kgV von rationalen Zahlen - Musikvisualisierung

27.08.2022, 19:07

Robert Matzke

kgV von rationalen Zahlen - Musikvisualisierung

Hallo liebe Matheboard-Community,
ich bin Grafikdesigner und beschäftige mich in einem Freizeitprojekt mit Musikvisualisierung - im Speziellen, wie man harmonische Strukturen grafisch darstellen kann.

Ich bin gerade an einer Fragestellung: Zu einem gegebenen Ton bzw. einer Frequenz alle anderen Frequenzen in ihrem Schwingungsverhältnis abzubilden. Da ist man schnell beim kleinsten gemeinsamen Vielfachen zweier Zahlen. Allerdings suche ich nach einer Lösung, die sich nicht nur auf ganze Zahlen bezieht sondern auch für rationale Zahlen eine Antwort gibt - also eine Abbildung die stufenlos die Verhältnisse darstellt.

Ich habe mich der Sache grafisch genähert: insbesondere mit logarithmischen Skalen, die ich wieder rum in einem logarithmischen Koordinatensystem verschoben habe. --> drei Bilder dazu im Anhang.

Bild1: Die zu verschiebende Gruppe sind die roten Punkte (horizontal nach links laufende Log-Skala). Diese Gruppe habe ich schrittweise und logarithmisch nach rechts und oben verschoben - dies entspricht den Obertönen der Ausgangsfrequenz.
Was kann man in dem Diagramm nun ablesen? Jeder Punkt zeigt zu einer Frequenz (x-Achse) wie viele Schwingungen dieser, mit vielfachen Schwingungen der Ausgangsfrequenz überein kommen.

Da auf jeder Frequenz mehrere (unendlich viele) Punkte liegen, gibt es Bild2 als Liniendarstellung. Das untere Ende markiert somit das kleinste Vielfache zur Ausgangsfrequenz.

Bild 3 zeigt informativ und ergänzend, wo die 12 Halbtöne liegen und die grünen Linien verbinden symmetrische Intervalle zur Ausgangsfrequenz.

Ich hoffe man konnte diesen Erklärungen und den Bildern halbwegs folgen. Meine Fragen an die Community wären:

- Habt Ihr das Diagramm (Bild 2) vielleicht schon mal in anderen Zusammenhängen gesehen? Ich finde es irgendwie spannenden - in sich selbst ähnlich wie bei Fraktalen.

- Ist es möglich für das Diagramm eine Funktionsgleichung aufzustellen? (die für jeden x-Wert den y-Wert berechnet)

- Gibt es grundsätzlich Funktionsgleichungen, die etwas total Unstetiges wie in diesem Beispiel abbilden können?

Ich freue mich auch über alle anderen Gedanken zu diesem Thema.

Viele Grüße,
Robert

29.08.2022, 13:11

Steffen Bühler

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RE: kgV von rationalen Zahlen - Musikvisualisierung
Willkommen im Matheboard!

Bis jetzt hat sich noch niemand rangewagt, ich mach mal den Anfang. Vielleicht können sich die "richtigen" Algebraiker anschließend weiter kümmern, es hört sich interessant an.

Dein zweites Bild zeigt, wenn ich es richtig verstehe, den Zähler des gekürzten Bruches, den die Zahl auf der x-Achse darstellt, an:

$\begin{eqnarray*} 1=\frac 11 \to 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1,5=\frac 32 \to 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1,\overline 3=\frac 43 \to 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1,25=\frac 54 \to 5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1,\overline 6=\frac 53 \to 5 \end{eqnarray*}$

Das sind die Linien, die rechts von der mit x bezeichneten Zahl 1 am weitesten herunterreichen.

Man müsste also eine Funktion finden, die zu einer beliebigen rationalen Zahl den "kleinsten Zähler" findet. Bei Matlab gibt es eine Funktion namens rat, aber ich hab mir die jetzt nicht genauer angeschaut. Man kann da sogar reelle Zahlen hineinstecken, wenn man die Genauigkeit mit angibt. So bekommt man $\begin{eqnarray*} \pi \approx \frac {355}{113} \to 355 \end{eqnarray*}$ bzw. bei höherer Genauigkeit $\begin{eqnarray*} \pi \approx \frac {104348}{33215} \to 104348 \end{eqnarray*}$ .

Deshalb wage ich zu behaupten, dass die Struktur, die momentan zu erkennen ist, von der "Genauigkeit" der x-Achse abhängt. Es ist denkbar, dass zwischen den momentan eingezeichneten Werten beliebig viele und beliebig große Werte liegen, so dass zum Schluss nur eine schwarze Fläche zu sehen ist.

Viele Grüße
Steffen

29.08.2022, 13:52

HAL 9000

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Die Überschrift "kgV von rationalen Zahlen" hatte mein Interesse geweckt, hab davon dann aber im eigentlichen Text nichts mehr gesehen - in den formulierten Fragen am Ende erst recht nicht. Dies zum meinen Gründen für das Schweigen.

29.08.2022, 15:13

Robert Matzke

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RE: kgV von rationalen Zahlen - Musikvisualisierung
Vielen Dank für die Antworten und das Feedback - schön, wenn das Thema doch interessiert.

Der Kern meiner Anfrage ist schon das Thema: Kleinster gemeinsamer Vielfacher von rationalen Zahlen. Grundsätzlich muss es den von zwei rationalen Zahlen immer geben, richtig?
Ich bin auf der Suche nach einer Gleichung (Funktion), die für eine gegebene Zahl, die kgV aller anderen Zahlen ausgibt. Dies würde ich dann gern als Diagramm darstellen. (ich vermute, dass es ähnlich zu meinen Abbildungen sein könnte - sprunghaft in allen Punkten)

29.08.2022, 15:20

Robert Matzke

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RE: kgV von rationalen Zahlen - Musikvisualisierung
Ich bin selbst noch dabei meine Diagramme zu durchsteigen (es sind eher Zufallsergebnisse)

Die Punktdarstellung ist auch interessant und bezieht sich auf kgV.
Wenn mich nicht alles täuscht, haben alle Punkte auf einer horizontalen Linie ein gemeinsames Vielfaches - und zwar den ganz rechten Punkt. Soweit die zu vergleichenden Punkte nicht schon auf einer Linie weiter unten sitzen, dann ist der ganz rechte Punkt der kgV.

Weiterhin kann man die Schwingungsverhältnisse von zwei (oder mehreren) Werten abzählen.

29.08.2022, 15:21

HAL 9000

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Zitat:

Original von Robert Matzke
Ich bin auf der Suche nach einer Gleichung (Funktion), die für eine gegebene Zahl, die kgV aller anderen Zahlen ausgibt.

Das ist es, was ich eben nicht verstehe: Was genau sind "alle anderen Zahlen" zu einer gegebenen Zahl? Ich sehe da viele Grafiken, werde in der Hinsicht aber nicht schlau aus denen.

Jedenfalls gibt es klare Definitionen, wie man zu einer gegebenen endlichen Menge von rationalen Zahlen den ggT bzw. das kgV berechnet.

29.08.2022, 15:35

Robert Matzke

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Ich hätte gern eine Gleichung mit der man einen Graphen in ein Koordinatensystem zeichnen kann (wie für eine quadratische oder exponentielle Gleichung)

okay, vielleicht habt ihr schon die Antwort auf meine Frage gegeben. Wir können uns mit der "Berechnung" von kgV und ggT in der Genauigkeit nur annähern, und keine Funktion aufstellen die einen kontinuierlichen, stufenlosen Funktionsgraphen zeichnet. "rat" - rational fraction approximation, spricht auch von einer Annäherung.

29.08.2022, 15:42

HAL 9000

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Ich versuche immer noch zu verstehen, von welchen Werten du das kgV (oder ob es überhaupt das kgV ist, was du meinst) bestimmen willst:

Womöglich von Oberwellen der gegebenen Frequenz, aber doch nicht von allen? Denn dann wäre die unbefriedigende Antwort einfach: Es gibt kein kgV bzw. es ist unendlich.

Oder geht es um das kgV endlich vieler Tonfrequenzen der chromatischen Tonleiter ? Hat auch nur Sinn bei der "reinen Stimmung" mit ihren rationalen Frequenzverhältnissen - bei der gleichstufigen Stimmung gibt es den kgV schlicht nicht, da dort die Frequenzverhältnissen $\begin{eqnarray*} 2^{\frac{k}{12}} \end{eqnarray*}$ i.d.R. irrational sind.

29.08.2022, 16:12

Robert Matzke

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Ich suche nach einem Maß für zwei willkürliche Frequenzen, das angibt, wie harmonisch oder disharmonisch sie zueinander sind. Dafür geeignet ist der kgV der Frequenzen oder besser Wellenlängen. Der kgV ist die (Wellen-)Länge, wo beide Schwingungen wieder übereinander kommen (wieder gleichzeitig Null durchlaufen). Je kleiner der kgV desto harmonischer beide Töne zueinander. Je größer kgV desto disharmonischer. Und besonders große kgV sind wiederum Schwebungen die man hört, wenn Töne leicht zueinander verstimmt sind.

Ich möchte grafisch darstellen, wie sich die anderen Frequenzen zu einer gegeben Frequenz verhalten. Wo sitzen Töne mit vergleichbaren harmonischen Eigenschaften.

29.08.2022, 16:24

HAL 9000

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Also kgV von zwei Frequenzen, das ist doch mal ein Wort, das ich so deutlich oben nirgendwo rauslesen konnte:

Für zwei rationale Frequenzen $\begin{eqnarray*} f_1 = \frac{p_1}{q_1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_2 = \frac{p_2}{q_2} \end{eqnarray*}$ mit ganzen Zahlen $\begin{eqnarray*} p_1,q_1,p_2,q_2 \end{eqnarray*}$ bildet man zunächst den $\begin{eqnarray*} k=\operatorname{kgV}(p_1,p_2) \end{eqnarray*}$ und "erweitert" die gegebenen Brüche, so dass man $\begin{eqnarray*} f_1 = \frac{k}{r_1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_2 = \frac{k}{r_2} \end{eqnarray*}$ mit den ganzen Zahlen $\begin{eqnarray*} r_1=q_1\cdot \frac{k}{p_1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r_2=q_2\cdot \frac{k}{p_2} \end{eqnarray*}$ bekommt. In einem zweiten Schritt berechnet man $\begin{eqnarray*} g=\operatorname{ggT}(r_1,r_2) \end{eqnarray*}$ .

Dann ist $\begin{eqnarray*} \frac{k}{g} \end{eqnarray*}$ das kgV der beiden rationalen Zahlen $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_2 \end{eqnarray*}$ , d.h., die kleinste rationale Zahl, die sowohl ganzzahliges Vielfaches von $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} f_2 \end{eqnarray*}$ ist. (*)

Speziell bedeutet das für $\begin{eqnarray*} f_2 = \frac{u}{v}\cdot f_1 \end{eqnarray*}$ mit teilerfremden (!) ganzen Zahlen $\begin{eqnarray*} u,v \end{eqnarray*}$ , dass dann $\begin{eqnarray*} \operatorname{kgV}(f_1,f_2) = u\cdot f_1 = v\cdot f_2 \end{eqnarray*}$ ist. Wenn ich mir es recht überlege, ist das eigentlich die einfachere Berechnungsmethode als (*), die ich mir für auch mehr als zwei Werte überlegt hatte. Augenzwinkern

Beispiel aus der chromatischen Tonleiter der reinen Stimmung:

$\begin{eqnarray*} f_1 = 371.25~Hz \end{eqnarray*}$ für "fis" und $\begin{eqnarray*} f_2 = 475.2~Hz \end{eqnarray*}$ für "b" ergibt $\begin{eqnarray*} \frac{f_2}{f_1} = \frac{32}{25} \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} \operatorname{kgV}(f_1,f_2) = 32\cdot 371.25~Hz = 25\cdot 475.2~Hz = 11880~Hz \end{eqnarray*}$ .

30.08.2022, 15:03

Steffen Bühler

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Mit der dank HAL nun gefundenen Funktion kann man für die Frequenzen innerhalb einer Oktave herausfinden, wie konsonant bzw. dissonant sie zur Prime sind. Mit $\begin{eqnarray*} f_1 = \frac{p_1}{q_1}=\frac 11 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} f_2 = \frac{p_2}{q_2}=\frac i{1000} , i=1000 \dots 2000 \end{eqnarray*}$ ergeben sich mit dem beschriebenen Algorithmus die gesuchten kgVs. In der Grafik habe ich diejenigen, die kleiner als 49 sind, eingezeichnet:

[attach]55882[/attach]

Die Horizontalachse ist hier mit der gleichschwebenden, nicht mit der reinen Stimmung skaliert. Es sind also nur Prime (1) und Oktave (2) identisch mit der reinen Stimmung. Die Quinte (3) ist recht nah dran, aber alle anderen sind die bekannten Kompromisse, die beim Klavier eingegangen werden müssen. So kann man sich aber wenigstens etwas orientieren, falls die chromatische Tonleiter bekannt ist.

Zu erkennen sind zunächst die Quarte (4), die große Terz und die große Sexte (beide 5) sowie die kleine Terz (6).

Allgemein wird ja behauptet, dass Dissonanzen durch kgVs größer 6 gekennzeichnet sind. Das würde hier für den Tritonus (7) zutreffen, wobei ich den eigentlich recht angenehm finde.

Definitiv dissonant sind dann allerdings die große Sekunde und die kleine Septime (beide 9), noch schlimmer die kleine Sekunde (11) und die große Septime (15).

Interessant finde ich übrigens die 11 zwischen kleiner und großer Terz. Das könnte eine von den berühmten blue notes sein, wer weiß.

EDIT:
Die Aufteilung auf Tausendstel ist ungünstig, weil so z.B. $\begin{eqnarray*} \frac 43 \approx \frac {1333}{1000} \end{eqnarray*}$ nicht zur erwarteten 4 führt. Daher habe ich das Ganze noch einmal mit 600 statt 1000 Stützstellen durchgeführt, also $\begin{eqnarray*} f_2 = \frac{p_2}{q_2}=\frac i{600} , i=600 \dots 1200 \end{eqnarray*}$ . 600 ist als Nenner eben weitaus angenehmer, gerade bei Dritteln.

Sieh da: nun sind einige weitere Werte hinzugekommen, insbesondere die korrekte 16 für die kleine Sekunde. Dafür ist die angebliche blue note verschwunden. Insgesamt ist das Ergebnis jedenfalls recht hübsch geworden:
[attach]55888[/attach]

Viele Grüße
Steffen

30.08.2022, 15:22

HAL 9000

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Bei dieser musikalischen Fachsimpelei kann ich Stümper nicht mehr mithalten. Zum Glück für dich, Robert, ist Steffen da hervorragend gerüstet. Augenzwinkern

31.08.2022, 23:29

Robert Matzke

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Ganz Herzlichen Dank für eure Beiträge. Da ich die Tage viel um die Ohren habe, komme ich erst am Wochenende dazu, im Detail durch eure Antworten zu gehen.
@HAL Danke für den Lösungsweg. Wie ich es verstehe, muss man die kgV jeweils einzeln mit den Brüchen berechnen. (auf eine Gleichung lässt sich das nicht runter brechen) Wenn man bspw. mit Dezimalzahlen hantiert, muss man die Zehnerpotenz der Kommastellen im Nenner erweitern(?)

@Steffen. Deine Grafik will ich unbedingt mit meiner übereinander legen. Und überhaupt noch mal schauen, wie "meine" logarithmische Grafik mit den kgV zusammenhängt.

Bei meinem Projekt geht es darum, wie man ein FFT-Spektrum bzgl. der harmonischen Beziehungen analysieren kann. (in den FF-Bändern steckt ja auch schon viel der harmonischen Reihe drin) Wenn da noch Interesse besteht, würde ich das gern mit euch noch vertiefen (Steffen?)

Herzliche Grüße, Robert

01.09.2022, 09:10

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Robert Matzke
Bei meinem Projekt geht es darum, wie man ein FFT-Spektrum bzgl. der harmonischen Beziehungen analysieren kann.

Am einfachsten natürlich direkt im Spektrum mit einem Harmonischen-Cursor. Den setzt Du auf einen Peak und schaust, ob Cursoren, die bei ganzzahligen Vielfachen sitzen, ebenfalls auf Peaks liegen. Dann kannst Du meistens davon ausgehen, dass es sich hier um eine einzige Schwingungskomponente handelt, die nicht rein sinusförmig ist.

In der Getriebeschwingungsdiagnose untersucht man wiederum spezielle Schäden, die im Spektrum zu mehreren Frequenzkämmen an verschiedenen Positionen mit jeweils unterschiedlichen Abständen führen. Um die schnell herauszusieben, behandelt man das Spektrum, als ob es ein Zeitsignal wäre, und transformiert es einfach noch mal. Das entstandene "Cepstrum" zeigt dann mit einem relativ großen Peak an, dass solche äquidistanten Peaks vorhanden sind.

Zitat:

Original von Robert Matzke
Wenn da noch Interesse besteht, würde ich das gern mit euch noch vertiefen (Steffen?)

Aber immer doch.

01.09.2022, 09:32

HAL 9000

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Zitat:

Original von Robert Matzke
Wenn man bspw. mit Dezimalzahlen hantiert, muss man die Zehnerpotenz der Kommastellen im Nenner erweitern(?)

So in etwa. Aber aus deinen Worten schwingt etwas heraus, was mich dazu bringt nochmal ausdrücklich folgende Warnung auszusprechen:

Dieser kgV ist ungeeignet für zwei reelle Zahlen, die in einem irrationalen Verhältnis stehen (wie es beispielsweise bei der gleichstufigen Stimmung der Fall ist) Jede rationale Näherung führt zu einem anderen kgV, also einer inakzeptablen Beliebigkeit. D.h., der kgV ist kein stetiger Operator auf den reellen Zahlen. Falls du sowas suchst, musst du dir was anderes überlegen.

02.09.2022, 10:11

Robert Matzke

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Zitat:

Original von Steffen Bühler
Am einfachsten natürlich direkt im Spektrum mit einem Harmonischen-Cursor. Den setzt Du auf einen Peak und schaust, ob Cursoren, die bei ganzzahligen Vielfachen sitzen, ebenfalls auf Peaks liegen. Dann kannst Du meistens davon ausgehen, dass es sich hier um eine einzige Schwingungskomponente handelt, die nicht rein sinusförmig ist.

Vor einiger Zeit hatte ich mal eine Darstellung der FFT-Bänder die den nahe kommt. Eigentlich simpel: Ein Raster, für jedes Band eine Zeile in der die ganzzahligen vielfachen nacheinander aufgereiht sind. (die jeweiligen Pegel als Helligkeitswert dargestellt)

Hier mal drei Beispiele mit verschiedener Musik. Hab das Raster noch in die vier Quartanten gespiegelt, dadurch werden die Muster die entstehen noch augenfälliger.

youtu.be/w5knkUREBlY

youtu.be/JT7OtRy3Drg

youtu.be/BHuSlPMYfqU

Ich weiß auch nicht ob die Strukturen nur Artefakte sind, bzw. sich eher willkürlich auf die Grundresonanz der FFT-Messung beziehen.
War auch nur ein erster Schritt. Ich suche auch mehr nach visuellen Entsprechungen als nach genauen Messungen - trotzdem sollen die Darstellungen das gehörte richtig wieder geben.

@ Steffen: Bist du professionell im Bereich Audio-/Signal-Verarbeitung unterwegs?

02.09.2022, 14:13

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Robert Matzke
Vor einiger Zeit hatte ich mal eine Darstellung der FFT-Bänder die den nahe kommt.

Was sind FFT-Bänder? Eine FFT ergibt zunächst nur Linien, z.B. im Abstand 10 Hz. Ich kenne dann die Zusammenfassung verschiedener FFT-Linien zu einem Oktav- bzw. Terzband. Meinst Du sowas?

Zitat:

Original von Robert Matzke
Ein Raster, für jedes Band eine Zeile in der die ganzzahligen vielfachen nacheinander aufgereiht sind. (die jeweiligen Pegel als Helligkeitswert dargestellt)

Ich hab mir mal die Videos kurz angeschaut. Ganz schlau werde ich immer noch nicht daraus. Die mittlere Pixelzeile zeigt also die Amplitudenwerte (oder Pegel, also logarithmisch?) eines Spektrums als Grauwerte, oder? Aber was enthalten dann die Zeilen darüber für Informationen? Das Spiegeln in die anderen Quadranten macht das Ganze eher noch verwirrender.

Zitat:

Original von Robert Matzke
Bist du professionell im Bereich Audio-/Signal-Verarbeitung unterwegs?

War ich mal vor 25 Jahren.

02.09.2022, 19:56

Robert Matzke

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Genau, mit der Fourier-Transformation wird das Audiosignal in das Spektrum der beteiligten Frequenzen aufgeteilt. Allerdings nicht in einzelne Frequenzen, sondern in gleichmäßige Abschnitte - bspw. von 10 Hz. Diese Abschnitte meine ich mit den Bändern: 1. Band 0 bis 10 Hz, 2. Band 10 bis 20 Hz, 3. Band 20 bis 30 Hz ... Eine Schwingung von 15 Hz würde sich mit im Signalwert des 2. Bands abbilden (zusammen mit allen anderen Schwingungen zwischen 10 bis 20 Hz).

Das spannende und zugleich das Dilemma bei Tonhöhen ist, dass man sie logarithmisch und nicht linear wahrnimmt. Eine Oktave ist die Verdopplung der Frequenz (10 Hz - 20Hz - 40 Hz -80 Hz). Das 2. FFT-Band hat noch den Umfang einer ganzen Oktave, das Dritte den Umfang einer Quinte, das Vierte einer Quarte - je höher das FFT-Band, desto genauer bildet es die wahrgenommene Tonhöhe ab.

Zugleich ist die lineare Aufteilung der Fourier-Transformation selbst eine harmonische Reihe, da ja Frequenz Schwingung pro Zeit sind - im 10 Hz-Bps: 1/10, 1/20, 1/30, 1/40 ...
Wenn man die Signale in höheren Bändern analysiert, kann man dann auch harmonische Reihen bilden, indem man auf die Vielfachen des Bandes schaut. Ich glaube das meintest du mit Oktav- und Terzband.

Meinen Videobeispielen (aus dem letzten Jahr) lag ein simples Raster zugrunde, dass das oben Beschriebene aufgreift. In jeder Zeile sind nacheinander die Vielfachen (Bänder) für jedes Frequenzband aufgereiht. Da das Raster eine gewisse Symmetrie besitzt, gilt das Gleiche für die Spalten. Bild 1 zeigt das exemplarisch (dort sind die Vielfachen von 12 (bis 120) farblich markiert). In meinen Videos werden die Reihen immer kürzer, weil die Anzahl der Bänder begrenzt ist (in der ersten Zeile sind alle Bänder, in der 2. Zeile nur jedes zweite ...)
Bild 2 zeigt ein kleines Programm, mit dem ich Vielfache in diesem Raster markiere. Interessant, welche Muster da zum Teil entstehen. Und bei den "Musikvideos" entstehen auch interessante Muster. Das war das erste Mal bei meinen Versuchen, dass aus dem Audiosignal eine visuelle Struktur heraus kam.

Um auf das Mathematische zurück zukommen - Ich vermute allerdings eine gewisse Willkürlichkeit in der Darstellung, da einige Zahlen (mit vielen Teilern) häufig vorkommen und andere Zahlen (Primzahlenvielfache) recht wenig. Eine Frequenz von 11 Hz hat aber erstmal die gleiche musikalische Berechtigung wie 12 Hz. Ganz abgesehen von allen nicht ganzzahligen Schwingungen und der Unschärfe in der Fourier-Transformation. Deswegen denke ich gerade in andere Richtungen ...

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