Extremwertaufgabe

30.08.2022, 11:35

Phenix

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Extremwertaufgabe

Meine Enkelin legt mir folgende Aufgabe vor (s. Abbildungen).
Ich habe ihr gesagt, dass sie den maximalen Wert findet, indem sie die erste Ableitung bildet und f'(x) = 0 setzt. Ist das richtig und wie kann man beweisen, dass dieser Wert auch tatsächlich der Maximalwert ist. Mit der zweiten Abbildung von f(x), aber wie?

30.08.2022, 11:58

Iorek

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Wenn du ihr das so gesagt hast, dann ist das nicht richtig, nein. Du nimmst hier eine Doppelbelegung der Funktion f vor - die Funktion f ist in der Aufgabenstellung gegeben, hat aber nichts bzw. nur implizit mit der resultierenden Funktion zu tun, welche den Flächeninhalt des Rechtecks beschreibt.

Nicht die Nullstellen der Ableitung der Ableitung von f sondern die Nullstellen der Ableitung der Zielfunktion/Extremalfunktion führen zum Ziel. Und: Randpunkte müssen natürlich noch zusätzlich bedacht werden.

30.08.2022, 12:15

Phenix

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Hallo @lorek!

Wir haben

R(s) = s * (f(s) -1)

gebildet und dann

R'(s) = 0

gesetzt und s = 5 berechnet.

Das heißt für s = 5 ist die Fläche R(s) maximal groß.

Kannst du diesen Wert bestätigen?

30.08.2022, 13:38

Elvis

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Wenn du das berechnet hast, dann zeige deine Berechnung. Daran anschließend bekommst du sofort eine Bestätigung oder Korrekturhinweise. Mathematik ist Arbeit und nicht ein heiß - kalt - Spielchen.

30.08.2022, 13:58

Phenix

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Wenn s = 5 falsch sein sollte, zeige ich dir gerne unseren Lösungsweg für Korrekturhinweise deinerseits, wenn er richtig ist, muss unser Lösungsweg richtig gewesen sein, logisch, oder?

Stimmt, Mathe macht Arbeit, sodass es einem noch heißer werden kann als durch die Hitzetemperaturen bereits verursacht wird …

30.08.2022, 14:17

Elvis

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Wenn du damit zufrieden bist, dann ist ja alles gut. Mich interessiert dein Geplänkel nicht.

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30.08.2022, 14:26

Iorek

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Zitat:

Original von Phenix
wenn er richtig ist, muss unser Lösungsweg richtig gewesen sein, logisch, oder?

Nein, muss er nicht. Man kann auch über falsche Wege zufällig zu einem korrekten Ergebnis kommen: $\begin{eqnarray*} \frac{a^2-b^2}{a+b}=a-b \end{eqnarray*}$

Korrekt z.B. mit Hilfe der binomischen Formeln: $\begin{eqnarray*} \frac{a^2-b^2}{a+b}=\frac{(a+b)(a-b)}{a+b}=a-b \end{eqnarray*}$

Falsch geht es, indem man unerlaubt aus Differenzen und Summen einfach so kürzt: $\begin{eqnarray*} \frac{a^2-b^2}{a+b}=\frac{\cancelto{a}{a^2}-\cancelto{b}{b^2}}{\cancel{a}+\cancel{b}}=a-b\qquad{\color{red}\text{Das hier ist falsch gelöst!}} \end{eqnarray*}$

Insofern kann ich nicht guten Gewissens sagen, dass du die Aufgabe richtig gelöst hast, bloß weil $\begin{eqnarray*} x=5 \end{eqnarray*}$ die Nullstelle der Ableitung der Zielfunktion ist.

30.08.2022, 14:56

Phenix

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Richtig, DU Kannst es zwar nicht mit Sicherheit sagen, ich hingegen schon, weil ich den richtigen Lösungsweg ja kenne und mich ganz offensichtlich nicht verrechnet habe.

Bleibt noch die letzte Frage, welche Rolle spielt

R''(s) ?

30.08.2022, 15:04

Iorek

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Zitat:

Original von Phenix
Richtig, DU Kannst es zwar nicht mit Sicherheit sagen, ich hingegen schon, weil ich den richtigen Lösungsweg ja kenne und mich ganz offensichtlich nicht verrechnet habe.

Trotzdem kann dein Lösungsweg dem kürzen aus Differenzen und Summen gleichen, was einem bekannten Lehrerspruch bekanntlich nur die Dummen tun - und das muss ja nicht einmal in böser Absicht von dir geschehen sein. Einfach zu sagen "Mein Ergebnis stimmt, also habe ich auch in allen anderen Teilen meines Lösungswegs recht" ist da zu kurz gedacht. Ich werde dir also bisher immer noch nicht bestätigen können, dass du mit deiner Lösung $\begin{eqnarray*} x=5 \end{eqnarray*}$ recht hast oder nicht.

30.08.2022, 15:51

Phenix

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Klar, weil du das Ergebnis aus eigener Anschauung gar nicht kennst …

30.08.2022, 15:55

Malcang

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Du sagst, du hast eine Lösung, und man solle sich nur zu Wort melden, wenn diese Lösung falsch ist.
Im nächsten Moment sagst du, dass du den richtigen Lösungsweg hast, und dich nicht verrechnet hast.
Was willst denn nun eigentlich von den Boardmitgliedern? verwirrt

verwirrt

30.08.2022, 16:00

Iorek

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Zitat:

Original von Phenix
Klar, weil du das Ergebnis aus eigener Anschauung gar nicht kennst …

Wir können uns gerne über die Aufgabe unterhalten und ich bin gerne bereit diverse Hilfestellungen zu leisten.

Du kannst dich natürlich gerne weiterhin wie mein Sohn verhalten, dann halte ich da gegen. Aber am Ende schadet es natürlich nur deiner "Enkelin", das liegt dann ganz in deinem Ermessen. smile

smile

30.08.2022, 16:08

Phenix

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@Malcang

Ich wollte nur wissen, ob mein Lösungsweg richtig ist, wenn ich

R'(s) = 0 setzte und ob ich mit R''(s) das Ergebnis absichern muss oder nicht.

Aber auf dieses einfache Frage bekommt man hier ja keine klare Antwort*.

*wie leider so oft, sondern es wird herumgemäkelt

30.08.2022, 16:12

Malcang

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Aber deiner Aussage nach hast du doch bereits den korrekten Lösungsweg? verwirrt

verwirrt

30.08.2022, 16:16

Leopold

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Zitat:

Original von Malcang
Was willst denn nun eigentlich von den Boardmitgliedern? verwirrt

verwirrt

Mit ihnen spielen.

Den Enkel gibt es vermutlich nicht. Die Enkelin auch nicht. Jedenfalls die nicht, von denen er spricht. Von den "Aufgaben" und "Rätseln", die wir vorgelegt bekommen, kennt er eine Lösung schon. Seine Anfragen sind nicht echt. Ich weiß nicht einmal, ob er selber echt ist. Er ist ein Geist, der die Leute neckt. Und wenn die Leute sich mit ihm anlegen, dreht er voll auf, bringt sie zur Weißglut und hat eine diebische Freude dabei. Wenn man ihn dagegen lächelnd ein wenig herumschwirren läßt, nicht daß man ihn ignorierte, aber seine Spielchen mit einem Augenzwinkern zur Kenntnis nimmt, kann er richtig nett werden.

30.08.2022, 16:49

Phenix

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@Leopold,
es gibt mich und ich spiele nicht. Hier ist mein Lösungsweg mit Ergebnis.
=> siehe Abbildung
Meine zusätzliche Frage, brauchen wir noch R''(5) um entscheiden zu können, ob s = 5 ein Maximum oder Minimum ist?

30.08.2022, 16:53

Phenix

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Anlage:

30.08.2022, 16:56

Phenix

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R''(5) = -0,52
bedeutet das, dass s = 5 ein Maximum ist und warum?

30.08.2022, 17:17

Iorek

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Zitat:

Original von Phenix
Hier ist mein Lösungsweg mit Ergebnis.
=> siehe Abbildung

Das ist übrigens wirklich nicht als Schikane gemeint - es gibt genügend Beispiele, wo trotz falschem Lösungsweg durch Zufall ein richtiges Ergebnis raukommt. Dann einfach zu sagen "ja, passt" hilft letztendlich keinem.

Zitat:

Original von Phenix
Meine zusätzliche Frage, brauchen wir noch R''(5) um entscheiden zu können, ob s = 5 ein Maximum oder Minimum ist?

Zunächst mal: klares jein.

Mit der Berechnung von $\begin{eqnarray*} R(s)=0 \Leftrightarrow s=5 \end{eqnarray*}$ hat man lediglich Kandidaten für einen Hoch-/Tiefpunkt bzw. Minimum oder Maximum bestimmt. Irgendwie muss man dann noch entscheiden, ob es sich

tatsächlich um ein Minimum/Maximum handelt
genauer entscheiden ob es nun Minimum oder Maximum ist

Es könnte sich ansonsten noch um einen Sattelpunkt handeln, welcher weder Hoch- noch Tiefpunkt ist.

Das geht jetzt prinzipiell über die zweite Ableitung, sofern diese existiert. Für eine "nette" Funktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ gilt nämlich:

Ist $\begin{eqnarray*} g'(x_0)=0 \end{eqnarray*}$ und zusätzlich $\begin{eqnarray*} g''(x_0)>0 \end{eqnarray*}$ , so liegt eine lokale Minimalstelle vor.

Ist $\begin{eqnarray*} g'(x_0)=0 \end{eqnarray*}$ und zusätzlich $\begin{eqnarray*} g''(x_0)<0 \end{eqnarray*}$ , so liegt eine lokale Maximalstelle vor.

"Notwendig" ist die zweite Ableitung aber dafür nicht, es gibt beispielsweise noch ein Kriterium, welches das Vorzeichen der ersten Ableitung untersucht und ebenfalls zu einer Entscheidung hinsichtlich Hoch/Tief/Sattelpunkt kommt. Beide Wege sind in der Schule üblich.

Was allerdings noch zu beachten ist: es können Randextrema auftreten. Konkret in der Aufgabe ist das $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ aus der Zielfunktion eingeschränkt durch $\begin{eqnarray*} 0\leq s < \infty \end{eqnarray*}$ . Für diese Randwerte lässt sich das Kriterium über die Nullstellen der ersten nicht heranziehen. Diese sind also noch extra zu überprüfen um das absolute Maximum bestimmen können (sofern dieses existiert).

30.08.2022, 17:54

Phenix

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Danke für diese schöne Zusammenfassung.
Bei s = 5 handelt es sich demnach um ein Maximum, weil R''(5) < 0.

30.08.2022, 21:26

Iorek

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Damit ist die Frage nach dem absolut größten Rechteck aber nicht geklärt, dafür müssen wie gesagt die Randextrema noch mitbetrachtet werden.

31.08.2022, 09:45

Phenix

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@lorek, ich höre …

31.08.2022, 10:54

vzw

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Zitat:

"Notwendig" ist die zweite Ableitung aber dafür nicht, es gibt beispielsweise noch ein Kriterium, welches das Vorzeichen der ersten Ableitung untersucht und ebenfalls zu einer Entscheidung hinsichtlich Hoch/Tief/Sattelpunkt kommt.

Und da das Ableiten mit der Produktregel zumindest einen gewissen Aufwand bedeutet, ist man durch eine Betrachtung von beispielsweise R'(1) und R'(10) schneller mit dem Identifizieren des lokalen Maximums aufgrund des VZW der Steigung von + nach -.
Groß rechnen braucht man dafür ebenso nicht, denn es geht ja nur um das Vorzeichen des Steigungswertes und wegen $\begin{eqnarray*} e^{-0.2s}>0 \end{eqnarray*}$ ist lediglich der andere Faktor v=(7-1,4s) ausschlaggebend.
Für s=1 bzw. s=10 ist das Vorzeichen von v daher auch problemlos und schnell gefunden.

In der Zeit wo man zweite Ableitung bestimmt, ist man mit der Methode schon fertig.

31.08.2022, 15:17

Huggy

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So geht das mit dem Vorzeichenwechselkriterium natürlich nicht. Man muss ja zeigen, dass bei $\begin{eqnarray*} s=5 \end{eqnarray*}$ ein Vorzeichenwechsel von $\begin{eqnarray*} R'(s) \end{eqnarray*}$ auftritt. Die Tatsache, dass $\begin{eqnarray*} R'(1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} R'(10) \end{eqnarray*}$ unterschiedliche Vorzeichen haben, beweist das keineswegs.

Gegenbeispiel: Sei $\begin{eqnarray*} f(x)=x^3-x^4 \end{eqnarray*}$ . Es ist $\begin{eqnarray*} f'(0)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f'(-1)>0, f'(1)<0 \end{eqnarray*}$ . Aber $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ hat bei $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ kein lokales Extremum und f'(x) wechselt auch bei $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ nicht das Vorzeichen.

31.08.2022, 15:38

vzw

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Naja du verlässt ja auch in deinem Beispiel die "sicheren" Umgebungen und rutscht damit in andere Monotoniebereiche rein.
Diese Gefahr ist im obigen Beispiel wegen der Eindeutigkeit der Lösung für R'(s)=0 nicht gegeben.

Oder übersehe ich etwas ?

31.08.2022, 15:40

Ulrich Ruhnau

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Extremwertaufgabe

Zitat:

Original von Phenix
Meine Enkelin legt mir folgende Aufgabe vor (s. Abbildungen).
Ich habe ihr gesagt, dass sie den maximalen Wert findet, indem sie die erste Ableitung bildet und f'(x) = 0 setzt. Ist das richtig und wie kann man beweisen, dass dieser Wert auch tatsächlich der Maximalwert ist. Mit der zweiten Abbildung von f(x), aber wie?

Nachdem schon alles gerechnet wurde, liefere ich noch die geforderte Zeichnung mit dem Rechteck nach.

31.08.2022, 16:20

Huggy

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Zitat:

Original von vzw
Diese Gefahr ist im obigen Beispiel wegen der Eindeutigkeit der Lösung für R'(s)=0 nicht gegeben.

Das ist schon richtig. Es muss aber auch in die Begründung, weshalb ein Vorzeichenwechsel vorliegt, mit hinein. Oben fehlte dieses Argument bei dir. Und ohne das hat man keine saubere Begründung geliefert.

31.08.2022, 16:33

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Iorek
dafür müssen wie gesagt die Randextrema noch mitbetrachtet werden.

Das sind übrigens die Funktionswerte an den Rändern des Definitionsbereiches. Diese dürfen nicht höher sein als das bisher berechnete Maximum. Erst wenn das gezeigt wurde, ist die Aufgabe fertig bearbeitet.

31.08.2022, 17:22

vzw

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Zitat:

Es muss aber auch in die Begründung, weshalb ein Vorzeichenwechsel vorliegt, mit hinein.

Du hast Recht, ohne jegliche Vorbemerkungen, sollte man schon das dazu schreiben.
Aus der Schule bin ich es gewohnt, dass man ausgehend von allen Nullstellen der 1. Ableitung mit der entsprechenden Vorzeichenwechsel-Tabelle eh alle in Frage kommenden Monotoniebereiche abdeckt und einem durch den Aufbau dieser Tabelle sowieso die gültigen Umgebungen vorgegeben werden (d.h. bei genau einer Nullstelle x1 sind es die Bereiche x<x1 und x>x1, bei genau zwei Nullstellen x1 und x2 mit x1<x2 sind es die Bereiche x<x1 und x1<x<x2 und x>x2 usw).
Diesem Algorithmus folgend, entsteht also erst gar nicht die Situation in andere Intervalle reinzurutschen.

Zitat:

Das sind übrigens die Funktionswerte an den Rändern des Definitionsbereiches.

Da hier s>0 gegeben ist, gibt es jedoch keine Funktionswerte, wenn dann Grenzwerte für $\begin{eqnarray*} s \to 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s \to \infty \end{eqnarray*}$ .
Das wäre in diesem Fall jedoch vielleicht zu viel des Guten, denn aufgrund der Eindeutigkeit des lokalen bzw globalen Maximums, kann es keine noch höheren Funktionswerte geben.

31.08.2022, 18:23

Phenix

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Vorsicht SCHWURBELITIS!

Ist nun s = 5 das richtige Ergebnis oder nicht?

31.08.2022, 18:29

Elvis

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Kurz und knapp und ohne Schwurbelei: Ja, s=5 ist das richtige Ergebnis oder nicht. (Ist logisch.)

31.08.2022, 19:52

Steffen Bühler

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Bitte etwas Mäßigung.

Es sieht zwar zunächst ganz danach aus. Dennoch muss man zeigen, dass der Graph, wenn er gegen Null oder Unendlich geht, nicht doch noch ein weiteres Maximum annimmt, das sogar größer ist. Immerhin geht 7x gegen Unendlich.

31.08.2022, 20:36

Phenix

Auf diesen Beitrag antworten »

Für mich hat der Graph nur EIN Maximum und zwar bei 5.

31.08.2022, 20:37

vzw

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Zitat:

...nicht doch noch ein weiteres Maximum annimmt

Wie kann das hier denn passieren, wenn nur an genau einer Stelle die Steigung Null vorliegt ? verwirrt

verwirrt

Der Graph müsste dann doch nach dem Fallen nochmal hoch und das geht doch nur dann, wenn nochmal eine waagerechte Tangente vorliegen würde.

31.08.2022, 20:46

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Immer wieder versuche ich gegen diese rezeptartigen Lösungsvorschläge anzugehen. In der Regel erfolglos. Ein neuer Versuch.

Unsere Funktion lautet

$\begin{align*} R(s) = 7s \operatorname{e}^{- \frac{1}{5}s} \end{align*}$ für $\begin{align*} s \geq 0 \end{align*}$

Ihr maximaler Wert ist zu bestimmen.

Offenkundig ist stets $\begin{align*} R(s) \geq 0 \end{align*}$ , und $\begin{align*} R(s)=0 \end{align*}$ gilt nur für $\begin{align*} s=0 \end{align*}$ . (Man verwendet die Produktdarstellung des Funktionsterms und den Wertebereich der Exponentialfunktion.)

Da exponentielles Wachstum polynomiales schlägt, folgt: $\begin{align*} R(s) \to 0 \end{align*}$ für $\begin{align*} R \to \infty \end{align*}$ .

Die bisherigen Erkenntnisse garantieren die Existenz eines (globalen) Maximalwertes von $\begin{align*} R \end{align*}$ im offenen Intervall $\begin{align*} \left( 0 , \infty \right) \end{align*}$ . Bei der Maximalstelle muß die Ableitung 0 werden. Suchen wir daher die Nullstellen von $\begin{align*} R' \end{align*}$ .

$\begin{align*} R'(s) = \frac{7}{5} \left( 5-s \right) \operatorname{e}^{- \frac{1}{5}s} \end{align*}$

Der Produktdarstellung entnimmt man $\begin{align*} s=5 \end{align*}$ als einzige Nullstelle von $\begin{align*} R' \end{align*}$ . Daher muß hier das Maximum von $\begin{align*} R \end{align*}$ liegen.

Fertig.

(Und warum geht das hier so schnell? Weil man sich zuvor mit Hilfe des Randverhaltens der Existenz einer Maximalstelle im Innern des Definitionsbereichs versichert hat und $\begin{align*} R' \end{align*}$ dort nur eine einzige Nullstelle besitzt. Das ganze sonstige Zeug mit $\begin{align*} R' \end{align*}$ oder $\begin{align*} R'' \end{align*}$ braucht man doch nur, wenn $\begin{align*} R' \end{align*}$ mehrere Nullstellen besitzt. Glücklicherweise ist das bei Schulanwendungen auf diesem Niveau selten der Fall. Und wenn es doch mal so ist, kann man immer noch diese Kriterien anwenden.)

Vermutlich wieder vergeblich.

31.08.2022, 20:49

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Leopold
Da exponentielles Wachstum polynomiales schlägt, folgt: $\begin{align*} R(s) \to 0 \end{align*}$ für $\begin{align*} R \to \infty \end{align*}$ .

Und nur das wollte ich lesen.

31.08.2022, 21:40

Phenix

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… wie ich schon darlegte, bei 5 liegt das Maximum und es kann nur ein Maximum geben! … nämlich FÜNF.

31.08.2022, 22:27

vzw

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Zitat:

und es kann nur ein Maximum geben! … nämlich FÜNF.

Das ist falsch.

31.08.2022, 22:44

Leopold

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Ich stimme vzw zu, daß eine Formulierung "kann nur" unhaltbar ist. Das klingt so, als sei es im vorhinein klar. Dabei stellt sich erst im Verlauf der Untersuchung heraus, daß es nur eine Maximalstelle gibt. Auch sollte man in der Sprache zwischen dem Maximum und der Maximalstelle unterscheiden. 5 ist keineswegs das Maximum. Vielmehr liegt das Maximum bei 5. Das Maximum selbst ist etwa 12,88.

01.09.2022, 00:07

Phenix

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Wer Freude am Erbsenzählen hat, der greife beherzt zu! …
denn eben wo Begriffe fehlen,
da stellt ein Wort zur rechten Zeit sich ein.
Mit Worten läßt sich trefflich streiten,
mit Worten ein System bereiten,
an Worte läßt sich trefflich glauben,
von einem Wort läßt sich kein Jota rauben.

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