Abstand von Parallelen

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26.08.2022, 11:48

Phenix

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Abstand von Parallelen

Welchen Abstand haben die Punkte A[f] und A[g]
auf f(x) = mx + b[f] bzw. g(x) = mx + b[g]?

26.08.2022, 12:17

Finn_

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Zeichnung.

Edit (mY+):

Zur Sicherheit lieber das Bild, denn der Link könnte ablaufen.

[attach]55835[/attach]

26.08.2022, 12:45

Leopold

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$\begin{align*} f: \ y = mx + b_f \ \ \Leftrightarrow \ \ mx - y + b_f = 0 \ \ \Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{1+m^2}} \left| mx - y + b_f \right| = 0 \end{align*}$

Die letzte Gleichung ist die Hessesche Normalform der Geraden von $\begin{align*} f \end{align*}$ . Man kann nun den Punkt der Geraden von $\begin{align*} g \end{align*}$ mit $\begin{align*} x=0, y=b_g \end{align*}$ einsetzen. Der gesuchte Abstand ist daher

$\begin{align*} d = \frac{\left| b_f - b_g \right|}{\sqrt{1+m^2}} \end{align*}$

26.08.2022, 14:21

Phenix

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LÖSUNG

d = (b[f] - b[g]) (cos (90° - arctan(1/m)))

Beispiel von Finn:
Abstand = (6sqrt(5))/5

26.08.2022, 14:26

Phenix

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@Leopold

Danke … Super Formel!

26.08.2022, 14:29

HAL 9000

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Zitat:

Original von Phenix
A(f)A(g) = (b[f] - b[g] (cos (90° - arctan(1/m)))

Die falsche Klammersetzung macht diese Gleichung in allen Fällen $\begin{eqnarray*} b[f]\neq 0 \end{eqnarray*}$ falsch. Symbolik A(f)A(g) macht übrigens wenig Sinn.

Selbst nach diesbezüglicher Korrektur (b[f] - b[g]) (cos (90° - arctan(1/m)) ist das für $\begin{eqnarray*} m=0 \end{eqnarray*}$ unbrauchbar. Da ist die winkelfunktionsfreie, und generell viel einfachere Darstellung von Leopold vorzuziehen.

26.08.2022, 14:38

Steffen Bühler

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Lässt sich aber schnell überführen, denn

$\begin{eqnarray*} \sin x = \cos (90°-x) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \arctan x = \arcsin \frac x {\sqrt {1+x^2}} \end{eqnarray*}$

26.08.2022, 14:45

HAL 9000

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Zitat:

Original von Steffen Bühler
Lässt sich aber schnell überführen

Du redest jetzt aber nicht von Phenix' Originalformel (b[f] - b[g] (cos (90° - arctan(1/m))) ?

26.08.2022, 14:52

Phenix

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m = 0 ist ausgeschlossen.

Ich habe inzwischen bemerkt, dass Leopolds Super-Formel aus meiner Formel abgeleitet werden kann.

26.08.2022, 14:59

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von HAL 9000
Du redest jetzt aber nicht von Phenix' Originalformel

Nein, von Deiner Korrektur, die er wohl auch so gemeint haben wird.

26.08.2022, 15:02

Phenix

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Doch A(f) und A(g) machen Sinn, weil die Punkte A auf f(x) und g(x) liegen müssen …

26.08.2022, 15:14

Phenix

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cos (90° - arctan(1/m)) = 1/(sqrt(1 + m^2))

26.08.2022, 15:23

HAL 9000

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Fügt sich dennoch nicht in die üblichen Bezeichnungsschemata ein: Wenn $\begin{eqnarray*} A_{[f]} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} A_{[g]} \end{eqnarray*}$ die oben eingezeichneten Punkte kennzeichenen, dann ist $\begin{eqnarray*} A_{[f]}A_{[g]} \end{eqnarray*}$ zwar ihre Verbindungsstrecke, hier geht es aber um deren Länge, da sollte man dann doch schon $\begin{eqnarray*} \left|A_{[f]}A_{[g]}\right] \end{eqnarray*}$ schreiben. Außerdem fehlen nach wie vor die Beträge in der Formel rechts, so wie sie bei Leopold auch da stehen.

Du bist es doch, der immer so auf Exaktheit pocht, z.B. das Fehlen von "LE" anmeckert. An diesem Anspruch musst du dich schon messen lassen.

Zitat:

Original von Phenix
Welchen Abstand haben die Punkte A[f] und A[g]
auf f(x) = mx + b[f] bzw. g(x) = mx + b[g]?

Böswillig könnte man diesen deinen Eröffnungsbeitrag übrigens auch so deuten, dass $\begin{eqnarray*} A_{[f]} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A_{[g]} \end{eqnarray*}$ irgendwelche Punkte auf diesen Geraden sind: Dass die Verbindungsstrecke senkrecht auf den Geraden steht oder dass das eine minimal lange Verbindungsstrecke zwischen zwei Punkten auf den Geraden sein soll, davon ist im Text keine Rede, sondern wird lediglich durch das Bild suggeriert.

26.08.2022, 15:32

Phenix

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@HAL9000
Ja, ich liebe diese kompromisslose Exaktheit in der Mathematik, der ich mich allerdings nur sehr langsam annähere, aber ich schätze jede respektvolle Kritik, die mich diesem Ziel etwas näher bringt …

26.08.2022, 15:34

Phenix

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Ich denke meine Abbildung und der Aufgabentext ergänzen sich, so dass jeder erkennt, was gemeint ist.

26.08.2022, 15:43

HAL 9000

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Wenn du das "Abstand der Parallelen" aus der Überschrift adequat in den Problemtext - oder auch in die Skizze (Kenntlichmachung der rechten Winkel) - überführt hättest, könnte ich dir zustimmen. So aber nicht, es fehlt echt was.

Aber es ist immer dasselbe mit dir: Immer noch einen Ausweg / eine Ausrede suchen, mit der du am Ende doch "Recht" zu haben glaubst. Statt einfach mal zuzugeben: Ja Ok, das war nicht genau genug.

P.S.: Zugegeben, es gibt schon Fortschritte - im Vergleich zu diesem Misthaufen war das hier schon gar nicht so übel.

26.08.2022, 16:01

Phenix

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Du liest meine Kommentare nicht vorurteilsfrei durch, denn sonst würdest du erkennen, dass ich mein größter Kritiker bin und wenn du das ebenso bei dir handhaben würdest, ein dauerhaft respektvoller Umgang möglich wäre …
Es ist alles gesagt und ich bedanke mich bei Leopold, durch den ich wieder viel gelernt habe …

Ich wünsche ein schönes Wochenende!

26.08.2022, 16:42

Elvis

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Könntest du bitte deine Signatur ändern? Die ist historisch und logisch so falsch, dass es weh tut.

26.08.2022, 16:45

HAL 9000

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Gewiss habe ich ein Urteil über dich - aber es ist kein Vorurteil, sondern durch einige Threads und dein Benehmen darin wohlbegründet. Und dass du "dein größter Kritiker" bist, verbuche ich mal als kleine Lachnummer am Ende der Arbeitswoche.

26.08.2022, 17:56

Leopold

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Es geht auch elementar. Man entnehme das Nötige der Zeichnung:

[attach]55836[/attach]

$\begin{align*} d^2 + a^2 = \left| b_f - b_g \right|^2 \end{align*}$

$\begin{align*} 1 + \left( \frac{a}{d} \right)^2 = \frac{\left| b_f - b_g \right|^2}{d^2} \end{align*}$

$\begin{align*} 1 + m^2 = \frac{\left| b_f - b_g \right|^2}{d^2} \end{align*}$

$\begin{align*} d^2 = \frac{\left| b_f - b_g \right|^2}{1 + m^2} \end{align*}$

$\begin{align*} d = \frac{\left| b_f - b_g \right|}{\sqrt{1 + m^2}} \end{align*}$

26.08.2022, 18:17

Finn_

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Der Vektor $\begin{eqnarray*} v=\begin{pmatrix}1 \\ m\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ zeigt in dieselbe Richtung wie die beiden Geraden.

Die Geraden werden senkrecht um $\begin{eqnarray*} -b_f \end{eqnarray*}$ verschoben, so dass die Gerade zu $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ durch den Ursprung verläuft. Die neue Gleichung der Geraden zu $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} x\mapsto mx+b_g-b_f. \end{eqnarray*}$ Auf ihr liegt der Punkt $\begin{eqnarray*} p=(0,b_g-b_f). \end{eqnarray*}$ Es bezeichne $\begin{eqnarray*} P_v(p) \end{eqnarray*}$ die orthogonale Projektion von $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ auf die Ursprungsgerade mit Richtung $\begin{eqnarray*} v. \end{eqnarray*}$ Diese Gerade stimmt mit der zu $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ überein. Der gesuchte Abstand ist Betrag der Verschiebung, die $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ durch die Projektion erfährt. Es findet sich

$\begin{eqnarray*} |P_v(p)-p| = |\frac{\langle p,v\rangle}{\langle v,v\rangle}v-p| = \left|\frac{(b_g-b_f)m}{1+m^2}\begin{pmatrix}1 \\ m\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}0 \\ b_g-b_f\end{pmatrix}\right| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{|b_g-b_f|}{1+m^2}\left|\begin{pmatrix}m \\ m^2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0 \\ 1+m^2\end{pmatrix}\right| = \frac{|b_g-b_f|}{1+m^2}\sqrt{m^2+1} = \frac{|b_g-b_f|}{\sqrt{1+m^2}}. \end{eqnarray*}$

26.08.2022, 19:41

Phenix

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Danke Leopold und Finn für diese eleganten Herleitungen …

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