden einer (von der Spieleranzahl $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ abhängigen) Minimax-Strategie, deren Abweichung für Spieler nur Nachteile hat. Ob es sowas hier gibt bzw. überhaupt geben kann, überblicke ich aktuell überhaupt nicht.

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