Nicht ausgeartete Bilinearform

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31.08.2022, 15:01	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht ausgeartete Bilinearform Hallöchen Für eine Bilinearform soll gezeigt werden, dass sie nicht ausgeartet ist. Nicht ausgeartet zu sein bedeutet, das in $\begin{eqnarray} V^{\perp} \end{eqnarray}$ nur die 0 liegt. unsere Bilinearform : b':V/U x V/U $\begin{eqnarray} \rightarrow \end{eqnarray}$ K $\begin{eqnarray} ([v],[w]) \mapsto b(v,w) \end{eqnarray}$ wobei V endlichdimensionaler K-VR und U der Kern der linearen Abbildung $\begin{eqnarray} \phi : V \rightarrow V \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v \mapsto b(- ,v) \end{eqnarray}$ ist. Beweisidee* Den Beweis, das diese Abbildung nicht ausgeartet ist... versteh ich nicht... Also folgendermaßen wird vorgegangen: Sei [v] eine Restklasse in $\begin{eqnarray} (V/U) ^{\perp} \end{eqnarray}$ , dann gilt b'([v],[t])=0 für alle $\begin{eqnarray} [t] \in V/U \end{eqnarray}$ . als nächstes wird eine Basis u1,...,ur von U gewählt. diese wird zu einer Bsis von V ergänzt: u1,...u2,v1,...,vs ein Vektor w lässt sich eindeutig darstellen als $\begin{eqnarray} w=\sum\limits_{i=1}^{r} \alpha_i u_i+\sum\limits_{j=1}^{s} \beta_i v_j \end{eqnarray}$ jetzt gilt b(v,w)=b(v, $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^{r} \alpha_i u_i+\sum\limits_{j=1}^{s} \beta_i v_j \end{eqnarray}$ ) = $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^{r} \alpha_i b(v,u_i)+\sum\limits_{j=1}^{s} \beta_i b(v,v_j) \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \sum\limits_{j=1}^{s} \beta_i b(v,v_j) \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \sum\limits_{j=1}^{s} \beta_i b'([v],[v_j]) \end{eqnarray}$ =0 da $\begin{eqnarray} [v]\in (V/U) ^{\perp} \end{eqnarray}$ Und jetzt folgt daraus, dass b nicht ausgeartet ist... Das seh ich leider noch nicht... kann mir das irgendwer vielleicht nochmal näher erklären? Wäre echt super! Gruß, HiBee.
31.08.2022, 15:46	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nicht ausgeartete Bilinearform Ich kenne $\begin{eqnarray} (V/U)^\perp = \{[y]\in V/U \,\|\, b'([t],[y])=0 \text{ für alle } [t]\in V/U\} \end{eqnarray}$ Ist das bei dir anders? Wenn nicht, würde man mit $\begin{eqnarray} b(w,v) \end{eqnarray}$ anfangen, bekäme dann $\begin{eqnarray} v\in U \end{eqnarray}$ und wäre fertig.
31.08.2022, 15:51	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nicht ausgeartete Bilinearform Ja doch, ist genauso definiert. Das ist der Knackpunkt: wieso liegt v in U?
31.08.2022, 15:54	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nicht ausgeartete Bilinearform Weil du dann $\begin{eqnarray} b(w,v)=0 \end{eqnarray}$ für jedes $\begin{eqnarray} w\in V \end{eqnarray}$ hast und damit ist per Definition $\begin{eqnarray} v\in U \end{eqnarray}$
31.08.2022, 16:07	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nicht ausgeartete Bilinearform ach weil U genau der Kern der Abbildung b ist. und weil ich bei der Abbildung b' den Kern rausteile, folgt sofort dass die Gleichung nur gilt, wenn [b]=[0] ist... oder?
31.08.2022, 16:14	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nicht ausgeartete Bilinearform Ich nehme an, $\begin{eqnarray} [b] \end{eqnarray}$ soll $\begin{eqnarray} [v] \end{eqnarray}$ sein. Dann stimmt das. Du hast angefangen mit "Sei [v] eine Restklasse in $\begin{eqnarray} (V/U)^\perp \end{eqnarray}$ " und dann gezeigt, dass $\begin{eqnarray} v\in U \end{eqnarray}$ ist, also ist $\begin{eqnarray} [v]=U \end{eqnarray}$ und somit das neutrale Element in $\begin{eqnarray} V/U \end{eqnarray}$
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31.08.2022, 16:19	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nicht ausgeartete Bilinearform Ja genau, ich meinte [v] gut, dann lieben Dank dir!
31.08.2022, 16:20	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nicht ausgeartete Bilinearform Nur aus Neugier: Ist b als symmetrisch vorausgesetzt?
31.08.2022, 16:22	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nicht ausgeartete Bilinearform Ja genau. "Sei b symmetrische Bilinearform" ... ändert sich dadurch was?
31.08.2022, 16:26	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nicht ausgeartete Bilinearform na so Kleinigkeiten, wie z.B. dass es egal ist, ob man $\begin{eqnarray} b(v,w) \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} b(w,v) \end{eqnarray}$ betrachtet Oder dass b' wohldefiniert ist.
31.08.2022, 16:27	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nicht ausgeartete Bilinearform Ach so... wenn es nur so Kleinigkeiten sind (ich dachte mir schon sowas, sry für die blöde Frage...)
31.08.2022, 16:33	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nicht ausgeartete Bilinearform Wohldefiniertheit allerdings musste erst noch gezeigt werden... wenn wir zwei Repräsentanten der Nebenklasse [v] und [w] haben also mit Vektoren u1 und u2 in U mit v'=v+u1 und w'=w+u2 gilt b(v',w')=b(v+u1,w+u2)=b(v,w)+b(v,u2)+b(u1,w)+b(u1,u2)=b(v,w)
31.08.2022, 16:37	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nicht ausgeartete Bilinearform und ohne die Symmetrie geht das eben schief
31.08.2022, 16:47	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nicht ausgeartete Bilinearform Ach so. Weil wir nach Definition nur wissen, dass b(-,v) den Kern U hat... über b(w,-) könnten wir keine Aussage treffen... das heißt wir würden nicht wissen ob b(u,x)=0 ist (wie wir es für die Wohldefiniertheit brauchen)
31.08.2022, 17:19	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nicht ausgeartete Bilinearform Das war mein Problem
31.08.2022, 17:35	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nicht ausgeartete Bilinearform Gut, dass du nachgefragt hast ... jetzt weiß ich auch wieso das anfangs gefordert wurde! (darauf hatte ich gar nicht geachtet...)

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