Vektoren im R3 - Winkelberechnungen

07.03.2007, 08:54

Moosi

Vektoren im R3 - Winkelberechnungen

Habe folgendes Problem:

Gegeben ist eine Pyramide mit enem Dreieck als Grundfläche.
Folgende Winkel sind gesucht:

Winkel AB,AS
Winkel AS,G
Winkel ABS,ABC

Die Winkel rechne ich natürlich mittels VW-Formel aus - nur beim Winkel AS,G muss ich dann noch 90°-x° rechnen - ist das richtig?

Als nächstes hab ich eine Pyramide mit einem Parallelogramm als Grundfläche gegeben. Wiederum sind diese Winkel gefragt - kann es sein bzw. muss ich hier beim Winkel ABS,ABC noch 180°-x° rechnen?

Gibt es also unterschiede zwischen Winkelberechnungen bei Pyramiden mit einer Dreiecksgrundfläche und einer Viereckgrundfläche?

Vielleicht kann ja jemand eine kleine formelsammlung hier hereinstellen ... danke im Voraus!

MFG

07.03.2007, 09:32

riwe

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RE: Vektoren im R3 - Winkelberechnungen
was ist die VW-formel verwirrt

wenn das die berechnung mittels skalarproduktes ist:

winkel zwischen geraden - geraden oder ebene - ebene => cosinus
zwischen ebene - geraden => sinus (also 90 - x)

die art der grundfläche ist ohne belang

werner

07.03.2007, 10:59

Moosi

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...
... VW - Vektor-Winkelformel!

verwirrt

- Wir haben es bis dato imma mit dem cosinus gerechnet ...

Folgendes Beispiel war gegeben:

Pyramide mit Parallelogramm als Grundfläche:
A (2/1/2)
B (-3/-3/0)
D (5/1/4)

Spitze befindet sich in der e:2x-3y+z=17

Ergebnisse:
C (0/-3/-6)
S (3/-4/-1)
V= 56Ve

Und dann zum Winkel zwischen ADS und der Grundfläche:

Formel: cosx = nADS*nG / |nADS|*|nG|

Ich bekomme daher einen Winkel von 131,81° heraus - im Lösungsheft steht aber 48,19° ... verwirrt

07.03.2007, 11:06

riwe

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Re: ...

Zitat:

Original von Moosi
... VW - Vektor-Winkelformel!

verwirrt

- Wir haben es bis dato imma mit dem cosinus gerechnet ...

Folgendes Beispiel war gegeben:

Pyramide mit Parallelogramm als Grundfläche:
A (2/1/2)
B (-3/-3/0)
D (5/1/4)

Spitze befindet sich in der e:2x-3y+z=17

Ergebnisse:
C (0/-3/-6)
S (3/-4/-1)
V= 56Ve

Und dann zum Winkel zwischen ADS und der Grundfläche:

Formel: cosx = nADS*nG / |nADS|*|nG|
Ich bekomme daher einen Winkel von 131,81° heraus - im Lösungsheft steht aber 48,19° ... ?(

wie wäre es mit dem komplement verwirrt

$\begin{eqnarray*} \alpha^\prime=180-\alpha \end{eqnarray*}$

werner

formeleditor wäre ein HIT Big Laugh

07.03.2007, 11:09

Moosi

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Re: ...
Big Laugh

Tja darum gehts mir ja gerade: Muss ich also wenn ich den Winkel zwischen Seitenfläche und Grundfläche haben will immer das Ergebnis mit 180° - x finden?

... irgendwie steh ich auf der Leitung schauts aus ...

07.03.2007, 11:43

riwe

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Re: ...
müssen tust gar nicht, aber es ist üblich, dass man den winkel < 90° nimmt.
und wenn der berechnete > 90° => s. formel oben.

werner

07.03.2007, 11:49

Moosi

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Re: ...
verwirrt

Also ist es mir selbst überlassen ob ich den einen oder den anderen Winkel als Lösung hinschreibe? - ich merke mir einfach: Ist der berechnete Winkel >90° dann berechne ich zusätzlich den Winkel mit 180°- meinem Ergebnis ...

Aber wenn ich den Winkel zwischen Seitenkante und Grundfläche berechnen will dann muss ich $\begin{eqnarray*} \alpha = 90° - \alpha ' \end{eqnarray*}$ anschreiben ...? verwirrt

07.03.2007, 12:14

riwe

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Re: ...
teil 1: würde ich so machen.

teil 2: jein verwirrt

berechne den winkel wie oben schon hingemalt mit dem sinus statt des cosinus - du bestimmst ja den winkel zwischen NORMALENvektor der ebene und RICHTUNGSvektor der geraden.

mit DIESEM winkel verfährst du wie in teil 1.

werner

07.03.2007, 12:38

Moosi

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Re: ...
Tja unser verehrter Herr Lehrer steht auf die Einhaltung seiner Vorgaben und wie bereits erwähnt, wir rechnen alles mit dem Cosinus - warum auch immer?! verwirrt

Ich hab mir jetzt folgendes notiert:

Winkel zwischen Seitenkanten ( Bsp.: AS und AB )

$\begin{eqnarray*} cos\alpha = AB*AS / \mid AB \mid* \mid AS \mid \end{eqnarray*}$
2nd cos-1 = Ergebnis

Winkel zwischen Seitenkante und Grundfläche:

$\begin{eqnarray*} cos\alpha' = AS*nG / \mid AS \mid* \mid nG \mid \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \alpha = 90°-\alpha ' \end{eqnarray*}$

Winkel zwischen Seitenfläche (ASD) und Grundfläche:

$\begin{eqnarray*} cos\alpha' = nASD*nG / \mid nASD \mid* \mid nG \mid \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \alpha = 180°-\alpha ' \end{eqnarray*}$

Winkel zwischen zwei Ebenen allgemein:

$\begin{eqnarray*} cos\alpha' = nE1*nE2 / \mid nE1 \mid* \mid nE2 \mid \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \alpha = 180°-\alpha ' \end{eqnarray*}$

Winkel zwischen Ebene und Gerade:

$\begin{eqnarray*} cos\alpha' = nE*RiVG / \mid nE \mid* \mid RiVG \mid \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \alpha = 90°-\alpha ' \end{eqnarray*}$

Ist deis so richtig? ... verwirrt

07.03.2007, 13:23

riwe

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Re: ...
das ist mir zu lange Big Laugh

zusammenfassung:
1) du berechnest IMMER den winkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ mit dem COSINUS

1.1) suchst du den winkel zwischen ebenen oder zwischen geraden und ist

$\begin{eqnarray*} \alpha> 90°\to \alpha=180-\alpha \end{eqnarray*}$

2) ist der winkel nicht zwischen "gleichgeschlechtlichen" gesucht Big Laugh

nimmst du
2.1) $\begin{eqnarray*} \alpha=90 - \alpha\quad{ } \forall\alpha\leq90° \end{eqnarray*}$

2.2) $\begin{eqnarray*} \alpha=\alpha-90\quad{ } \forall \alpha>90° \end{eqnarray*}$

damit hast du immer einen winkel $\begin{eqnarray*} \alpha \leq 90° \end{eqnarray*}$ .

hoffe, es stimmt so verwirrt

so ein unsinniger aufwand unglücklich

werner

07.03.2007, 13:30

Moosi

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Re: ...
Die einzige Ausnahme ist nur, wenn ich den Winkel der beiden Seitenkanten ausrechne - da erspare ich mir von Haus aus die Minusrechnerei ...? verwirrt

Naja, ob ich jetzt schlauer bin Big Laugh

Tja, unnötiger Aufwand - ich brauch das Ganze am Montag ...

07.03.2007, 13:43

riwe

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Re: ...
was meinst mit minusrechnerei.
das ergibt sich doch eh "vollautomatisch".
du wirst dir doch nicht jeden einzelfall merken wollen.
und du mußt dir klar machen woher das $\begin{eqnarray*} 90 - \alpha \end{eqnarray*}$ kommt.
$\begin{eqnarray*} sin\alpha=cos(90-alpha) \end{eqnarray*}$
rest siehe oben
und daher meine empfehlung s. oben
werner

und das mit den kanten stimmt (natürlich) so auch nicht.

07.03.2007, 14:02

Moosi

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Re: ...
Wenn ich ehrlich sein soll - ja ich hätte mir das alles auswendig gemerkt ... Augenzwinkern

... aber ich werd mir das nochmal zu Gemüte führen ( müssen ).

Mir ist da, hab ich bemerkt, doch nicht alles so klar ... traurig

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