Kurze Kurven

Neue Frage »

Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
Kurze Kurven
Man zeichne in ein Quadrat mit der Seitenlänge eine oder mehrere Kurven derart ein, dass jede Gerade, die das Quadrat schneidet, auch mindestens eine der Kurven schneidet. Präziser: Jede Gerade, die mindestens einen Punkt mit dem Quadrat gemeinsam hat, muss auch mindestens einen Punkt mit mindestens einer der Kurven gemeinsam haben.

Das ist einfach. Man kann z. B. den gesamten Rand des Quadrats als Kurve nehmen. Es reichen aber auch schon Seiten.

[attach]55859[/attach]

Man finde Lösungen mit möglichst kleiner Gesamtlänge der Kurven.

ist leicht zu schlagen. Es ist nicht verlangt, eine Lösung mit dem kleinsten möglichen zu finden. Wer aber glaubt, eine solche gefunden zu haben, darf und soll das gerne sagen. Wenn er es beweisen kann, darf und soll er auch das tun.
willyengland Auf diesen Beitrag antworten »

Vom Gefühl her würde ich sowas vorschlagen:

[attach]55860[/attach]
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du das konkretisieren und das zugehörige angeben, damit andere wissen, was es zu schlagen gilt.
Conny_1729 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurze Kurven
Ist es erlaubt, mit Hilfe der Physik, also mittels einer Stück Seife, an das Problem heranzugehen? Dann würde ich die 4 Mittenpunkte der Quadratseiten als Schnittpunkte favorisieren.

Da es aber eine rein "physikalische Lösung" wäre, muss ich mich bzgl. dieses Problems ausklammern. Es ist ja nach einem mathematischen Beweis gefragt.

Gruß
Conny
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Die beiden Diagonalen haben die Länge . Ob es noch kürzer geht, weiß ich nicht.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurze Kurven
Zitat:
Original von Conny_1729
Es ist ja nach einem mathematischen Beweis gefragt.

Es ist zunächst nur nach einer Lösung mit möglichst kleinem gefragt. Der erste konkrete Vorschlag kam von Elvis. Mit ist er daher der aktuelle Spitzenreiter. Wenn du, wie auch immer, eine Lösung mit kleinerem findest, poste sie.
 
 
willyengland Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Huggy
Kannst du das konkretisieren und das zugehörige angeben, damit andere wissen, was es zu schlagen gilt.

Ich würde es so probieren:
Die Gesamtlänge der schwarzen Striche als Funktion (der mittleren Länge) darstellen und diese minimieren.

Jetzt muss ich leider radfahren. Big Laugh
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht gehst du es anschließend an.
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Meiner Rechnung zufolge ist nicht zu unterbieten.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast die Idee von willyengland zu Ende gebracht und den Steinerbaum für die Ecken des Quadrats erzeugt. Das wäre die kürzeste Lösung, wenn nur eine zusammenhängende Kurve als Lösung zulässig wäre. Es sind aber auch mehrere nicht zusammenhängende Kurven zulässig. Damit geht es noch kürzer!

Es ist also jetzt zu schlagen.
Conny_1729 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurze Kurven
Zitat:
Original von Huggy
Zitat:
Original von Conny_1729
Es ist ja nach einem mathematischen Beweis gefragt.

Es ist zunächst nur nach einer Lösung mit möglichst kleinem gefragt. Der erste konkrete Vorschlag kam von Elvis. Mit ist er daher der aktuelle Spitzenreiter. Wenn du, wie auch immer, eine Lösung mit kleinerem findest, poste sie.


Okay, mit einer gewissen Intuition und etwas Physik im Gepäck würde ich behaupten, dass man auch folgenden Wert noch toppen könnteAugenzwinkern


Aber vielleicht irre ich mich ja auch???

Gruß
Conny.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurze Kurven
Wie sollen bei dir die Kurven aussehen?
Conny_1729 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurze Kurven
Zitat:
Original von Huggy
Wie sollen bei dir die Kurven aussehen?


Vom Gefühl her gibt es diese Lösung schon, nur eben mit der Seitenlänge:



und etwas gedreht.

Und damit erhöhe ich meinen Einsatz (bezogen auf die Gesamtlänge L) auf:



Da wäre aber noch etwas Luft nach untenAugenzwinkern , wenn ich richtig liege?

Gruß
Conny
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurze Kurven
Mach doch bitte mal eine Skizze, wie das aussehen soll. Ich bin recht sicher, eine so gute Lösung gibt es nicht.
Conny_1729 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurze Kurven
Zitat:
Original von Huggy
Mach doch bitte mal eine Skizze, wie das aussehen soll. Ich bin recht sicher, eine so gute Lösung gibt es nicht.


Oh, oh, oh, das tut mir leid. Da war ich völlig auf dem falschen Dampfer gewesen, weil sich deine Aufgabenstellung in meinem Kopf komplett selbstständig gemacht hat. Ich habe noch einmal meine Brille richtig geputzt und mich von meinen Wahnvorstellungen befreit, und sehe jetzt, dass ich die Aufgabe total missinterpretiert habe. Und um nicht noch mehr Verwirrung zu stiften, ziehe ich meine bisherigen Angaben zurück. Hammer


Ich kann aber später gerne noch etwas dazu sagen (falls gewünscht?), auf welchen Dampfer ich gereist bin, der etwas mit der Dezember-Ausgabe von Spektrum der Wissenschaften (Ian Stewart) aus dem Jahr 1998 zu tun hat. Bis dahin muss ich mit gesenktem Haupt zu diesem interessanten Problem schweigen. Gott

Gruß
Conny
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann schlagen.

Ich habe ein zu bieten. Das sind etwa

Ein Kontrollbild hab ich an Huggy via PN geschickt.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Equester
Ein Kontrollbild hab ich an Huggy via PN geschickt.

Gratulation! Dein Bild entspricht der kürzesten bisher bekannten Lösung, wenn dein Punkt korrekt als Steinerpunkt gewählt ist, wie ich annehme.

Zitat:
Ich habe ein zu bieten.

Das ist allerdings für als Steinerpunkt nicht korrekt. Kontrolliere das noch mal und stelle dann deine Lösung mit Bild ein.

Zitat:
Das sind etwa

Nach Korrektur sollte sich numerisch ergeben.
Conny_1729 Auf diesen Beitrag antworten »

So langsam kristallisiert sich ja das Ergebnis hin zur wahrscheinlichen Bestmarke, die dann wohl aus 4 Strecken besteht und sich summarisch so zusammensetzt: (zwei getrennte Gebilde!)


Gruß
Conny
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Wohoo smile .

Die Lösung mit dem Steinerpunkt kann ich leider dennoch nicht für mich verpachten. Ich bin zwar mittlerweile drauf gekommen, aber hatte vorerst nur den Mittelpunkt BE angenommen.

Mit meinem Ansatz aber der korrigierten Lösung von Huggy sieht das Schaubild so aus:

[attach]55874[/attach]
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

@ Equester
Du hattest jedenfalls die richtige Idee für die Anordnung der Kurven. Um die Summe der Verbindungsstrecken von und zu minimieren, muss als Steinerpunkt gewählt werden, d. h. die Winkel bei müssen alle sein. Daraus ergeben sich die Winkel zu und zu . Mit dem Sinussatz kann man dann die Strecken und bestimmen. Das Gesamtergebnis hat Conny genannt.

Dies ist die beste bekannte Lösung. Nach meinem Wissensstand sollte ich vorsichtigerweise sagen. Und nach diesem meinem Wissensstand gibt es bisher keinen Beweis, dass es nicht noch kürzer geht. Man kann also durch Finden eines Beweises oder einer kürzeren Lösung noch Ruhm und Ehre gewinnen.
Conny_1729 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Zusammen,
das war wieder einmal eine sehr schöne Aufgabe, die richtig Spaß gemacht hat!!! Daher vielen Dank an Huggy!

Bezugnehmend auf meine ersten “wirren“ Aussagen, hier noch die Erklärung. Als ich die Skizze von „willyengland“ gleich am Anfang gesehen habe, war ich plötzlich in einem ganz anderen Film, da mich dieses Bild sofort an die „Seifenhautmethode“ erinnert hat. Und schlagartig war die ursprüngliche Aufgabenstellung wie weggeblasen bzw. hat sie sich selbstständig gemacht, da ich nach einer Lösung für 4 Punkte auf den Quadratseiten suchen wollte. Und da habe ich als Ergebnis dieses herausbekommen (siehe dazu auch die Skizze):

DAS WAR ABER NICHT GEFRAGT!

Ansonsten kann ich leider auch keinen Beweis anführen, ob das Minimalziel mit dem aktuellen Ergebnis (der Original-Aufgabe) erreicht wurde. Wie gesagt, physikalisch kann über die „Seifenhautmethode“ wunderbar gezeigt werden, dass bei angrenzenden Seifenblasen immer wieder die 120°-Winkel auftauchen, wenn diese sich verbinden. Einen schönen Artikel hat Ian Stewart einmal verfasst („Die unbegreifliche Leichtigkeit der Seifenblase“, SdW – 12/1998), in dem die Geometrien von Seifenblasen in Schäumen nähergebracht werden. Das hat mich damals bewogen, ein Buch von Cyril Isenberg zu kaufen („The Science of Soap Films and Soap Bubbles“), in dem die ganze Physik rund um die Seifenhäute abgerollt wird, wenn es beispielsweise um Minimalflächen (im physikalischen Sinne!) geht. Naturwissenschaftlich Interessierten kann ich das Buch wärmstens empfehlen. Dort ist auch ein geometrischer Beweis für ein „Drei-Punkte-Steiner-Problem“ angegeben (120°-Winkel-Aufteilung).

Zum Abschluss habe ich noch ein kleines Experiment zu dieser Aufgabe angestellt mittels zweier Plexiglasplatten und 12 zylindrischer Neodym-Magneten (Siehe Foto). Zählt aber leider nicht als mathematischer Beweis.

Gruß
Conny
.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Deine versehentliche Modifikation wäre auch eine schöne Aufgabe gewesen. An einen Seifenblasenartikel in SdW kann ich mich auch dunkel erinnern. Vermutlich war es derselbe.

Aus Neugierde: Wozu braucht man die Magnete bei Experimenten mit Seifenblasen?
willyengland Auf diesen Beitrag antworten »

Ich erinnere mich auch noch an ähnliche Aufgaben, bei denen irgendwo eine Lichtquelle positioniert ist und man dann mit möglichst kurzen Linien verhindern soll, dass Licht durch Reflexionen zu einer bestimmten Stelle gelangt.
Conny_1729 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Aus Neugierde: Wozu braucht man die Magnete bei Experimenten mit Seifenblasen?


Mit den Seifenblasen selbst haben sie nichts zu tun. Diese kleinen und starken Magnete dienen als Abstandshalter zwischen beiden Plexiglasplatten. Man kann natürlich auch Bohrungen hineinsetzen und die Platten miteinander verstiften. Dann kann man sie aber i.d.R. nicht mehr für andere "Minimalprobleme" verwenden. Der Vorteil ist auch, dass man die Magnete (als Stützpunkte/Randbedingungen) jederzeit von von außen variieren kann.

Ein Problem mit 6 Stützpunkten ist in der Anlage. Die kürzeste Version ist aber unter den dargestellten Beispielen nicht dabei.

Gruß
Conny
.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »