Tensorprodukt

23.08.2022, 19:38

HiBee123

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Tensorprodukt

Hallo Leute! Wink

Wink

Ich geh grad eine Reihe Beweise durch und bin auf folgendes zum Tensorprodukt gestoßen (siehe Anhang) Einen Beweis dazu habe ich im Skript... ist ein 5 Zeiler... aber ich versteh ihn einfach nicht!

Es wird so vorgegangen, dass man eine Basis B =(b1,....,bn) und eine Basis B'=(b1',...,bn') und genauso Basen C und C' definiert... aber ich weiß nicht, was das soll?! verwirrt

verwirrt

In der ursprünglichen Aufgabe ist ja von Basen B1 und B2 und C1 und C2 die Rede und nicht von B' und C' ... ist das das Gleiche? Wisst ihr was damit gemeint sein könnte? Oder hättet ihr vielleicht eine nachvollziehbare Beweisstrategie? ... Ich sitze da echt auf dem Trockenen und komm nicht voran...
Und dann wird weiter so vorgegangen:
(f kreuz g)(bi kreuz cj)=(f kreuz bi) (g kreuz cj)

Gibts vielleicht noch eine andere Möglichkeit das zu zeigen?

Ich würde vermuten , man muss über das Kronecker-Produkt gehen. (Dass machen die auch bei der Lösung im Skript so... zum Schluss)

23.08.2022, 20:16

HiBee123

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RE: Tensorprodukt
ups, ich hatte den Anhang vergessen,also jetzt.

24.08.2022, 10:27

IfindU

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RE: Tensorprodukt
Man meint sicher $\begin{eqnarray*} B = B_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B' = B_2 \end{eqnarray*}$ . Es ist super nervig, wenn man mit Indizes arbeiten muss. So ist $\begin{eqnarray*} B = (b_1, b_2, \ldots, b_n) \end{eqnarray*}$ . Wenn man stattdessen $\begin{eqnarray*} B_1 \end{eqnarray*}$ schreibt, so ist $\begin{eqnarray*} B_1 = (b_{1,1}, b_{1,2}, \ldots, b_{1,n}) \end{eqnarray*}$ . Das macht auf Dauer keinen Spaß und es irritiert mehr als es hilft.

Zur Aussage selbst müsste ich mich erst mit Tensorprodukten näher auseinander setzen. Hier gibt es eins für Basen und eins für lineare Abbildungen. Das müsste ich erst sauber verstehen bevor ich mich an einen Beweis wage.

24.08.2022, 12:25

HiBee123

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RE: Tensorprodukt
Ja das ist auch mein Problem.

Ich versteh das Tensorprodukt nicht richtig und wir haben nur relativ wenig dazu gegeben.

Das Tensorprodukt zweier Abbildungen ist:
(f tensor g)(m1 tensor m2) ,
wobei f von M1 nach N1 und g von M2 nach N2 abbildet

(f tensor g)(m1 tensor m2)=f(m1) tensor g(m2)

Das Tensorprodukt von Matrizen (man kann die Funktionen ja auch als Abbildungsmatrix sehen) ist das Kronecker Produkt.

Und das Tensorprodukt von Basisvektoren, sind alle Möglichen Kombinationen, als z.B mit der Standardbasis: gilt für R^2 tensor R^3 ist eine Basis gegeben durch e1 tensor e1, e2 tensor e1, e1 tensor e2, e2 tensor e2, e1 tensor e3, e2 tensor e3.

Mehr haben wir auch nicht, bis auf ein wenig general abstract nonsense über universelle Eigenschaften (ein Freund hat das zumindest so genannt...) Das ist aber so abstrakt , dass ich da kaum durchsteige...

und mit diesem Wissen sollen wir jetzt den Beweis führen...?

24.08.2022, 12:34

IfindU

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RE: Tensorprodukt
Kannst du den ganzen Beweis posten? Das würde die Sache deutlich einfacher machen. Und ja, universelle Eigenschaften, darauf stehen Algebraiker.

24.08.2022, 12:55

HiBee123

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RE: Tensorprodukt
Ja klar.

Ich glaube aber, dass der Beweis möglicherweise fehlerhaft ist... Wieso zum Beispiel rechnet man
(f tensor g)(bi tensor cj) und nicht etwa (f tensor g) (b1i tensor b2j) ?

Und wieso ist "B" einmal eine Abbildungsmatrix und einmal eine Basis??
also ich steig da nicht mehr durch...

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24.08.2022, 15:35

IfindU

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RE: Tensorprodukt
Da ist notationell so einiges durcheinander gekommen.

Es seien $\begin{eqnarray*} A := ^{C}\hspace{-0.1cm}f^{B}, A' := ^{C'}\hspace{-0.3cm}g^{B'} \end{eqnarray*}$ . Dann definiere $\begin{eqnarray*} B, B',C, C' \end{eqnarray*}$ wie im Script.

Dann gilt
$\begin{eqnarray*} ( f\otimes g)(b_i \otimes b_j') = f(b_i) \otimes g(b_j') = (\sum_k A_{ki} c_k) \otimes (\sum_l A'_{lj} c'_l) = \sum_k \sum_l A_{ki} A'_{lj} (c_k \otimes c'_l) \end{eqnarray*}$

So sollte es gemeint sein.

24.08.2022, 18:28

HiBee123

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RE: Tensorprodukt
Lieben Dank. Blumen

Blumen

Das macht das Ganze etwas weniger kryptisch...

wobei ich zugeben muss, dass ich das Ganze noch nicht recht durchsteige... ich nehm das jetzt einfach mal hin (vielleicht kommt die Erleuchtung ja noch Big Laugh

Big Laugh

)

24.08.2022, 19:03

Elvis

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Wenn du ganz viel Zeit hättest, könntest du dir diese Vorlesung ansehen, sind ja nur 12 Doppelstunden: Tensoren und ihre Darstellung
Aber wer hat schon ganz viel Zeit ? Vielleicht später einmal ... viel später ... hoffentlich nicht zu spät.

24.08.2022, 19:20

IfindU

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RE: Tensorprodukt

Zitat:

Original von HiBee123
Lieben Dank. Blumen

Blumen

Das macht das Ganze etwas weniger kryptisch...

wobei ich zugeben muss, dass ich das Ganze noch nicht recht durchsteige... ich nehm das jetzt einfach mal hin (vielleicht kommt die Erleuchtung ja noch Big Laugh

Big Laugh

)

Das erste Gleichheitszeichen ist die Definition vom Tensorprodukt für lineare Abbildungen. Das zweite die Definition der Matrizen $\begin{eqnarray*} A, A' \end{eqnarray*}$ und das letzte die Bilinearität des Tensorprodukts.

25.08.2022, 13:29

HiBee123

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RE: Tensorprodukt
Geil, eine Vorlesung über multilineare Algebra. Ich zieh mir sowas in meiner Freizeit wirklich gern rein... also Danke smile

smile

! (nur das ich seit ich Mathe studiere kaum noch Freizeit habe... andererseits ist es ja auch ein Segen, weil ich das machen kann, was ich liebe...)

Und danke für die zusätzliche Erklärung! smile

smile

Jetzt hab ich noch eine Aufgabe zum Tensorprodukt, die mir Kopfzerbrechen bereitet:
Sei K ein Körper mit Charakteristik ungleich 2. V ein K-Vektorraum mit dim V>=2 und < unendlich.
$\begin{eqnarray*} \tau: V\otimes V \rightarrow V\otimes V \end{eqnarray*}$ die lineare Abbildung, die definiert ist durch : $\begin{eqnarray*} \tau (v\otimes w)=\left(w\otimes v\right) \end{eqnarray*}$ Zu Zeigen ist:

Die Eigenwerte von tau sind genau 1 und -1 und $\begin{eqnarray*} V\otimes V=(\tau, 1)\oplus (\tau, -1) \end{eqnarray*}$
Ich weiß leider nichtmal, was mit $\begin{eqnarray*} (\tau, 1)\oplus (\tau, -1) \end{eqnarray*}$ gemeint seien soll... die Haupträume? Wie berechnet man die Eigenwerte eines Tensorproduktes?? Geht das wieder über die universelle Eigenschaft?

Nachtrag: Hab jetzt angefangen mir diese Vorlesung reinzuziehen. Viele Beispiele bisher, das ist echt ziemlich nice bisher. Freude

Freude

Vielleicht binge ich ja heute die Nacht durch.. Haha, mit etwas Popcorn... fröhlich

fröhlich

25.08.2022, 13:40

IfindU

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RE: Tensorprodukt
Das ist die analoge Eigenschaft dazu, dass Matrizen in symmetrische und schiefsymmetrische Matrizen spalten. Dabei spielt hier $\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$ die Rolle des transponieren.

Damit sollte $\begin{eqnarray*} (\tau, \lambda) \end{eqnarray*}$ die Eigenvektoren zu $\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$ mit Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ sein. Als Tipp: Jede Matrix lässt sich schreiben als $\begin{eqnarray*} A = \frac { A + A^T} 2 + \frac { A - A^T} 2 \end{eqnarray*}$ .

Versuch das Analogon hier herzuleiten, damit kannst du die zweite Aussage zeigen und damit implizit auch den ersten Teil. (Ich überlege wie man direkt zeigen kann, dass es keine weiteren Eigenwerte gibt, mir fällt gerade nichts ein).

26.08.2022, 12:43

HiBee123

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RE: Tensorprodukt
Hi.

Ich hab jetzt eine ganze Weile drüber nachgedacht... und ich versteh es trotzdem noch nicht.

wofür ist dieses A gut? ist das die Abbildungsmatrix bezüglich tau? oder betrachten wir das Kroneckerprodukt?

Meine Idee wäre jetzt, dass das Kroneckerprodukt unseres Tensors genau die symmetrischen beziehungsweise schiefsymmetrischen Matrizen sind... habe ich das richtig verstanden?

Und bei den symmetrischen Matrizen ist der Eigenwert 1 und bei den schiefsymmetrischen -1 ?

Wär echt nett wenn du mir noch einen Stoß in die richtige Richtung geben könntest! smile

smile

Diese Tensorprodukte sind mir noch unklar, leider...

26.08.2022, 13:01

IfindU

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RE: Tensorprodukt
Das $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ sollte nur eine generische Matrix sein.

Meine Idee war zu definieren $\begin{eqnarray*} sym(v \otimes w) =\frac { v\otimes w + \tau(v \otimes w)} 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} skew(v \otimes w) =\frac { v\otimes w - \tau(v \otimes w)} 2 \end{eqnarray*}$ analog zu den Matrizen. Jetzt ist $\begin{eqnarray*} v \otimes w = sym(v \otimes w) + skew( v \otimes w) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} sym(v \otimes w) \end{eqnarray*}$ Eigenvektor von $\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$ zum Eigenwert 1 ist und $\begin{eqnarray*} skew(v \otimes w) \end{eqnarray*}$ Eigenvektor zum Eigenwert $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ .

26.08.2022, 17:41

HiBee123

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RE: Tensorprodukt
Ah okay. Und wenn wir jetzt V tensor V als direkte Summe der Eigenräume zu 1 und -1 haben, dann folgt sofort, dass es keine anderen Eigenwerte geben kann? Spontan fällt mir gerade kein Lemma ein, was das belegt... ich meine es erscheint mir irgendwie logisch, aber belegen müsste ich es trotzdem noch....

(Sorry das ich so blind bin... Ich komm mir vor wie in einem ganz ganz dunklen Raum mit einem Teelicht.... )

26.08.2022, 18:37

IfindU

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RE: Tensorprodukt
Das ist sehr elementar. Sei $\begin{eqnarray*} x \in V \otimes V \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} x = sym(x) + skew(x) \end{eqnarray*}$ . Wenden wir $\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$ an, erhalten wir
$\begin{eqnarray*} \tau(x) = sym(x) - skew(x) \end{eqnarray*}$ .

Wir können jetzt fragen, wann $\begin{eqnarray*} \tau(x) = \lambda x \end{eqnarray*}$ ist, und das kann man einsetzen und bekommt $\begin{eqnarray*} (1 - \lambda) sym(x) = ( 1 + \lambda) skew(x) \end{eqnarray*}$ . Wenden wir noch einmal $\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$ an, bekommen wir sofort $\begin{eqnarray*} (1 - \lambda) sym(x) = 0 \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} \lambda = 1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} sym(x) \end{eqnarray*}$ ist 0. Was wiederrum heißt $\begin{eqnarray*} \lambda = -1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} skew(x) = 0 \end{eqnarray*}$ .

26.08.2022, 21:17

HiBee123

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RE: Tensorprodukt
ah okay! Prima Freude

Freude

aber es gab was ,das du anders zeigen wolltest? Damit ist doch gezeigt, dass es nur die Eigenwerte 1 und -1 geben kann, oder? und damit dürfte der Beweis fertig sein, oder nicht?

27.08.2022, 09:32

IfindU

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RE: Tensorprodukt
Ja... Ich habe aber noch einmal drüber nachgedacht und es geht viel leichter. Wir wissen, dass $\begin{eqnarray*} \tau(\tau(x)) = x \end{eqnarray*}$ ist. Ist nun $\begin{eqnarray*} \tau(x) = \lambda x \end{eqnarray*}$ , können wir es links einsetzen und bekommen $\begin{eqnarray*} \lambda^2 x = x \end{eqnarray*}$ , woraus sofort $\begin{eqnarray*} \lambda = \pm 1 \end{eqnarray*}$ folgt...

27.08.2022, 12:55

HiBee123

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RE: Tensorprodukt
ach ja! smile

smile

Weil das ganze ein Involution ist... daran hatte ich gar nicht gedacht... danke dir smile

smile

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