Quotientenmodul

29.08.2022, 11:17

HiBee123

Quotientenmodul

Hallöchen

Es geht um einen Untermodul des $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}^2 \end{eqnarray*}$ nämlich
$\begin{eqnarray*} H:=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} |\frac{x}{2}+\frac{y}{3} \in \mathbb{Z}\right\} \end{eqnarray*}$

zunächst soll gezeigt werden, dass es sich tatsächlich um einen Untermodul handelt.
Das hab ich jetzt so argumentiert, dass die Summe einer Zahl, die durch 2 bzw 3 teilbar ist und einer weiteren solchen Zahl wieder durch 2 bzw 3 teilbar ist (abgeschlossen bzgl. Addition) genauso ist das skalare Vielfach mit einer solchen Zahl wieder durch 2 bzw 3 teilbar (abgeschlossen bzgl. skalarer Multiplikation mit Ringelementen. ) es gelten Assoziativ sowie Distributivgesetz, sowie 1*h=h, damit haben wir einen Modul.

jetzt soll gezeigt werden, das jener Modul endlich erzeugt ist; ich würde sagen, hier kann man argumentieren, dass (2,0)t und (0,3)t den Modul erzeugen.

Wobei es bei mir hauptsächlich harkt (Kann natürlich sein, ich hab schon vorher Fehler gemacht) ist zu zeigen, dass der Quotientenmodul $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}^2/H \end{eqnarray*}$ endlich erzeugt ist. Wie kann ich da ran gehen? Hat da jemand einen Tipp? smile

29.08.2022, 11:24

HAL 9000

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RE: Quotientenmodul

Zitat:

Original von HiBee123
jetzt soll gezeigt werden, das jener Modul endlich erzeugt ist; ich würde sagen, hier kann man argumentieren, dass (2,0)t und (0,3)t den Modul erzeugen.

Das wäre eigentlich das, womit ich gleich angefangen hätte: Dass aus $\begin{eqnarray*} \frac{x}{2}+\frac{y}{3}\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ zwingend $\begin{eqnarray*} \frac{x}{2}\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{y}{3}\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ folgen, somit $\begin{eqnarray*} H = \left\{ \binom{2u}{3v} \bigm| u,v\in\mathbb{Z}\right\} \end{eqnarray*}$ gilt, woraus auch alles andere folgt.

29.08.2022, 11:58

HiBee123

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RE: Quotientenmodul
und der Quotientenmodul? heißt dass ich muss Z/2Z in der ersten und Z/3Z in der zweiten Komponenten nehmen?? Dann hätte ich doch nur noch die Zahlen 1 und 1/2....
Kannst du das nochmal genauer erklären?

29.08.2022, 13:06

IfindU

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RE: Quotientenmodul
Der Quotient ist definiert als die Restklassen $\begin{eqnarray*} \left [ \begin{pmatrix} n \\ m \end{pmatrix} \right] = \left \{\begin{pmatrix} n \\ m \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \lambda \\ \mu \end{pmatrix} | \begin{pmatrix} \lambda \\ \mu \end{pmatrix} \in H\right\} \end{eqnarray*}$ mit der kanonischen Verknüpfung.

Es gibt bei deinen ganzen Mengen nirgendwo 1/2 oder 1/3. Du startest mit einem Gitter aller ganzer Zahlen und nimmst davon eine Teilmenge. Die Definition, welche ganzzahlige Paare du nimmst, hat eine Darstellung wo Brüche auftauchen. Man hätte wie HAL schon sagte eine Darstellung nehmen können ohne Brüche. Dann wärst du ja nicht einmal auf die Idee gekommen irgendwo bei den Mengen 1/2 zu suchen.

Und tatsächlich ist $\begin{eqnarray*} \mathbb Z^2 / H \end{eqnarray*}$ isomorph zu $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/ 2\mathbb Z \times \mathbb Z / 3\mathbb Z \end{eqnarray*}$ .

Gib die "kanonische" Abbildung an und zeige, dass diese isomorph ist.

29.08.2022, 15:08

HiBee123

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RE: Quotientenmodul
AH ja klar... da hab ich einiges durcheinander gebracht. geschockt

Dass heißt ich habe in meinem Quotientenmodul die Elemente (0,0),(0,1),(0,2), (1,0),(1,1) und (1,2)...
Weil mein Quotientenmodul sowieso nur endlich viele Elemente hat ist er auch endlich erzeugt...

Also die kanonische Abbildung... nimmt ein Element aus Z^2 (a,b) und schickt es auf (a mod 2, b mod 3) in Z^2/H
unglücklich

Das reicht nicht, oder?

29.08.2022, 17:08

IfindU

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RE: Quotientenmodul
Das ist die kanonische Quotientenabbildung. Die ist surjektiv, aber alles andere als injektiv. Wenn du nicht den Umweg über $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_2 \times \mathbb Z_3 \end{eqnarray*}$ machen möchtest, kannst du auch direkt argumentieren, warum $\begin{eqnarray*} \mathbb Z^2 / H \end{eqnarray*}$ endlich erzeugt ist. Vermutlich sind alle endlichen Module endlich erzeugt, aber Module sind schräg, da lehne ich mich ungern weit aus dem Fenster Big Laugh

29.08.2022, 19:51

HiBee123

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RE: Quotientenmodul
Also... das versteh ich nicht... wie kann denn etwas endliches kein endliches EZS haben? Mann nimmt einfach den Spann über alle Elemente, und fertig? Vielleicht denk ich zu einfach...

Ja den anderen Weg könnte ich auch gehen... wenn ich wüsste WIE. Also... ich muss einen Isomorphismus finden zwischen meinem Objekt, den Äquivalenzklassen, der (a,b)t wobei a die Klasse bezüglich mod 2 und b die bezüglich mod 3 ist und Z/2Z X Z/3Z ? Dann... schreib ich das doch einfach mal aus, oder? Ich schicke (0,0) auf 0 X 0 und (1,0) auf 1 x 0 und so weiter für jedes Element und tadá hab ich einen Isomorphismus. (oder denk ich schon wieder zu einfach? verwirrt

)

Das wär jetzt so mein Ansatz... bestimmt hast du noch einen eleganteren, oder smile

29.08.2022, 20:06

IfindU

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RE: Quotientenmodul

Zitat:

Original von HiBee123
Also... das versteh ich nicht... wie kann denn etwas endliches kein endliches EZS haben? Mann nimmt einfach den Spann über alle Elemente, und fertig? Vielleicht denk ich zu einfach...

Ich glaube das passt. Ist inzwischen 10 Jahre, dass ich eine Vorlesung zu Moduln gehört habe. Ein Beispiel ist hängen geblieben, wo der Untermodul eines freien Moduls nicht länger frei war. Gibts bei Vektorräumen nicht! Daher bin ich etwas vorsichtig was solche Aussagen betrifft.

Zitat:

Original von HiBee123
Ja den anderen Weg könnte ich auch gehen... wenn ich wüsste WIE. Also... ich muss einen Isomorphismus finden zwischen meinem Objekt, den Äquivalenzklassen, der (a,b)t wobei a die Klasse bezüglich mod 2 und b die bezüglich mod 3 ist und Z/2Z X Z/3Z ? Dann... schreib ich das doch einfach mal aus, oder? Ich schicke (0,0) auf 0 X 0 und (1,0) auf 1 x 0 und so weiter für jedes Element und tadá hab ich einen Isomorphismus. (oder denk ich schon wieder zu einfach? verwirrt

)

Das wär jetzt so mein Ansatz... bestimmt hast du noch einen eleganteren, oder smile

Denk dran, der Quotientenraum sind Restklassen und man sollte damit so umgehen. Ich hätte definiert $\begin{eqnarray*} \varphi: \mathbb Z_2 \times \mathbb Z_3 \to \mathbb Z^2/H\;, (n,m) \mapsto \left [ \begin{pmatrix} n \\ m \end{pmatrix} \right] \end{eqnarray*}$ . Jetzt kann man Eigenschaften nachprüfen wie Linearität und Bijektivität. Je nachdem wie $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_n \end{eqnarray*}$ definiert ist, fängt man am besten mit Wohldefiniertheit an.

29.08.2022, 21:32

HiBee123

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RE: Quotientenmodul

Zitat:

Original von IfindU
Ein Beispiel ist hängen geblieben, wo der Untermodul eines freien Moduls nicht länger frei war. Gibts bei Vektorräumen nicht!

Das klingt in der Tat merkwürdig... Ich persönlich mag Vektorräume ehrlich gesagt lieber... aber was muss, das muss.

Vielleicht komm ich ja auch mal soweit, dass ich so locker, aus der Hüfte raus, Mathetipps geben kann Big Laugh

Also Vielen Dank Freude

ich glaube ich habe das Problem jetzt recht gut verstanden. aber vielleicht doch nochmal kurz zur Wohldefiniertheit. Also ich nehme zwei Objekte (m,n) und (k,l) In Z/2ZxZ/3Z die in der gleichen Klasse sind, also (m=k+2z,n=l+3z) dann bilde ich wieder auf ein Objekt(w x)t in Z^2/H ab. Das erste Objekt auf (m n)t, dass zweite auf (k l)t die sind gleich wenn sie in der gleichen Äquivalenzklasse liegen. aber nach dem ersten teil gilt (m n)t=(k+2z l+3z)t und da ich H rausteile folgt dann [(m n)t]=[(k l)t]

30.08.2022, 08:02

IfindU

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RE: Quotientenmodul
Passt, damit ist die Abbildung wohldefiniert Freude

Jetzt könnte man noch Linearität und Bijektivität zeigen und man hat einen schönen Isomorphismus nachgewiesen.

30.08.2022, 09:01

jester.

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RE: Quotientenmodul

Zitat:

Original von IfindU
Das ist die kanonische Quotientenabbildung. Die ist surjektiv, aber alles andere als injektiv. Wenn du nicht den Umweg über $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_2 \times \mathbb Z_3 \end{eqnarray*}$ machen möchtest, kannst du auch direkt argumentieren, warum $\begin{eqnarray*} \mathbb Z^2 / H \end{eqnarray*}$ endlich erzeugt ist. Vermutlich sind alle endlichen Module endlich erzeugt, aber Module sind schräg, da lehne ich mich ungern weit aus dem Fenster Big Laugh

Ich bin so frei mal ein wenig zu ergänzen.

Endliche Moduln sind endlich erzeugt. Man kann einfach den ganzen Modul als Erzeugendensystem nehmen.
Das mag nun irgendwie plump klingen, und das Erzeugendensystem wird sich in den meisten Fällen verkleinern lassen, aber die Endlichkeit ist damit gegeben.
Quotienten endlich erzeugter Moduln sind auch immer endlich erzeugt. Ist $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ein endlich erzeugter Modul mit Erzeugendensystem $\begin{eqnarray*} \mathfrak{M} \subseteq M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} N\leq M \end{eqnarray*}$ ein Untermodul, so ist $\begin{eqnarray*} M/N \end{eqnarray*}$ endlich erzeugt durch $\begin{eqnarray*} \{\pi(\mathfrak{m}) ~|~ \mathfrak{m} \in \mathfrak{M}\} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \pi ~:~ M \to M/N \end{eqnarray*}$ den kanonischen Epimorphismus bezeichnet.
Untermoduln endlich erzeugter Moduln sind nicht unbedingt endlich erzeugt. Es gibt unterliegende Ringe, die diese Eigenschaft garantieren - die so genannten Noetherschen Ringe, zu denen auch das hier vorliegende $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ zählt. Ein Gegenbeispiel wäre der reguläre Modul über dem Ring $\begin{eqnarray*} R=\mathbb{Z}[X_1, X_2, X_3, ...] \end{eqnarray*}$ - also der Polynomring in abzählbar unendlich vielen Unbestimmten. Vom regulären Modul spricht man, wenn man den Ring als Modul über sich selbst auffasst. Die Menge $\begin{eqnarray*} \{1\} \end{eqnarray*}$ ist dann stets ein Erzeugendensystem. Hier gibt es aber Teilmoduln (Ideale), die nicht endlich erzeugt sind.

30.08.2022, 09:34

IfindU

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Vielen Dank für die Erklärung! Freude

Endlich Mal ein Profi hier, bei Algebra glänze ich nämlich immer mit gefährlichem Halbwissen Big Laugh

30.08.2022, 10:28

HiBee123

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Ja genau! schönen Dank auch von mir ! Freude

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Quotientenmodul

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