Diagonalisierbarkeit

01.09.2022, 16:11

HiBee123

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Diagonalisierbarkeit

Hallöchen

Wink

Ich hocke wieder vor einer Aufgabe... und diesmal weiß ich noch nichtmal WAS hier eigentlich gezeigt werden soll. die Aufgabe ist mit Diagonalisierbarkeit betitelt...
Also Sei V ein C-Vektorraum, dim V=n und es seien f1,...,fr in den Endomorphismen von V , diagonalisierbar und fi ° fj=fj ° fi, für alle i,j in {1,...,r }. Es sei U=<f1,..,fr> ind den Endomorphismen von V

Zu zeigen: es existieren eindeutige lambda_1,...,lambda_s in U* mit
$\begin{eqnarray*} V=\bigoplus \limits_{i=1}^{s}V_{\lambda_i} \end{eqnarray*}$
wobei
$\begin{eqnarray*} 0\neq V_{\lambda_i}=\{v\in V| g.v=\lambda_i(g).v \forall g \in U\} \end{eqnarray*}$

und dann gibt es hier einen Induktionsbeweis... über die Eigenräume? Ach so aber daher der Name, Diagonalisierbarkeit, weil es ja Diagonalisierbar ist, wenn es in Eigenräume zerfällt... dann wird gezeigt, dass die Summe direkt ist... verwirrt

verwirrt

Der Rest des Beweises und dieser Aufgabe ist mir unklar, alles recht kryptisch. Ich denk nochmal drüber nach, aber wäre super wenn jemand einen nachvollziehbaren Ansatz hätte und mir erklären könnte, was diese V_lambda_i überhaupt seien sollen? Eigenräume zum Wert \lambda_i?
unglücklich

unglücklich

Gruß,
HiBee

01.09.2022, 16:35

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RE: Diagonalisierbarkeit
Die Aufgabe ist überschrieben mit "Simultane Diagonalisierbarkeit" und einen screenshot der Aufgabe hattest du auch mal hier
Bisschen den Überblick verloren, hm? smile

smile

01.09.2022, 16:43

HiBee123

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RE: Diagonalisierbarkeit
Ach upps... smile

smile

Ja naja, aber ich bin so ratlos wie eh und jeh... Ich geh gerade alle meine alten Aufgaben durch, die ich nicht verstanden hab.
Ja stimmt... smile

smile

manchmal bringe ich Dinge durcheinander... Sorry dafür... Wäre trotzdem echt nett wenn mir jemand erklären könnte was bei dieser merkwürdigen Aufgabe so abgeht...

01.09.2022, 17:06

IfindU

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RE: Diagonalisierbarkeit
Ich versuche $\begin{eqnarray*} g{.}v = \lambda_i(g) \end{eqnarray*}$ zu verstehen. Welche Gruppenoperation ist $\begin{eqnarray*} g{.}v \end{eqnarray*}$ ? Einfach die Anwendung $\begin{eqnarray*} g(v) \end{eqnarray*}$ ? Und was ist $\begin{eqnarray*} U^* \end{eqnarray*}$ dann? Ich dachte der Dualraum zu $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ .

Dann wäre aber $\begin{eqnarray*} g(v) \in V \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda_i(g) \in K \end{eqnarray*}$ . Das wäre ungeschickt.

01.09.2022, 17:13

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RE: Diagonalisierbarkeit
Ich denke, $\begin{eqnarray*} \lambda_i(g).v \end{eqnarray*}$ ist die skalare Multiplikation und damit ist man wieder in $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$
Die $\begin{eqnarray*} v\in V_{\lambda_i} \end{eqnarray*}$ sind also Eigenvektoren von jedem $\begin{eqnarray*} g\in U \end{eqnarray*}$ und der Eigenwert wird über die Linearform $\begin{eqnarray*} \lambda _i \end{eqnarray*}$ bestimmt.

01.09.2022, 18:39

HiBee123

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RE: Diagonalisierbarkeit
Also... wenn ich das richtig verstehe sind in $\begin{eqnarray*} V_{\lambda_i} \end{eqnarray*}$ alle Eigenvektoren zum Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda_i \end{eqnarray*}$ ,aka ist das der Eigenraum zum Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda_i \end{eqnarray*}$
Also ist $\begin{eqnarray*} \lambda_i(g) \end{eqnarray*}$ der Eigenwert von g neee.... Hammer

Hammer

irgendwas will da nicht passen...oder doch? es sind ja alle g aus U und u ist der Spann aus diagonalisierbaren Endomorphismen. Also sind in $\begin{eqnarray*} V_{\lambda_i} \end{eqnarray*}$ alle Eigenvektoren, die für jedes f_j Eigenvektor sind zum Eigenwert \lambda_i Das ist ne ziemlich starke Vorraussetzung...

Also ja, so wie URL geschrieben hat: Das ist die skalare Multiplikation. genau und die v in $\begin{eqnarray*} V_{\lambda_i} \end{eqnarray*}$ sind die Eigenvektoren die alle Elemente in U haben. genau und der Eigenwert wird dann durch diese Linearform bestimmt...(Moment... wieso Linearform? Ihr seht das bestimmt gleich, deshalb sorry für die triviale Frage...)

Also okay... damit ist mir etwas klarer, wie die Aufgabe gemeint ist... der Beweis bleibt mir noch ein Rätsel...

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01.09.2022, 18:56

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RE: Diagonalisierbarkeit
Mit nur einem Eigenwert wird es nicht gehen. Denk an das Beispiel $\begin{eqnarray*} f_1=id, f_2=2id \end{eqnarray*}$ .
Die $\begin{eqnarray*} V_{\lambda_i} \end{eqnarray*}$ bestehen zwar aus Eigenvektoren aber im allgemeinen zu verschiedenen Eigenwerten.
In der Aufgabe steht $\begin{eqnarray*} \lambda_i \in U^* \end{eqnarray*}$ .
In meinem Beispiel ist $\begin{eqnarray*} \lambda_1(f_1)=1,\lambda_1(f_2)=2 \end{eqnarray*}$

01.09.2022, 19:01

IfindU

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RE: Diagonalisierbarkeit
@URL Das kann es nicht sein, da die $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ linear in ihrem Argument sind (und sein müssen). Bzw. du hast es ja nur für zwei Funktionen gemacht. Wie wäre es z.B. fúr die Summe oder Vielfachen der Werte?

01.09.2022, 19:01

HiBee123

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RE: Diagonalisierbarkeit
Heißt das $\begin{eqnarray*} V_{\lambda_i} \end{eqnarray*}$ ist sowas wie der Schnitt verschiedener Eigenräume?

01.09.2022, 19:07

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RE: Diagonalisierbarkeit
Ja, aber eben Eigenräume von verschiedenen Endomorphismen und zu verschiedenen Eigenwerten.

01.09.2022, 19:24

HiBee123

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RE: Diagonalisierbarkeit
Gut also damit wäre der Induktionsanfang schonmal geklärt. die äquivalent zwischen Diagonalisierbarkeit und dem Zerfall in Eigenräume ist bekannt.
So und jetzt Induktionsschritt:

...und da hörts auch schon auf. Also hier betrachtet man irgendwie fr(fi(v))
und das war in der Aufgabenstellung gegeben ist gleich fi(fr(v)) = fi (\lambda v)=\lambda fi(v) ach so ...Linearform, so kommst du drauf, weil es in der Aufgabenstellung gegeben war, weil die \lambda_i alle aus dem Dualraum waren! - Jetzt schließt man, dass fi(v) wieder Eigenvektor zum gleichen Eigenwert ist... und somit Eig(f_r,\lambda) invariant unter f_i... Was genau heißt das?

01.09.2022, 19:51

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RE: Diagonalisierbarkeit
Genau das was da steht. Eig(f_r,\lambda) wird von f_i nicht verändert.
Wendet man f_i auf ein Element des Eigenraumes an, landet man wiederr im Eigenraum.

So eine Invarianz ist oft nützlich, wenn man einen Vektorraum in Unterräume zerlegen will.
Man zeigt die gewünschte Eigenschaft für einen Unterraum und wendet sich dann den übrigen Summanden zu.

01.09.2022, 20:20

HiBee123

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RE: Diagonalisierbarkeit
Ja. so oder ähnlich scheint hier auch vorgegangen worden zu sein... Wir schränken die $\begin{eqnarray*} f_i \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} f_1|_{Eig(f_r,\lambda)},\dots,f_{r-1}|_{Eig(f_r,\lambda)} \end{eqnarray*}$
diese Abbildungen sind diagonalisierbar und vertauschen.
Jetzt heißt es "per Induktion erhalten wir eine Zerlegung von Eig(fr,\lambda) in gemeinsame Eigenräume von f1,...,f_{r-1} (Das war die Induktionsvorraussetzung, oder?)

und dann geht es weiter "Machen wir das gleiche mit allen Eigenräumen von f_r so erhalten wir eine Zerlegung von V in gemeinsame Eigenräume von f1,...,fr"

Hä? Irgendwo hier wurde still und heimlich der Induktionsschritt gemacht... aber ich sehe nicht, warum die letzte Aussage gelten soll...?

01.09.2022, 21:13

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RE: Diagonalisierbarkeit

Zitat:

Original von HiBee123

Jetzt heißt es "per Induktion erhalten wir eine Zerlegung von Eig(fr,\lambda) in gemeinsame Eigenräume von f1,...,f_{r-1} (Das war die Induktionsvorraussetzung, oder?)

Richtig

Zitat:

und dann geht es weiter "Machen wir das gleiche mit allen Eigenräumen von f_r so erhalten wir eine Zerlegung von V in gemeinsame Eigenräume von f1,...,fr"

Hä? Irgendwo hier wurde still und heimlich der Induktionsschritt gemacht... aber ich sehe nicht, warum die letzte Aussage gelten soll...?

Nein, Keine Induktion.
Du hast $\begin{eqnarray*} V=\bigoplus_{i=1,..,r}Eig(f_r,\mu_i) \end{eqnarray*}$ . Das ist die Diagonalisierbarkeit von $\begin{eqnarray*} f_r \end{eqnarray*}$ , die Eigenwerte habe ich $\begin{eqnarray*} \mu_i \end{eqnarray*}$ genannt. Jetzt hast für einen der Eigenräume gezeigt, dass er in gemeinsame Eigenräume zerlegt werden kann, also etwa $\begin{eqnarray*} Eig(f_r,\mu_1)=\bigoplus_k W(k,\mu_1) \end{eqnarray*}$
Das gleiche machst du für die anderen Eigenräume, d.h. für alle anderen Summanden von V, und bekommst
$\begin{eqnarray*} V=\bigoplus_{k,i} W(k,\mu_i) \end{eqnarray*}$

01.09.2022, 22:43

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RE: Diagonalisierbarkeit
Dieser, leider unvollendete, Thread liefert dir zwei Matrizen, bei denen man die gemeinsamen Unterräume konkret bestimmen kann.

02.09.2022, 12:28

HiBee123

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RE: Diagonalisierbarkeit
Hi.

Danke für das anschauliche Beispiel... ich hab jetzt mal versucht das auszurechnen.

also wir haben
$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix}-5& 1 & 6&6\\ -12 & 2 & 12&12 \\ 1 & 1 & 0 & -2 \\ -4 & 0 & 4 & 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B=\begin{pmatrix}2& 0 & -1&-4\\ -3 & 1 & 3&0 \\ 2 & 0 & -1 & -2 \\ 1 & 0 & -1 & -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} AB=BA=\begin{pmatrix}5& 1 & -4&-10\\ 6 & 2 & -6&-12 \\ -3 & 1 & 4 & 2 \\ 6 & 0 & -6 & -10 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

A und B vertauschen also.
Jetzt berechne ich die Eigenwerte von B und komme auf dass charakteristische Polynom $\begin{eqnarray*} x^4+x^3-3x^2-x+2=(x-1)^2(x+1)(x+2) \end{eqnarray*}$
Jetzt berechne ich die Eigenräume
Eig(B,-2)=<(1 1 0 1)t> Eig(B,-1)=<(1 3 -1 1)t> und Eig(B,2)=<( 0 1 0 0)t,(1 0 1 0)t>
Dann wende ich A darauf an und erhalte:
$\begin{eqnarray*} \{ \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\0 \\2 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} -2 \\ 6 \\2 \\-2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\1 \\0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\1 \\0 \end{pmatrix}\} \end{eqnarray*}$
Also der erste Vektor ist 2 mal der , der den Eigenraum (B,-2) aufspannt, der zweite ist - 2 mal der, der den Eigenraum (B,-1) auspannt. usw, insgesamt erhalte ich:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}2& 0 & 0& 0\\0 & -2 & 0& 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und diese Matrix hat tatsächlich die gleichen Eigenwerte wie A.
weiter bin ich leider noch nicht gekommen. Ich hab versucht diese Matrix zu Diagonalisieren, aber die Transformationsmatrix die ich da rausbekomme, diagonalisiert leider weder A noch B... verwirrt

verwirrt

verwirrt

02.09.2022, 13:54

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RE: Diagonalisierbarkeit
Der Vollständigkeit halber noch das charakteristische Polynom $\begin{eqnarray*} (x-2)^2(x-1)(x+2) \end{eqnarray*}$ von A. Das braucht man nicht unbedingt, aber man kann die Eigenwerte und Dimensionen der Eigenräume ablesen.

Aus dem charakteristischen Polynom $\begin{eqnarray*} (x-1)^2(x+1)(x+2) \end{eqnarray*}$ von B folgt zunächst, dass B zwei eindimensionale Eigenräume hat, nämlich zu den Eigenwerten -1 und -2. Die zugehörigen Eigenvektoren müssen dann schon Eigenvektoren von A sein (warum?).
Die fehlenden Eigenvektoren von A müssen also in Eig(B,2) stecken.
Also wird die Abbildung A auf Eig(B,2) eingeschränkt und dort diagonalisiert. Die Darstellungsmatrix der eingeschränkten Abbildung ist $\begin{eqnarray*} \tilde A = \begin{pmatrix} 2&0\\1&1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn man genau hinschaut, sieht man auch schon den Eigenvektor von A zum Eigenwert 1

Wenn du das verdaut hast, reden wir weiter smile

smile

02.09.2022, 14:19

HiBee123

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RE: Diagonalisierbarkeit

Zitat:

Original von URL
Die zugehörigen Eigenvektoren müssen dann schon Eigenvektoren von A sein (warum?).

Weil die Eigenräume unter A invariant sind, das heißt ein vielfaches des Eigenvektors von A ist Eigenvektor von B, und das heißt die Eigenräume sind gleich.
Der Vektor (0 1)t brennt sich nahezu in die Netzhaut...
und für den Eigenraum zum EW 2, müsste es (1 1)t sein...

Ja ich gebe zu das ganze ist noch etwas ungewohnt... smile

smile

und wenn ich das in Matrixcalc eingebe kommt immer noch Unfug raus... aber wie finde ich denn nun meine Transformationsmatrix? verwirrt

verwirrt

02.09.2022, 15:45

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RE: Diagonalisierbarkeit
Invarianz ist das richtige Stichwort. Generell besteht ein eindimensionaler invarianter Unterraum aus Eigenvektoren.
Gleich sind die Eigenräume im allgemeinen nicht. Hier ist z.B. $\begin{eqnarray*} Eig(B,-2)\subsetneq Eig(A,2) \end{eqnarray*}$ , weil der erste eindimensional ist, der zweite aber zweidimensional.

Jetzt musst du deine berechneten zweidimensionalen Eigenvektoren wieder auf die Basis von Eig(B,2) zurückrechnen.
Aus $\begin{eqnarray*} (1,1)^T \end{eqnarray*}$ wird dann $\begin{eqnarray*} 1( 0 1 0 0)^T+1(1 0 1 0)^T=(1 1 1 0)^T \end{eqnarray*}$
und das ist einer der beiden gemeinsamen Eigenvektoren von B und A. Für A und B ist der Eigenwert 2.
Wenn du den letzten jetzt analog bestimmst (Für B hat er EW 2, für A EW 1) hast du eine Basis aus gemeinsamen Eigenvektoren von B und A gefunden.

Beim dem letzten Eigenvektor, das ist $\begin{eqnarray*} (1 0 1 0)^T \end{eqnarray*}$ sieht man auch, warum man in der Aufgabe nicht mit einem Eigenwert für alle $\begin{eqnarray*} f_i \end{eqnarray*}$ auskommt sondern den Eigenwert über eine Linearform $\begin{eqnarray*} \lambda _j \end{eqnarray*}$ in Abhängigkeit vom Endomorphismus angeben muss.

02.09.2022, 19:05

HiBee123

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RE: Diagonalisierbarkeit
Ich habs! Freude

Freude

Supi.

Ich liebe Bespiele!

Okay, aber zurück zur eigentlich Aussage...

Wir können f1,...,f_{r-1} in solche Räume, du nanntest sie W, zerlegen. (Induktionsvorraussetzung)
genauso können wir f_r zerlegen (auch Induktionvorraussetzung, oder? Weil wir hier ja nur einen Raum haben) Und daraus folgt dann, dass wir f1,...,f_r zerlegen können, oder? Ist nicht genau DAS der Induktionsschritt...? Oder blick ich wiedermal nicht durch?

Danach wird noch gezeigt, dass die Summe dann auch direkt ist...

02.09.2022, 19:52

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RE: Diagonalisierbarkeit
Ich habe das Vorgehen anders verstanden:
1. Man startet mit $\begin{eqnarray*} V=\bigoplus_{i=1,..,r}Eig(f_r,\mu_i) \end{eqnarray*}$
2. Per Induktionsannahme kann man davon ausgehen, dass auf jedem dieser Eigenräume die Endomorphismen $\begin{eqnarray*} f_1,\ldots f_r \end{eqnarray*}$ gleichzeitig diagonalisierbar sind. Dazu muss man sich übrigens überlegen, warum die Dimension der Eigenräume kleiner als die Dimension von V ist. Sonst kann man die Induktionsannahme nicht verwenden.
3. Weil die Eigenräume bereits ganz V aufspannen, ist damit die gleichzeitige Diagonalisierbarkeit der Endomorphismen auf V gezeigt. Und das ist der Abschluss des Induktionsbeweises.

02.09.2022, 20:27

HiBee123

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RE: Diagonalisierbarkeit

Zitat:

Original von URL
Dazu muss man sich übrigens überlegen, warum die Dimension der Eigenräume kleiner als die Dimension von V ist.

Ach so? Muss man das? Ist das nicht klar, weil die Dimension der Eigenräume immer kleiner ist als die Dimension von V? und wir haben ja hier auch nur einen Schnitt über jenen Eigenräumen... Ich seh gerade noch nicht wie die Dimension da größer sein soll (?)

Der Rest wird mir so langsam klarer (mühsam... mühsam ernährt sich das Eichhörnchen...)

Man schränkt die Abbildung auf gewisse Eigenräume ein und bastelt sich so, wie im Beispiel ,
gemeinsame Eigenvektoren. und dann führt man einen Konstruktionsbeweis.

Bleibt der letzte Teil: die Direktheit der Summe.
Also hier wird irgendein $\begin{eqnarray*} \mu_{i,j} \end{eqnarray*}$ definiert... moment ich häng das schnell an ich versteh nämlich nur noch Bahnhof, was die da machen...

02.09.2022, 21:59

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RE: Diagonalisierbarkeit
Ja, muss man. Immerhin könnte $\begin{eqnarray*} f_r \end{eqnarray*}$ einfach ein Vielfaches der Identität sein.

$\begin{eqnarray*} \mu_{i,j} \end{eqnarray*}$ ist einfach der Eigenwert von $\begin{eqnarray*} f_j \end{eqnarray*}$ auf dem betrachteten Unterraum. Da ist noch nichts schlimmes passiert. Auch die Definition von $\begin{eqnarray*} \lambda_i \end{eqnarray*}$ ist unproblematisch.
Interessant wird es, ob damit $\begin{eqnarray*} \lambda_i(g) \end{eqnarray*}$ für jedes $\begin{eqnarray*} g\in U \end{eqnarray*}$ auch wohldefiniert ist. Schließlich müssen die $\begin{eqnarray*} f_1,\ldots ,f_r \end{eqnarray*}$ keine Basis von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ sein. Also kann ein $\begin{eqnarray*} g\in U \end{eqnarray*}$ durchaus mehrere Darstellungen als Linearkombination der $\begin{eqnarray*} f_k \end{eqnarray*}$ haben.

03.09.2022, 10:31

HiBee123

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RE: Diagonalisierbarkeit
Ach so ok...

danke für die Erklärungen... Zur Gänze verstanden hab ich den Beweis leider immer noch nicht... wo zeigen wir zum Beispiel die Direktheit der Summe?

03.09.2022, 13:13

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RE: Diagonalisierbarkeit
Was macht man denn, wenn der Eigenraum die gleiche Dimension hat wie V? Big Laugh

Big Laugh

Wir können doch per Induktionsannahme den betrachteten Eigenraum von $\begin{eqnarray*} f_r \end{eqnarray*}$ in eine direkte Summe von Unterräumen zerlegen, in denen $\begin{eqnarray*} f_1,\ldots ,f_r \end{eqnarray*}$ gleichzeitig diagonalisierbar sind. Damit ist doch dann schon alles erledigt.
Zur Erinnerung: V selbst ist wiederum direkte Summe der Eigenräume von $\begin{eqnarray*} f_r \end{eqnarray*}$

03.09.2022, 13:36

HiBee123

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RE: Diagonalisierbarkeit
Wie? verwirrt

verwirrt

Was soll man machen? Wenn der Eigenraum die gleiche Dimension hat wie V, dann ist man doch fertig, weil man V in die direkte Summ des Eigenraums und des Nullraums zerlegen kann... oder?

Ach so, also die Direktheit folgt per Konstruktion... Uff...

03.09.2022, 17:31

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RE: Diagonalisierbarkeit
Du hast das nicht verstanden. In diesem Spezialfall ist etwa $\begin{eqnarray*} Eig(f_r,\mu_1)=V \end{eqnarray*}$ .
Dann kannst du aber deine Induktionsvoraussetzung nicht auf $\begin{eqnarray*} Eig(f_r,\mu_1)=V \end{eqnarray*}$ anwenden, weil die Induktionsvoraussetzung nur für Vektorräume mit Dimension kleiner als dim(V) gilt. Die ganze Beweismethode funktioniert also überhaupt nicht!
Das Gute ist, es spielt keine Rolle, Man lässt einfach $\begin{eqnarray*} f_r \end{eqnarray*}$ weg und führt den Beweis für die übrigen Endomorphismen. Egal welche Zerlegung von V man am Schluss gefunden hat, $\begin{eqnarray*} f_r \end{eqnarray*}$ ist auf jeden Fall auch bzgl. dieser Zerlegung diagonalisierbar.

04.09.2022, 13:02

HiBee123

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RE: Diagonalisierbarkeit
Danke dir! smile

smile

Ich hab das ganze jetzt schon viel besser verstanden. Ich denk, ich lass das jetzt erstmal sacken und rechne vielleicht noch ein zwei Beispiele, damit ich hands-on bin.

Gruß,
HiBee

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