Untermodul

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HiBee123 Auf diesen Beitrag antworten »
Untermodul
Hallöchen Wink
Ich sitze wieder vor einem Modul und komm nicht weiter.
Also:
Wir betrachten Z[x] den Polynomring über den ganzen Zahlen in einer Variablen. Der Ring sei ein Modul über sich selbst mit der Ringmultiplikation. I sei der Untermodul, der von {2, X} erzeugt wird:
zu zeigen I ist ein Untermodul und es gibt kein kleineres EZS von I.

Zum 1. Teil hätte ich schon eine Idee, Also I ist ein Untermodul, wir nehmen ein Element im Spann, also 2*p+X*q und multiplizieren es mit einem Element aus Z[X] also z.B r, dann ist das entstehende Element: (2*p+X*q)*r =2*p*r+X*q*r=2*p'+X*q' also wieder im Untermodul. Somit haben wir ein Ideal erzeugt.

Zum 2. Teil, vielleicht ein Widerspruchsbeweis? Gehen wir mal davon aus, es gäbe ein kleineres EZS
{a}, Das Element 2 liegt im Spann von {2,X}, also muss deg(a)=0 Sein.
X liegt im Spann von{2,X} also muss deg(a)=1 sein Widerspruch. Ich glaub aber ich hab es irgendwo verbaselt, deshalb wäre ich dankbar für Hilfe smile
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untermodul
Zu 1) Irgendwas passt nicht bei der Aufgabe. "I sei der Untermodul, der von {2, X} erzeugt wird". D.h. I ist per Definition ein Untermodul, nämlich der kleinste der beinhaltet.

Zu 2) Passt. Ich würde eher so argumentieren: Ist deg(a) = 0, dann erzeugt , d.h. . Ist , dann .

Edit: Ich denke du hast auch eine falsche Vorstellung von I. Das sind nicht nur lineare Polynome. Da sind fast alle Polynome drin, es fehlen nur die mit ungeraden konstantem Glied.

Edit 2: Jetzt hab ich mich selbst verrant. Wenn ist, dann ist !
HiBee123 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untermodul
Ah ja... ich sehe, was ich falsch gemacht habe...

Dann müsste aber der erste Teil meines Beweises stimmen.. und den 2. versuch ich nochmal;

Also wenn deg(a)=0 ist dann ist mein Untermodul aZ[X] weiter weiß ich, dass 1 KEIN Element im Untermodul ist und 2 schon, somit kann a nicht 1 sein, da sonst das konstante 1 Polynom im Untermodul wäre. Jetzt weiß ich aber, dass X im Untermodul ist, dass geht aber nicht, wenn a!=1 ist... Widerspruch. deg(a) !=0 wenn aber deg(a) > 0 ist, kann 2 nicht im Untermodul sein, somit gibt es kein kleineres EZS. ...oder? verwirrt
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untermodul
Zu zweitens: Wirkt schlüssig Freude
HiBee123 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untermodul
Ah okay Super Wink Danke für deinen Anstoß in die richtige Richtung. Freude
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