Gaußsches Eliminationsverfahren

03.09.2022, 20:23

Mathman91

Gaußsches Eliminationsverfahren

Hallo,

eine Frage zum gaußschen Eliminationsverfahren.

Beim Gauschen Eliminationsverfahren kann ich ja die Zeilen tauschen.
Es ist aber auch möglich Spalten zu tauschen wichtig ist nur, das die gleichen Variablem immer in der gleichen Spalte sind.
Wie die Spalten getauscht werden, ist aber egal.
Ich kann Spalte a mit b tauschen, oder a mit c oder b mit c usw....

Beispiel 1:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2a & 6b & 1c \\ 3a & 14b & 25c \\ 5a & -3b & -2c \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 5 \\ 7 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Beispiel 2:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1c & 6b & 2a \\ 25c & 14b & 3a \\ -2c & -3b & 5a \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 5 \\ 7 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das heißt, ich darf Zeilen und Spalten tauschen.

Stimmt das so?

Viele Grüße

03.09.2022, 20:40

HAL 9000

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Nein, so schreibt man das nicht. Eine 3x3-Matrix ist nicht "gleich" einem dreidimensionalen Vektor. Was du meinst mit Spaltenvertauschung sollte man stattdessen so schreiben:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 6 & 1 \\ 3 & 14 & 25 \\ 5 & -3 & -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a\\ b\\ c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und nach Spaltentausch $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 6 & 2 \\ 25 & 14 & 3 \\ -2 & -3 & 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} c\\ b\\ a\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

03.09.2022, 21:27

hawe

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Vielleicht ergänzend zum HAL

Formal musst Du eine Spaltentauschmatrix (rechtsmultiplikation) und eine Zeilentauschmatrix (linksmultiplikation) einschieben:
$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{rrr}2&6&1\\3&14&25\\5&-3&-2\\\end{array}\right) \; \left(\begin{array}{rrr}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\\\end{array}\right) \; \left(\begin{array}{rrr}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\\\end{array}\right) \; \left(\begin{array}{r}a\\b\\c\\\end{array}\right) \end{eqnarray*}$
Tauschmatrizen sind selbstinvers

Eine Zusammenfassung zu Gauss und Elementarmatrizen siehe
https://www.geogebra.org/m/BpqJ28eP#chapter/206722

03.09.2022, 21:40

Mathman91

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Meine Schreibweise ist nicht falsch.
Ich habe diese Schreibweise gelernt und möchte diese auch beibehalten.

Aber es ist Richtig, das man Zeilen und Spalten vertauschen kann?

SG

03.09.2022, 21:47

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mathman91
Meine Schreibweise ist nicht falsch.

Ich hab jetzt keine Lust da weiter zu streiten, könnte nämlich so enden.

04.09.2022, 17:33

Mathman91

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Nettes Video, ich bin auch nicht zum streiten oder diskutieren hier.
Es gibt unterschiedliche Schreibweisen, deine ist nicht die einzige.
Ich habe die Matrix bereits ausmultipliziert, das machen viele so.

Stimmt das jetzt, das man Zeilen und Spalten wie in meinen beiden Beispielen tauschen darf?

Beispiel 1:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2a & 6b & 1c \\ 3a & 14b & 25c \\ 5a & -3b & -2c \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 5 \\ 7 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Beispiel 2:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1c & 6b & 2a \\ 25c & 14b & 3a \\ -2c & -3b & 5a \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 5 \\ 7 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

SG

04.09.2022, 18:18

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mathman91
Es gibt unterschiedliche Schreibweisen, deine ist nicht die einzige.

Es mag wohl verschiedene Darstellungsformen für irgendwelche Schemata zum Lösen von Gleichungssystemen geben. Aber zu Matrixschreibweise und der Bedeutung des Gleichheitszeichen haben solche "alternative Fakten", wie du sie hier verbreitest, eher wenige Anhänger. Wenn du Bestätigung für deine "Gleichungen" suchst, musst du also auf Leute warten, die darauf

Zitat:

Original von HAL 9000
Eine 3x3-Matrix ist nicht "gleich" einem dreidimensionalen Vektor.

pfeifen.

04.09.2022, 21:08

Finn_

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Die Schreibweise

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2a & 6b & 1c \\ 3a & 14b & 25c \\ 5a & -3b & -2c \end{pmatrix}\mathbf s = \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wäre zumindest formal korrekt. Hierbei soll

$\begin{eqnarray*} \mathbf s := \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} = \mathbf e_1+\mathbf e_2+\mathbf e_3 \end{eqnarray*}$

sein.

04.09.2022, 21:24

HAL 9000

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Das wäre eine Möglichkeit. Oder man beschränkt sich eben auf Rechenschemata ohne mit falschen Gleichheitszeichen operieren zu müssen, etwa mit entsprechenden Spaltenmarkern:

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{rrrr} a & b & c & \\ 2 & 6 & 1 & 5 \\ 3 & 14 & 25 & 7 \\ 5 & -3 & -2 & 0 \end{array} \end{eqnarray*}$ wird zu $\begin{eqnarray*} \begin{array}{rrrr} c & b & a & \\ 1 & 6 & 2 & 5 \\ 25 & 14 & 3 & 7 \\ -2 & -3 & 5 & 0 \end{array} \end{eqnarray*}$ .

So ähnlich wird ja verfahren in gewissen Algorithmen mit Spaltenpivotisierung.

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