Das 5-Kreise-Problem oder die rätselhaften Außerirdischen

25.08.2022, 20:34

Conny_1729

Das 5-Kreise-Problem oder die rätselhaften Außerirdischen

Es ist das Erden-Jahr 2022: Zum Gedenken mehrerer geglückter Missionen in den letzten Jahrhunderten, kehren die „Außerirdischen von Beteigeuze“ zu den Menschen auf die Erde zurück, um wieder einmal deren Intelligenz zu testen (intragalaktischer IQ-TÜV). Sie besinnen sich dabei auf das Jahr 1520, als sie damals einem Seefahrer namens Magellan heimlich mit einem Traktorstrahl durch die später nach ihm benannte Meerenge halfen, die an ihrer engsten Stelle eine Breite von 2000 Meter misst. Nebenbei bemerkt, einem anderen Seefahrer, man nannte ihn Vasco da Gama, hatte man vor 525 Jahren schon mal in ähnlicher Weise eine gewisse Hilfe bei der Umschiffung beim „Kap der guten Hoffnung“ geboten, wodurch sich eine lukrative Handelsroute nach Indien etablieren konnte.

Und wie es sich gehört und schon lange Tradition ist, haben die Außerirdischen ihren Test in ein Getreidefeld hineincodiert in Form der berüchtigten „Kornkreise“. Die beiden Zahlen „2000“, „1520“ haben sie verschlüsselt in ihren Kreis-Geometrien versteckt, die sie von ihrem Raumschiff aus mittels fokussierten Schallwellen in das Getreidefeld skizziert haben. Natürlich benutzen sie dabei das metrische System, weil es ja dem internationalen Standard (der Erde) entspricht.

Zur Aufgabe:
Das Getreidefeld ist quadratisch und besitzt eine Seitenlänge von 2000 Meter. (mit 400 Hektar gehört es schon zu der Mega-Klasse der Agrar-Bewirtschaftung)
In das Feld sind 5 Kreise eingebracht worden. (siehe Skizze)
Die vier äußeren Kreise (K1 bis K4) liegen tangential in den Ecken des quadratischen Feldes und berühren ihrerseits den mittleren Kreis K5 tangential, jedoch dürfen sie sich nicht gegenseitig überschneiden!!! Außerdem ergibt die Summe dieser vier Radien einen Wert von exakt 1520 Meter. Wichtiger Zusatz: Alle vier Außenradien (in Meter) sind ganzzahlig zu wählen!

DIE FRAGE:
1) Für welche ganzzahligen Radien der äußeren vier Kreise (R1, R2, R3, R4) kann die Kornkreiskonstruktion umgesetzt werden??? [wegen der Symmetrieeigenschaften des Problems genügt allein die Angabe eines Radien-Quartetts, jedoch in der richtigen Reihenfolge]

2) Welchen Radius R5 besitzt dann der Kreis K5?
(Die Meterangabe kann bei den Lösungen ruhig weggelassen werden)

Alle Bedingungen noch einmal zusammengefasst:
Seitenlänge Feld: a=2000 (Meter)
Summe: R1+R2+R3+R4=1520 (Meter)
Radien: R1, R2, R3, R4 sind ganzzahlig (in Meter)
Kreise: K1 … K4 liegen tangential an K5 und in den Ecken an.
Kreise: K1 … K4 dürfen sich nicht gegenseitig schneiden.

Ein Beispiel dafür, was als Lösung nicht gelten würde, wäre dieser Fall:
R1…R4:= (225, 46, 603, 646)

Grund:
1. Die beiden Radien mit den Werten 603 und 646 würden sich schneiden!
2. Die vier Radien würden nicht in ein Quadrat der Seitenlänge 2000 passen, sondern in eines mit der Seitenlänge 2000.00000575194. Knapp daneben ist leider auch vorbei Augenzwinkern

Gruß
Conny
.

25.08.2022, 21:25

HAL 9000

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Mit $\begin{eqnarray*} r_1,\ldots,r_4 \end{eqnarray*}$ stehen auch die Mittelpunktkoordinaten der vier Kreise fest. Bezeichnet man mit $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ den Mittelpunkt des Kreises $\begin{eqnarray*} K_5 \end{eqnarray*}$ , so ergibt sich das Gleichungssystem

$\begin{eqnarray*} (x-r_1)^2 + (y-r_1)^2 &=& (r_1+r_5)^2\\ (x-r_2)^2 + (y-a+r_2)^2 &=& (r_2+r_5)^2\\ (x-a+r_3)^2 + (y-a+r_3)^2 &=& (r_3+r_5)^2\\ (x-a+r_4)^2 + (y-r_4)^2 &=& (r_4+r_5)^2\\ r_1+r_2+r_3+r_4 &=& 1520 \end{eqnarray*}$

Fünf Gleichungen für die sieben Unbekannten $\begin{eqnarray*} r_1,r_2,r_3,r_4,r_5,x,y \end{eqnarray*}$ , also zwei Freiheitsgrade. Jetzt könnte man beispielsweise zwei als Parameter nehmen - etwa gleich $\begin{eqnarray*} r_1,r_2 \end{eqnarray*}$ - die ein gewisses Raster im $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}^2 \end{eqnarray*}$ abklappern lassen und schauen, ob da irgendwo Lösungen $\begin{eqnarray*} (r_3,r_4,r_5,x,y) \end{eqnarray*}$ mit ganzzahligen $\begin{eqnarray*} r_3,r_4 \end{eqnarray*}$ bei rumkommen - das ist natürlich ein Job für den Rechner. Viel Spaß!

EDIT: Bist du dir sicher, dass du wirklich alle Forderungen oben gestellt hast? Beispielsweise genügen die "symmetrischen" Konstellationen $\begin{eqnarray*} r_2=r_1,r_3=760-r_1,r_4=r_3 \end{eqnarray*}$ für ganzzahlige $\begin{eqnarray*} r_1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 260\leq r_1\leq 380 \end{eqnarray*}$ und dann dazu passend gewähltem $\begin{eqnarray*} r_5 \end{eqnarray*}$ all deinen Bedingungen!!! Z.B. die "symmetrischste" überhaupt mit $\begin{eqnarray*} r_1=r_2=r_3=r_4=380,r_5=620\sqrt{2}-380,x=y=1000 \end{eqnarray*}$ .

Oder soll auch noch $\begin{eqnarray*} r_5 \end{eqnarray*}$ ganzzahlig sein - davon steht oben aber nichts. verwirrt

26.08.2022, 18:23

Conny_1729

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Zitat:

EDIT: Bist du dir sicher, dass du wirklich alle Forderungen oben gestellt hast? Beispielsweise genügen die "symmetrischen" Konstellationen $\begin{eqnarray*} r_2=r_1,r_3=760-r_1,r_4=r_3 \end{eqnarray*}$ für ganzzahlige $\begin{eqnarray*} r_1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 260\leq r_1\leq 380 \end{eqnarray*}$ und dann dazu passend gewähltem $\begin{eqnarray*} r_5 \end{eqnarray*}$ all deinen Bedingungen!!! Z.B. die "symmetrischste" überhaupt mit $\begin{eqnarray*} r_1=r_2=r_3=r_4=380,r_5=620\sqrt{2}-380,x=y=1000 \end{eqnarray*}$ .

Oder soll auch noch $\begin{eqnarray*} r_5 \end{eqnarray*}$ ganzzahlig sein - davon steht oben aber nichts. verwirrt

Sorry und Asche auf mein Haupt!!!
Für Radius R5 muss zusätzlich die Bedingung gelten, dass der Wert ganzzahlig ist! Ist mir leider durchgerutscht.

ergänzende Bedingung:
Kreis K5 besitzt einen ganzzahligen Radiuswert

Vielen Dank für die Richtigstellung der Aufgabe.

Gruß
Conny.

26.08.2022, 20:04

HAL 9000

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So, hab jetzt den armen PC eine Weile gequält, bis er mir

$\begin{eqnarray*} r_1=244, r_2=356, r_3=496, r_4=424, r_5=525, x=725, y=844 \end{eqnarray*}$

ausgespuckt hat. Sieht laut Probe soweit ganz vernünftig aus. Augenzwinkern

[attach]55838[/attach]

26.08.2022, 21:05

Conny_1729

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Hallo HAL_9000,

du hast es wieder geschafft! Wer sonst?

Wie man an der Lösung sieht, sind auch die x-y-Koordinaten vom Kreis K5 ganzahlig, womit sich dann
auch einige pythagoräische Zahlentripel ergeben, wie:

(420, 851, 949)
(660, 779, 1021)
(369, 800, 881)
(481, 600, 769) , die man in die Konstruktion einzeichnen kann.

Deine aufgestellten Gleichungen entsprechen dem Gleichungssystem aus "Casey's-Theorem", womit man schon einen guten Schritt in Richtung des gewünschten Ziels kommt. In den Theorem kondensiert sich das Gleichungssystem dann noch in eine Gleichung zur Berechnung der Quadratseitenlänge a aus den vier Außenradien R1, R2, R3, R4. (siehe Gl.19 der Anlage) - Hier muss man dann aber aufpassen, wenn Zähler und Nenner zugleich zu Null werden!!! Das sind genau die von dir angesprochenen symmetrischen Konstellationen, wenn z.B. R1=R2 und R3=R4 sind. Auch diese Lösungen muss man abklappern bzgl. den gestellten Forderungen.

Und damit sich der Kreis wieder schließt, so zeigt die Lösung für R5=525 auch auf einen weiteren Verweis aus dem Text, da im Jahr 1497 (vor 525 Jahren) Vasco da Gama das „Kap der guten Hoffnung“ umsegelte. Das haben die Außerirdischen natürlich mit berücksichtigt Augenzwinkern

Gruß
Conny.

26.08.2022, 21:14

HAL 9000

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Ich hatte auch noch $\begin{eqnarray*} r_1=r_2=256,r_3=r_4=504,r_5=550 \end{eqnarray*}$ als ganzzahlige Lösung gefunden, aber da schneiden sich ja die Kreise 3 und 4.

26.08.2022, 22:18

Conny_1729

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Diese zweite Lösung hat mein Rechenknecht auch ausgespuckt, die ich glücklicherweise durch die Schnitt-Bedingung entfernen konnte. Dann wird es anscheinend keine weiteren Lösungskandidaten geben.

Jetzt könnte man sich natürlich die Frage stellen, ob man die Aufgabenstellung auch umdrehen könnte, wenn man sagt:

Es gibt ein Kreis K5 mit Radius R5=525, den man in einem Quadrat 2000x2000 beliebig verschieben kann. Die äußeren tangential anliegenden Kreise mit R1…R4 haben weiterhin alle ganzzahlig zu sein (wobei die Summenaussage R1+R2+R3+R4=1520 generell nicht gelten muss!) und sie dürfen sich gegenseitig nicht schneiden. Führt das dann auch zu dieser eindeutigen Lösung???

Das habe ich leider nicht geprüft und das überlasse ich dann auch lieber den richtigen Profis. Augenzwinkern

Gruß
Conny

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