Minimalpolynom in Linearfaktoren |
| 31.08.2022, 19:19 | HiBee123 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Minimalpolynom in Linearfaktoren Das Minimalpolynom jeder Matrix zerfällt in Linearfaktoren. Idee: Ich bin selbst noch am rätseln, ehrlich gesagt kann ich mir nicht vorstellen, wieso das nicht funktionieren sollte.... über C zerfällt schließlich alles in Linearfaktoren, aber ich glaube so ist die Aufgabe vermutlich nicht gemeint... |
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| 31.08.2022, 19:29 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » |
Über den komplexen Zahlen ja. Aber was, wenn der zugrunde liegende Körper was anderes ist. Die reellen Zahlen oder endliche Körper? |
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| 31.08.2022, 20:28 | HiBee123 | Auf diesen Beitrag antworten » |
ist ein Gegenbeispiel 
!Ich hab als charakteristisches Polynom x^2+2 genommen und dann die Begleitmatrix erstellt, und dann noch geprüft, dass es kein kleineres Minimalpolynom als das charakteristische geben kann. Also Danke für den Hinweis! Dadurch kam ich erst auf dieses Polynom 
...Manchmal würfele ich die Dinge etwas durcheinander... |
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| 01.09.2022, 10:50 | HiBee123 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Apros pros Begleitmatrix... ich hab da so eine Theorie, dass das charakteristische Polynome und das Minimalpolynom immer gleich sind. Stimmt das? Und wenn ja: Wie kann man das belegen? Lieben Gruß HiBee |
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| 01.09.2022, 11:46 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das ist falsch, die beiden Polynome sind nicht immer gleich |
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| 01.09.2022, 11:54 | HiBee123 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ach sorry ich hab mich schon wieder unklar ausgedrückt... ich meinte ob das Minimalpolynom und das charakteristische Polynom einer Begleitmatrix immer gleich sind. (Wenn du das so verstanden hattest) Hast du denn ein Gegenbeispiel? Sonst, werd ich mal versuchen eins zu konstruieren... Nachtrag ich hab jetzt mal gegoogelt... und hier, https://www.wikiwand.com/de/Begleitmatrix, das A ähnlich zu einer Begleitmatrix, gdw. Minimalpolynom und charakteristisches Polynom identisch... Insbesondere ist die Begleitmatrix mit T=id ähnlich zu sich selbst, dann müsste mit obigen Resultat folgen, dass auch charakteristisches Polynom und Minimalpolynom übereinstimmen... 
ich blick nicht mehr ganz durch... |
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| 01.09.2022, 12:06 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » |
Du musst schon genau lesen. Im von dir verlinkten Artikel steht "Andererseits ist eine -Matrix A ähnlich zu der Begleitmatrix des charakteristischen Polynoms von A genau dann, wenn das Minimalpolynom und das charakteristische Polynom von A identisch sind." Man startet also mit A, bestimmt das zugehörige char. Polynom f und dann dazu die Begleitmatrix B. Der Satz macht eine Aussage, wann A und B ähnlich sind. Deine ursprügliche Vermutung ist also allem Anschein nach korrekt, was mir auch nicht geläufig war. Abseits von Begleitmatrizen: Die Einheitsmatrix ist ein Beispiel für den Fall, dass charakteristisches Polynom und Minimalpolynom verschieden sind. |
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| 01.09.2022, 12:57 | HiBee123 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ja... dass es nicht immer gleich ist weiß ich... Danke trotzdem für das anschauliche Beispiel! Ich hab jetzt ein wenig über den Beweis geknobelt... Dazu gab's einmal in den Übungen eine Interessante aussage: Folgendes ist äquivalent: 1. A ist ähnlich zu einer Begleitmatrix 2. Es gibt ein b, sodass b, Ab, A^2b... A^{n-1}b sind eine Basis von K^n Vielleicht ist mit dieser linearen unabhängig Basisvektoren zu argumentieren, dass die früheste Basis, so dass m(b)=0 ist das charakteristische Polynom sein muss und somit (da m(b) teilt m(A)) das früheste Polynom, so dass m(A)=0 ist, ebenfalls das charakteristische Polynom ist (Und DAS das eingesetzt 0 wissen wir ja von Cayley-Hamilton ) Sicher bin ich mir aber nicht... das wäre nur so meine Idee... |
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| 01.09.2022, 13:41 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das ist es dann schon. Wegen der Gestalt der Basis muss der Grad des Minimalpolynoms mindestens n sein und dann schließt man mit der Teilereigenschaft auf die Gleichheit der Polynome. |
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| 01.09.2022, 14:25 | HiBee123 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Okay ja danke.
Bin ich ja froh, dass der Beweis so passt... |
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