Doppelpost! Maximaler Abstand Punkt auf Kreisbahn zu Ebene

24.08.2022, 15:09

Kimschi

Maximaler Abstand Punkt auf Kreisbahn zu Ebene

Meine Frage:
Guten Tag,

ich möchte von einer schiefe Ebene aus einen Punkt mit maximalen Abstand bestimmen. Dieser Punkt soll auf einer Kreisbahn liegen. Der Kreis R20 liegt paralell zur X1X3 Ebene in einer Höhe von 50. Der Kreismittelpunkt liegt auf der X2 Achse.

Die Ebene wird durch die Punkte: E1(-20\20\0) E2(3,5\7\20) und E3(15,5\-5\-12,5) beschrieben.
Der Punkt durch wird durch P(X1 \50\ X3) beschrieben, soll zusätlich aber noch einen Abstand von 20 zu der X2 Achse haben.

Kann mir jemand mit einer Formel helfen?

Ich muss dann auch nach dem Prinzip noch weitere Punkte berechnen.

LG

Meine Ideen:
Ich hab leider nicht wirklich eine Idee, wie man einbindet, dass der Punkt auf diesem Kreis liegen muss...

24.08.2022, 16:58

HAL 9000

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Zitat:

Original von Kimschi
Der Kreis R20 liegt paralell zur X1X3 Ebene in einer Höhe von 50. [...] Der Punkt durch wird durch P(X1 \50\ X3) beschrieben

Dem darf man wohl entnehmen, dass in deiner Zuordnung $\begin{eqnarray*} X_2 \end{eqnarray*}$ der Höhenachse entspricht. Da dies nicht generelle Usus ist (mir fällt da nur der Raytracer POVray ein, aber der arbeitet ebenfalls ungewöhnlicherweise auch mit Links- statt Rechtssystem), sollte man es erwähnen.

24.08.2022, 17:02

Huggy

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RE: Maximaler Abstand Punkt auf Kreisbahn zu Ebene
Das sollte nicht so schwer sein. Aus den 3 gegebenen Punkten kann man die Gleichung der Ebene in der Hesseschen Normalform aufstellen:

$\begin{eqnarray*} \vec n.\vec x-d=0 \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} \vec n =(n_1,n_2,n_3) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec x=(x_1,x_2,x_3) \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} \vec n \end{eqnarray*}$ ist der normierte Normalenvektor der Ebene. Setzt man in die linke Seite der Gleichung einen beliebigen Punkt ein, so erhält man - bis eventuell auf das Vorzeichen - den Abstand dieses Punktes von der Ebene.

Der Kreis ist gegeben durch

$\begin{eqnarray*} x_1^2+x_3^2=20^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_3=\pm \sqrt {20^2-x_1^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2=50 \end{eqnarray*}$

Setze das in die linke Seite Ebenengleichung ein, also:

$\begin{eqnarray*} e(x_1)=\vec n .(x_1, 50,\pm\sqrt {20^2-x_1^2})-d \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e(x_1) \end{eqnarray*}$ ist der Abstand der durch ihre $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ -Koordinaten definierten Kreispunkte von der Ebene. Die lokalen Extrema findet man wie üblich durch Ableiten nach $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und Nullsetzen der Ableitung. Man muss das getrennt für die beiden Vorzeichen machen und wie schon gesagt beachten, dass sich statt des Abstandes auch das negative des Abstandes ergeben kann.

Man kann den Kreis auch in Parameterdarstellung benutzen, also $\begin{eqnarray*} (x_1=20 \cos t, 50,x_3=20 \sin t) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} t \in [, 2 \pi) \end{eqnarray*}$ . Dann entfällt die Sache mit den 2 Vorzeichen.

24.08.2022, 17:10

HAL 9000

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Und leider: https://www.onlinemathe.de/forum/Abstand...-soll-auf-Kreis

24.08.2022, 17:13

Steffen Bühler

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Ja, schade, dass Ihr zwei schon soviel Arbeit reingesteckt habt.

Kimschi, es ist, wie Du siehst, äußerst unhöflich, nicht mitzuteilen, dass Du die Frage auch woanders gestellt hast.

Hier wird geschlossen, zumal nebenan bereits eine Komplettlösung wartet.

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