Summenformel umformen

25.08.2022, 16:43

gutefrage12

Summenformel umformen

Hallo,

für die Umformung von Rekursionsgleichungen ist ein wesentlicher Schritt die Umformung von Summenformel in die "normale" Formel.

Ein Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=0}^{log2(n)-1} (1/2^{i})*n^{2} \end{eqnarray*}$

Diese Summenformel umgeformt ergibt (2-2/n)*n^{2}

Mein nächstes Problem wäre

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=0}^{log2(n)-1} 2^{i}*(8/2^{i}) \end{eqnarray*}$ umzuformen.

Offensichtlich wird hier immer +8 addiert, aber wie bringe ich das mit in die Normalform mit ein. Ich wäre euch sehr dankbar wenn ihr mir die Umformung von beiden Formeln erklären könntet.

LG

25.08.2022, 17:08

gutefrage12

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RE: Summenformel umformen
Nachtrag:

Für die 2.Formel ist es mir jetzt bewusst. Normal aufgeschrieben wäre dies nichts anderes als

log2(n)*8

Aber für die erste Formel benötige ich nach wie vor Hilfe

Eine weitere Aufgabe wäre $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=0}^{log2(n)-1} 8^{i}*7 \end{eqnarray*}$

zu $\begin{eqnarray*} n^{3} \end{eqnarray*}$ -1 umzuformen. Das gelingt mir auch nicht

25.08.2022, 17:18

Steffen Bühler

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RE: Summenformel umformen
Willkommen im Matheboard!

Anscheinend geht es um Partialsummen einer geometrischen Reihe. Nimm dafür die im Link genannte Formel.

Viele Grüße
Steffen

25.08.2022, 17:38

gutefrage12

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RE: Summenformel umformen
Ich verstehe leider nicht genau, wie du das meinst. Könntest du mir das vllt. genauer erklären.

25.08.2022, 17:48

Steffen Bühler

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RE: Summenformel umformen
Im Link steht die Formel

$\begin{eqnarray*} a_0\sum_{k=0}^{n} q^k = a_0\frac{q^{n+1}-1}{q-1} \end{eqnarray*}$

Du willst ja

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=0}^{log_2(n)-1} \left( \frac 1 2 \right) ^i \end{eqnarray*}$

bestimmen, also ist $\begin{eqnarray*} a_0=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q= \frac 1 2 \end{eqnarray*}$

25.08.2022, 18:19

gutefrage12

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RE: Summenformel umformen
Ok das würde dann heißen dass meine umgeformte Formel wie folgt aussehen würde?

n^2 * ( 0.5^log2(n) -1 ) / ( 0.5 -1 )

Sprich das q "verwerte" ich in der Formel und das n^2 ziehe ich quasi mit als Multiplikation?

Hab ich das richtig verstanden?

25.08.2022, 20:12

Steffen Bühler

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RE: Summenformel umformen
Ja. Das $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ ist ja ein konstanter Faktor.

25.08.2022, 20:35

gutefrage12

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RE: Summenformel umformen
Ok, vielen Dank schonmal!

Ich denke das Grundprinzip habe ich nun verstanden. Allerdings scheitere ich gerade noch an etwas schwierigeren Summenformeln, wie bspw. dieser hier:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=0}^{log4(n)-1} 4^{i}*(n/4^{i})^{3} \end{eqnarray*}$

Könntest du mir die Vorgehensweise hier vielleicht im Detail erklären?

VG

25.08.2022, 21:02

Steffen Bühler

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RE: Summenformel umformen
Zunächst kannst Du vereinfachen:
$\begin{eqnarray*} 4^i \cdot \left(\frac n{4^i}\right) ^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 4^i \cdot \frac {n^3}{4^{3 \cdot i}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = {n^3} \cdot \frac 1 {4^{2 \cdot i}} \end{eqnarray*}$

Siehst Du es schon?

26.08.2022, 09:41

HAL 9000

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Zitat:

Original von gutefrage12
Ein Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=0}^{log2(n)-1} (1/2^{i})*n^{2} \end{eqnarray*}$

Diese Summenformel umgeformt ergibt (2-2/n)*n^{2}

Diese Betrachtung ist so nur gültig, wenn $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ eine Zweierpotenz ist. In allen anderen Fällen ist $\begin{eqnarray*} \log_2(n)-1 \end{eqnarray*}$ keine ganze Zahl und damit auch gar kein gültiger Summationsendindex. Mit Gaußklammern könnte man dann noch die Summenschreibweise retten gemäß $\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^{\left\lfloor \log_2(n)\right\rfloor-1} \frac{1}{2^i}\cdot n^2 \end{eqnarray*}$ , nicht aber den in diesen Fällen falschen Summenwert $\begin{eqnarray*} \left(2-\frac{2}{n}\right)n^2 = 2n^2-2n \end{eqnarray*}$ .

D.h., genau genommen finden deine Rechnungen immer unter der Prämisse statt, dass diese Logarithmuswerte in den Summationsindizes ganze Zahlen sein müssen - das sollte man immer im Hinterkopf haben.

26.08.2022, 13:18

gutefrage12

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RE: Summenformel umformen

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Zunächst kannst Du vereinfachen:
$\begin{eqnarray*} 4^i \cdot \left(\frac n{4^i}\right) ^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 4^i \cdot \frac {n^3}{4^{3 \cdot i}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = {n^3} \cdot \frac 1 {4^{2 \cdot i}} \end{eqnarray*}$

Siehst Du es schon?

Leider nicht. Mein Ansatz wäre jetzt gewesen so umzuformen das ich über

$\begin{eqnarray*} n^{3}*(4^{i} / 4^{3*i}) \end{eqnarray*}$

bei

$\begin{eqnarray*} n^{3}*(1/16)^{i} \end{eqnarray*}$

lande, und danach wieder in die Formel einsetze wodurch ich

$\begin{eqnarray*} ((1/16)^{log4(n)}-1)/((1/16)-1) \end{eqnarray*}$

erhalte. Irgendwie scheint dies aber nicht richtig zu sein.

Das Ergebnis lautet $\begin{eqnarray*} (16/15)n*(n^{2}-1) \end{eqnarray*}$ aber ich komme nicht drauf

26.08.2022, 13:19

gutefrage12

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Ja genau, dass hatte ich vergessen zu erwähnen, aber wir gehen immer nur von 2er bzw. 3er,4er Potenzen aus, je nachdem was die Aufgabenstellung gerade hergibt.

26.08.2022, 13:57

HAL 9000

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Zitat:

Original von gutefrage12
$\begin{eqnarray*} ((1/16)^{log4(n)}-1)/((1/16)-1) \end{eqnarray*}$

erhalte. Irgendwie scheint dies aber nicht richtig zu sein.

Nun, du hast auch zu früh aufgegeben zu vereinfachen: Es ist

$\begin{eqnarray*} 16^{\log_4(n)} = \left(4^2\right)^{\log_4(n)} = 4^{2\log_4(n)} = \left(4^{\log_4(n)}\right)^2 = n^2 \end{eqnarray*}$

und damit

$\begin{eqnarray*} n^3\frac{\left(\frac{1}{16}\right)^{\log_4(n)}-1}{\frac{1}{16}-1} = n^3\frac{\frac{1}{n^2}-1}{-\frac{15}{16}} = \frac{16}{15}n\left(n^2-1\right) \end{eqnarray*}$ .

26.08.2022, 19:40

gutefrage12

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Edit (mY+)
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Verstehe, man muss das vereinfachen also maximal ausreizen Big Laugh

Zumindest war ich schonmal auf dem richtigen Dampfer.

Danke euch!

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Summenformel umformen

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