Stellenwert von Zahlen

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27.08.2022, 08:25

Phenix

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Stellenwert von Zahlen

Wieviele Stellenwerte hat die Zahl:

$\begin{eqnarray*} 125^{100} \end{eqnarray*}$

27.08.2022, 08:34

Leopold

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Vermutlich ist die Stellenanzahl gemeint:

$\begin{align*} \color{red} 125 \color{black} + \color{blue} 100 \color{black} - \color{red} (1+2) \cdot 5 \color{black} - \color{blue} (1+0) \cdot 0 \end{align*}$

27.08.2022, 08:52

Phenix

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@Leopold

Stellenwerte = Stellenanzahl

z.B. 1000 000 = 7 Stellen

27.08.2022, 09:55

HAL 9000

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Immer wieder interessant, wie Phenix geduldig die Aufgabenstellungen erklärt zu Zeitpunkten, wenn die Lösung schon längst da steht. Big Laugh

27.08.2022, 10:57

uThomas

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Zitat:

Original von Leopold
Vermutlich ist die Stellenanzahl gemeint:

$\begin{align*} \color{red} 125 \color{black} + \color{blue} 100 \color{black} - \color{red} (1+2) \cdot 5 \color{black} - \color{blue} (1+0) \cdot 0 \end{align*}$

Ich kapiere überhaupt nichts. Ist die Formel ein Scheeerz?

27.08.2022, 11:05

HAL 9000

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Vielleicht will Leopold auf eine Gesetzmäßigkeit hinweisen - vielleicht auch nicht. Jeder kritische Leser wird sich einen Reim drauf machen können. smile

27.08.2022, 11:14

Leopold

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Zitat:

Original von uThomas
Ich kapiere überhaupt nichts. Ist die Formel ein Scheeerz?

Alter Kalauer:

Wie berechnest du sieben mal sieben? - Ganz einfach, fünf mal zehn minus eins.

27.08.2022, 12:11

Finn_

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Unter Bemühung des Zehnerlogarithmus und der floor-Funktion lässt sich die Stellenanzahl mit der Funktion $\begin{eqnarray*} n\mapsto 1+\lfloor\lg n\rfloor \end{eqnarray*}$ berechnen.

Beweisskizze. Nehmen wir mal die größte dreistellige Zahl und klammern 1000 aus:

$\begin{eqnarray*} 999 = 1000\cdot\frac{999}{1000}. \end{eqnarray*}$

Logarithmiert man dies zur Basis 10, ergibt sich

$\begin{eqnarray*} \lg 999 = \lg 1000 + \lg\frac{999}{1000} = 3 -0.00043{\ldots} \end{eqnarray*}$

und per floor-Funktion somit $\begin{eqnarray*} 1+\lfloor\lg 999\rfloor = 1+2 = 3. \end{eqnarray*}$

Diese Vorgehensweise nun mit der kleinsten dreistelligen Zahl:

$\begin{eqnarray*} \lg 100 = \lg 1000 + \lg\frac{100}{1000} = 3 - 1 = 2, \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1+\lfloor\lg 100\rfloor = 1+2 = 3. \end{eqnarray*}$

Für die Zahlen zwischen 100 und 999 erhält man aufgrund der Monotonie von lg ebenfalls 3 als Ergebnis.

27.08.2022, 12:49

mYthos

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Zitat:

Original von Leopold
...
[I]Wie berechnest du sieben mal sieben? ...

= Feiner Sand.

mY+

27.08.2022, 12:53

mYthos

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Zitat:

Original von Phenix
...
Stellenwerte = Stellenanzahl
...

"Stellenwerte" ist ein unüblicher - wenn nicht sogar falscher - Ausdruck.
Es gibt höchstens einen Stellenwert (!)

Es kennzeichnet Phenix, dass er/sie auf jeden Fall auf eine einmal getätigte Behauptung beharrt, auch wenn sie sich als falsch herausstellt.

mY+

27.08.2022, 14:33

Phenix

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LÖSUNG

Ich habe die Frage nach den Stellen ganz einfach so gelöst:

$\begin{eqnarray*} 125^{100} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} 10^{x} \end{eqnarray*}$

x = 300 (aufgerundet)

Die Zahl hat 300 Stellen.

27.08.2022, 14:59

mYthos

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Zitat:

Original von Phenix
...

$\begin{eqnarray*} 125^{100} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} 10^{x} \end{eqnarray*}$

x = 300 (aufgerundet)

Die Zahl hat 300 Stellen.

Das kann nicht stimmen, 300 ist nicht annähernd die Lösung dieser Exponentialgleichung.
Dein Ansatz ist allerdings richtig, denn er beruht auf dem Aufbau der dekadischen Zahlen.

Daher - mit dem dekadischen Logarithmus gerechnet - ist

$\begin{eqnarray*} x = 100 \cdot \lg 125 = 209.69 \end{eqnarray*}$

Der dekadische Logarithmus der gesuchten Zahl ist demnach 0.69 + 209

Zu der Charakteristik (209) musst du noch 1 addieren, um die Stellenanzahl zu erhalten.

mY+

27.08.2022, 15:05

IfindU

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Finn hat ja schon die exakte Lösung beschrieben.

Heuristisch kann man so daran gehen: $\begin{eqnarray*} 125^{100} = 5^{300} = \frac { 10^{300}}{2^{300}} \end{eqnarray*}$ . Jetzt ist $\begin{eqnarray*} 2^{300} = (1024)^{30} \approx 1000^{30} = 10^{90} \end{eqnarray*}$ . D.h. ganz grob ist $\begin{eqnarray*} 125^{100} \approx \frac { 10^{300}}{10^{90}} = 10^{210} \end{eqnarray*}$ und damit 211 Stellen. Wir wissen sogar, da $\begin{eqnarray*} 1024 > 1000 \end{eqnarray*}$ strikt kleiner ist, dass sie damit höchstens 210 Stellen hat.

Tatsächlich ist das auch die gesuchte Lösung. $\begin{eqnarray*} 2^{10} \approx 10^3 \end{eqnarray*}$ ist echt ganz gut smile

27.08.2022, 15:06

Malcang

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Zitat:

Original von Phenix
LÖSUNG

Ich habe die Frage nach den Stellen ganz einfach so gelöst:

$\begin{eqnarray*} 125^{100} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} 10^{x} \end{eqnarray*}$

x = 300 (aufgerundet)

Die Zahl hat 300 Stellen.

Und welchen Lösungsweg hast du bemüht?
Wolframalpha sagt, 210 Stellen.

27.08.2022, 15:08

Elvis

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300 ist ziemlich stark aufgerundet gleich 209+. Immerhin auf Hunderter genau.

27.08.2022, 15:21

mYthos

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Zitat:

Original von IfindU
Finn hat ja schon die exakte Lösung beschrieben.

...

... welche mir für den Schulbereich allerdings nicht so geeignet erscheint.
Ich darf doch wohl auch noch auf den Ansatz von Phenix eingehen?

-------------

Dazu muss man auch nicht WolframAlpha bemühen .. (@Malcang) Big Laugh

27.08.2022, 15:25

IfindU

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Zitat:

Original von mYthos

Zitat:

Original von IfindU
Finn hat ja schon die exakte Lösung beschrieben.

...

... welche mir für den Schulbereich allerdings nicht so geeignet erscheint.
Ich darf doch wohl auch noch auf den Ansatz von Phenix eingehen?

Mein Post war nicht auf dich bezogen und vor allem nicht als Kritik gedacht. Ich wollte nur meine approximative Lösung vorstellen.

27.08.2022, 15:31

mYthos

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Tut mir Leid, dann habe ich das falsch verstanden, es passt alles Augenzwinkern

27.08.2022, 16:01

HAL 9000

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Zitat:

Original von Elvis
300 ist ziemlich stark aufgerundet gleich 209+. Immerhin auf Hunderter genau.

Ja, sensationelle Leistung. Noch mutiger ist es, das "Lösung" zu nennen statt "Lösungsversuch".

27.08.2022, 17:17

Phenix

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Sorry …

125^100 = 10^x

x = 209,691

Sind natürlich 210 Stellen und nicht 300 … Wink

Aber der Weg ist das Ziel und mein Weg war super, oder?

27.08.2022, 18:47

klauss

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Zitat:

Original von Phenix
Aber der Weg ist das Ziel und mein Weg war super, oder?

Ich sehe von Dir gar keinen Weg, nur einen guten Ansatz gefolgt von einer vom Himmel gefallenen krass falschen Lösung.
Der Weg von IfindU war super.
Aber auch mit einer gröberen Abschätzung hättest Du x vorläufig schon zwischen 200 und 220 eingrenzen können.

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