Universelle Eigenschaft

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04.09.2022, 13:01	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Universelle Eigenschaft Hallöchen Sei M nicht leere Menge , K Körper. Zu zeigen ist, dass ein bis auf eindeutige Isomorphie eindeutiger K-Vektorraum V existiert, so dass: Es gibt eine Abbildung $\begin{eqnarray} i: M \rightarrow V \end{eqnarray}$ und Ist U weiterer Vektorraum mit $\begin{eqnarray} f: M \rightarrow U \end{eqnarray}$ , dann existiert genau ein Homomorphismus $\begin{eqnarray} \tilde{f}: V\rightarrow U \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \tilde{f}\circ i=f \end{eqnarray}$ Dies gilt es zu zeigen und ein kommutatives Diagramm zu zeichnen. Idee: Ich dachte erst, das hängt mit dem Tensorprodukt zusammen, aber da war ich wohl auf Glatteis...
04.09.2022, 13:06	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Da $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ keinerlei Struktur hat, gibts nicht viele Möglichkeiten einen Vektorraum daraus zu machen. Versuchs mal mit $\begin{eqnarray} M = \{ \textrm{Apfel}, \textrm{Birne} \} \end{eqnarray}$ .
04.09.2022, 13:13	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Meinst du damit die Aufgabenstellung sei fehlerhaft? Oder soll ich ernsthaft mit Äpfeln und Birnen rechnen?
04.09.2022, 13:17	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Du sollst wirklich mit Äpfel und Birnen rechnen. Man könnte auch $\begin{eqnarray} \{0, 1\} \end{eqnarray}$ nehmen, aber sowas führt dann schnell zur Versuchung Abhängigkeiten zu unterstellen. Die Aufgabe ist soweit ich sehe richtig und man kann auch aus Äpfel und Birnen einen Vektorraum bauen
04.09.2022, 13:27	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Also... ich könnte den Nullraum wählen... Dann ist i die Abbildung die alles nach Null schickt. f(Apfel)=f(Birne)=0 aber wenn $\begin{eqnarray} \tilde{f} \end{eqnarray}$ ein Homomorphismus ist muss bereits f die Nullabbildung sein... aber soweit ich das verstanden habe, ist f frei wählbar...
04.09.2022, 13:37	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau. D.h. du solltest nach der Abbildung $\begin{eqnarray} \iota \end{eqnarray}$ die beiden Werte noch auseinander halten können. Welche Vektorräume kennst du denn die 2 "Freiheitsgrade" haben?
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04.09.2022, 14:04	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Den R^2. Also kann ich allgemein, mein M abbilden auf den $\begin{eqnarray} \mathbb R^{\|m\|} \end{eqnarray}$ wenn U jetzt der Nullraum ist, dann ist $\begin{eqnarray} \tilde{f} \end{eqnarray}$ einfach die Nullabbildung. Wenn U ein Vektorraum kleiner oder gleicher Dimension wie V ist, dann finde ich Projektionen von R^\|m\| nach V, also insbesondere Homomorphismen. Bleibt der Fall zu betrachten, wenn U größer als V ist... aber auch da kann ich einfach die Identität nehmen, weil Wir brauchen ja nur einen Homomorphismus, keinen Endomorphismus... So oder ähnlich sollte es klappen, schätze ich
04.09.2022, 14:08	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Definitiv die richtige Richtung. Du kannst ja mal explizit eine Abbildung $\begin{eqnarray} \tilde f \end{eqnarray}$ finden für: $\begin{eqnarray} M = \{ \textrm{Apfel}, \textrm{Birne} \} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} i(\textrm{Apfel})=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}, i(\textrm{Birne})=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(\textrm{Apfel})=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}, f(\textrm{Birne})=\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Alternativ verallgemeiner das auf weitere Mengen. Spannend werden unendliche Mengen $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$
04.09.2022, 14:25	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Das war easy. Die lineare Abbildung ist hier gegeben durch die Matrix: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ verallgemeinert kann man sagen, man schickt die Elemente aus M auf ein Erzeugendensystem von R^\|M\|, die Standardbasis, und dann kann man sich daraus dann immer solche Matrizen basteln. Was ich aber machen soll wenn \|M\|=unendlich weiß ich gerade nicht... Kann ich dann einfach den unendlichen R^unendlich K-Vektorraum nehmen, oder ist das illegal? Sonst wüsste ich nicht...
04.09.2022, 14:42	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Interessanterweise wäre die Antwort $\begin{eqnarray} K^M \end{eqnarray}$ . Das ist der Vektorraum aller Funktionen $\begin{eqnarray} f \colon M \to K \end{eqnarray}$ . So kannst du eine Familie $\begin{eqnarray} \{ f_m \} \end{eqnarray}$ definieren mit $\begin{eqnarray} f_m(m) = 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f_m(m') = 0 \end{eqnarray}$ falls $\begin{eqnarray} m \neq m' \end{eqnarray}$ .
04.09.2022, 15:11	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach okay. Darauf wär ich jetzt nicht so schnell gekommen... Dann sollten wir ja noch ein Diagramm zeichnen: ist das so richtig? (bis darauf dass ich den Pfeil falschrum gemacht habe...)
04.09.2022, 15:45	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Sieht gut aus. Und wie ich darauf gekommen bin: Erst einmal habe ich an Folgen gedacht (unendliche Vektoren). Folgen sind spezielle Funktionen. Und damit hatte ich dann die Verallgemeinerung für potentiell noch größere Mengen.
04.09.2022, 21:21	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Coolio ja ich schätze man entwickelt ein Gefühl für sowas... (Manchmal,allerdings, passieren merkwürdige Dinge im Unendlichen daran muss ich mich noch gewöhnen...) Danke dir jedenfalls!

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