Transitivity of implication Beweis

26.08.2022, 18:37	mqw	Auf diesen Beitrag antworten »
Transitivity of implication Beweis Falls ich hier falsch bin, gerne verschieben. Bei mir fängt nächste Woche das (Fern-)Studium an und ich versuche schonmal die Lernmaterialien für die erste Woche zu bearbeiten. Es geht darum, die „Transitivity of implication“ ( $\begin{eqnarray} (A\Rightarrow B) \wedge (B\Rightarrow C)) \Leftrightarrow (A\Rightarrow C) \end{eqnarray}$ ) mittels Äquivalenzumformungen zu beweisen. Intuitiv leuchtet mir die Regel ein, den Beweis mittels Wahrheitstafel kann ich ebenfalls erbringen. Bei den Äquivalenzumformungen mache ich allerdings ein grosses Durcheinander. Ich vermute, dass ich das Distributivgesetz hier falsch anwende (bzw. bei meiner Beweisidee auf dem Holzweg bin). Folgendes habe ich mir überlegt: Das Distributivgesetz besagt gemäss Skript, dass $\begin{eqnarray} A\wedge (B\vee C) \Leftrightarrow (A\vee B) \wedge (A\vee C) \end{eqnarray}$ entspricht. Ebenfalls ist $\begin{eqnarray} A \rightarrow B \end{eqnarray}$ als $\begin{eqnarray} B\vee (\neg A) \end{eqnarray}$ . Auch das leuchtet ein. Wenn ich diese zwei Vorüberlegungen verbinde, dann forme ich die linke Seite der Äquivalenz $\begin{eqnarray} (A\Rightarrow B) \wedge (B\Rightarrow C)) \Leftrightarrow (A\Rightarrow C) \end{eqnarray}$ zu $\begin{eqnarray} ((\neg A) \vee B) \wedge ((\not B \vee C) \end{eqnarray}$ . Und jetzt bekomme ich ein Problem mit dem Distributivgesetz. $\begin{eqnarray} ((\neg A) \vee B) \wedge ((\not B \vee C) \Leftrightarrow ((\neg A) \vee B) \wedge (\neg B)) \vee ((\neg A) \vee B) \wedge C) \Leftrightarrow (((\neg A) \wedge B) \vee (B \wedge (\neg B)) \vee (((\neg A) \wedge C) \vee ((\neg A) \wedge B)) \end{eqnarray}$ Hier hänge ich. $\begin{eqnarray} (B\wedge (\neg B)) \end{eqnarray}$ ist offensichtlich falsch und fällt raus. $\begin{eqnarray} ((\neg A) \wedge B) \end{eqnarray}$ ist doppelt vorhanden, ich vermute da kann ich eines rausstreichen, ohne Inhalt zu verlieren. Somit bekomme ich $\begin{eqnarray} ((\neg A) \wedge B) \vee ((\neg A) \wedge C)) \end{eqnarray}$ . Wie weiter? Wenn ich „unendlich“ weiter das Distributivgesetz anwende, drehe ich mich im Kreis. Ich vermute, irgendwo habe ich in diesem Ansatz einen (Denk-)Verständnisfehler. Vielen Dank für die Unterstützung im Voraus.
26.08.2022, 18:49	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Die vorgelegte Formel ist keine Tautologie, da sie in der Belegung A=0, B=1, C=0 nicht erfüllt ist. (0=falsch; 1=wahr) Gemeint ist wohl $\begin{eqnarray} (A\Rightarrow B)\land (B\Rightarrow C)\Rightarrow (A\Rightarrow C). \end{eqnarray}$
26.08.2022, 19:29	mqw	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt, du hast Recht. Sorry, habe irgendwann vor lauter Herumprobieren wohl den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr gesehen. Hoffe, der Ursprungspost ist nicht voller solcher dummer Tippfehler.

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