Nicht invertierbare Matrix mit vollem Rang

24.08.2022, 13:34

Stud2400822

Nicht invertierbare Matrix mit vollem Rang

Hallo ihr Lieben,

ich bin über einen Satz gestolpert, der besagt, dass nicht jede Matrix mit vollem Rang invertierbar ist.

Ich hatte immer gedacht, dass vom vollen Rang nur bei quadratischen Matrizen gesprochen wird. Gibt es denn überhaupt Matrizen mit vollem Rang die nicht invertierbar sind, falls ja, wie sehe eine solche Matrix denn aus?

24.08.2022, 13:41

HiBee123

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RE: Nicht invertierbare Matrix mit vollem Rang
? echt?! verwirrt

In meinem Skript steht nämlich ein Gegenteiliger Satz, nämlich das eine Matrix A genau dann invertierbar ist, wenn sie vollen Rang hat...
aber es ging hierbei um n kreuz n Matrizen...

vielleicht deshalb... verwirrt

24.08.2022, 13:44

HAL 9000

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Man spricht bei Matrizen $\begin{eqnarray*} A\in \mathbb{R}^{m\times n} \end{eqnarray*}$ von "vollem Rang", wenn $\begin{eqnarray*} \operatorname{rg}\left(A\right) = \min(m,n) \end{eqnarray*}$ gilt - auch im Fall $\begin{eqnarray*} m\neq n \end{eqnarray*}$ . Dass in diesem Fall $\begin{eqnarray*} m\neq n \end{eqnarray*}$ sowieso nicht von Invertierbarkeit gesprochen werden kann, versteht sich von selbst.

Anderseits sind im Fall $\begin{eqnarray*} m=n \end{eqnarray*}$ Invertierbarkeit und voller Rang gleichbedeutend.

24.08.2022, 13:45

Finn_

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Eine quadratische Matrix aus $\begin{eqnarray*} K^{n\times n} \end{eqnarray*}$ zu einem Körper $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ hat genau dann den Rang $\begin{eqnarray*} n, \end{eqnarray*}$ wenn sie invertierbar ist.

24.08.2022, 13:58

Stud2400822

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Dann wäre doch $\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ eine Matrix mit vollem Rank, die aber nicht invertierbar ist, richtig?

25.08.2022, 12:23

Stud2400822

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Zitat:

Original von Stud2400822
Dann wäre doch $\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ eine Matrix mit vollem Rank, die aber nicht invertierbar ist, richtig?

Ist das so korrekt? verwirrt

25.08.2022, 12:29

IfindU

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Genau.

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Nicht invertierbare Matrix mit vollem Rang

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