Abbildung

04.09.2022, 13:46

prime

Abbildung

Meine Frage:
Hallo

Gegeben ist

$\begin{eqnarray*} f:\mathbb{R} \to\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ zweimal stetig differenzierbar mit $\begin{eqnarray*} f''+f = 0 \end{eqnarray*}$

Mich würde interessieren was
$\begin{eqnarray*} f''+f = 0 \end{eqnarray*}$ ist

Ist das die Abbildungsvorschrift oder der Vektorraum
Oder etwas ganz anderes?

Danke und Gruß

Meine Ideen:
Muss raten
Vektorraum

04.09.2022, 14:11

HiBee123

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Abbildung
Hi Wink

das ist eine homogene Differentialgleichung smile

Gruß

04.09.2022, 14:50

prime

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von HiBee123
das ist eine homogene Differentialgleichung smile

Ja das ist schon klar
Aber was bedeutet die hier aus Sicht der linearen Algebra?

04.09.2022, 15:14

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Aus Sicht der linearen Algebra ist die Menge der Lösungen nach dem UVR - Kriterium ein Untervektorraum des Vektorraums der 2 mal stetig differenzierbaren reellen Abbildungen.

04.09.2022, 17:06

prime

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Elvis
Aus Sicht der linearen Algebra ist die Menge der Lösungen nach dem UVR - Kriterium ein Untervektorraum des Vektorraums der 2 mal stetig differenzierbaren reellen Abbildungen.

Danke soweit

Die Lösung ist doch
$\begin{eqnarray*} f(x)=C_{1} sin(x)+C_{2}cos(x) \end{eqnarray*}$

Kann man dann schreiben

$\begin{eqnarray*} f:\mathbb{R} \to\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ zweimal stetig differenzierbar mit $\begin{eqnarray*} f''+f = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f:x\mapsto C_{1} sin(x)+C_{2}cos(x) \end{eqnarray*}$

Das wäre dann aber keine lineare Abbildung

04.09.2022, 17:41

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

Wer hat behauptet, dass f eine lineare Abbildung sein soll?
Die Abbildungen bilden einen Untervektorraum, da Summe und Vielfache einer solchen Funktion wieder eine Lösung der Differentialgleichung ergibt. Nichts anderes hat Elvis oben geschrieben.

04.09.2022, 17:59

prime

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Helferlein
Wer hat behauptet, dass f eine lineare Abbildung sein soll?

Das war von mir eine Vermutung

Nochmal die Frage
Stimmt das?

$\begin{eqnarray*} f:\mathbb{R} \to\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ zweimal stetig differenzierbar mit $\begin{eqnarray*} f''+f = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f:x\mapsto C_{1} sin(x)+C_{2}cos(x) \end{eqnarray*}$

04.09.2022, 18:19

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.

04.09.2022, 18:24

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Um das einmal aufzudröseln. Nimm dir etwas Zeit. Danach sollte das klar sein.

Funktionen $\begin{align*} f,g \end{align*}$ mit gemeinsamem Definitionsbereich $\begin{align*} D \subseteq \mathbb{R} \end{align*}$ und reellen Werten kann man immer addieren. Die Summe $\begin{align*} f+g \end{align*}$ wird punktweise erklärt:

$\begin{align*} \left( f + g \right)(x) = f(x) + g(x) \end{align*}$ für alle $\begin{align*} x \in D \end{align*}$

Man kann eine solche Funktion auch mit einem Skalar $\begin{align*} \lambda \in \mathbb{R} \end{align*}$ multiplizieren. Das geschieht ebenfalls punktweise:

$\begin{align*} \left( \lambda f \right)(x) = \lambda \cdot f(x) \end{align*}$ für alle $\begin{align*} x \in D \end{align*}$

Sind nun $\begin{align*} f,g \end{align*}$ zwei $\begin{align*} k \end{align*}$ -mal stetig differenzierbare Funktionen, so sind auch $\begin{align*} f+g \end{align*}$ und $\begin{align*} \lambda f \end{align*}$ solche Funktionen. Das liegt einfach an der Summen- und Faktorregel, die man $\begin{align*} k \end{align*}$ -mal nacheinander anwenden kann:

$\begin{align*} \left( f+g \right)^{(k)} = f^{(k)} + g^{(k)} \, , \ \ \left( \lambda f \right)^{(k)} = \lambda \cdot f^{(k)} \end{align*}$

Mit diesen Festlegungen bilden die $\begin{align*} k \end{align*}$ -mal stetig differenzierbaren Funktionen auf $\begin{align*} D \end{align*}$ einen Vektorraum. Er wird mit $\begin{align*} C^k(D) \end{align*}$ bezeichnet. Mit $\begin{align*} C^0(D) \end{align*}$ meint man speziell den Vektorraum der auf $\begin{align*} D \end{align*}$ stetigen Funktionen. Wenn $\begin{align*} D \end{align*}$ im Zusammenhang klar ist, schreibt man etwas lässiger einfach nur $\begin{align*} C^k \end{align*}$ statt $\begin{align*} C^k(D) \end{align*}$ . Offenbar erhält man mit

$\begin{align*} C^0 \supset C^1 \supset C^2 \supset C^3 \supset \ldots \end{align*}$

eine unendliche Kette von Unterräumen. Ihr Durchschnitt ist der Vektorraum der unendlich oft differenzierbaren Funktionen $\begin{align*} C^{\infty} \end{align*}$ :

$\begin{align*} C^0 \supset C^1 \supset C^2 \supset C^3 \supset \ldots \supset \ldots \supset C^{\infty} \end{align*}$

Nach diesem länglichen Vorspann kommen wir zu deinem Problem. Nun ist speziell $\begin{align*} D=\mathbb{R} \end{align*}$ . Wir können lineare Abbildungen $\begin{align*} \varphi \end{align*}$ von $\begin{align*} V = C^2 \end{align*}$ nach $\begin{align*} W = C^0 \end{align*}$ betrachten. Eine solche wäre zum Beispiel

$\begin{align*} \varphi: V \to W , \ f \mapsto \varphi(f) = f'' + f \end{align*}$

Daß $\begin{align*} \varphi \end{align*}$ tatsächlich linear ist, läßt sich leicht nachrechnen. Du solltest dich zur Übung davon vergewissern. Man kann $\begin{align*} \varphi \end{align*}$ zum Beispiel auf die Funktion $\begin{align*} h \end{align*}$ mit $\begin{align*} h(x) = x + \operatorname{e}^{2x} \end{align*}$ anwenden:

$\begin{align*} h(x) = x + \operatorname{e}^{2x} \end{align*}$

$\begin{align*} h''(x) = 4 \operatorname{e}^{2x} \end{align*}$

Definiert man daher $\begin{align*} l \end{align*}$ durch

$\begin{align*} l(x) = h''(x) + h(x) = x + 5 \operatorname{e}^{2x} \end{align*}$ ,

so ist $\begin{align*} l \end{align*}$ das Bild von $\begin{align*} h \end{align*}$ unter $\begin{align*} \varphi \end{align*}$ :

$\begin{align*} \varphi(h) = l \end{align*}$

Interessant sind bei unserem $\begin{align*} \varphi \end{align*}$ die Funktionen $\begin{align*} c \end{align*}$ mit $\begin{align*} c(x) = \cos(x) \end{align*}$ und $\begin{align*} s \end{align*}$ mit $\begin{align*} s(x) = \sin(x) \end{align*}$ , denn es gilt

$\begin{align*} \varphi(c) = 0 \, , \ \ \varphi(s) = 0 \end{align*}$ ,

wobei die $\begin{align*} 0 \end{align*}$ hier für die Nullfunktion: $\begin{align*} 0(x) = 0 \end{align*}$ für alle $\begin{align*} x \end{align*}$ , steht. Die Nullfunktion ist das neutrale Element von $\begin{align*} V \end{align*}$ und $\begin{align*} W \end{align*}$ . Damit liegen $\begin{align*} s \end{align*}$ und $\begin{align*} c \end{align*}$ im Kern von $\begin{align*} \varphi \end{align*}$ , folglich auch all ihre Linearkombinationen $\begin{align*} \lambda c + \mu s \end{align*}$ . Da $\begin{align*} s \end{align*}$ und $\begin{align*} c \end{align*}$ linear unabhängige Elemente von $\begin{align*} V \end{align*}$ sind (warum?), enthält der Kern von $\begin{align*} \varphi \end{align*}$ zumindest den von $\begin{align*} c \end{align*}$ und $\begin{align*} s \end{align*}$ aufgespannten zweidimensionalen Unterraum. Daß das in Wahrheit schon alle Elemente des Kerns sind, lernt man in einer Vorlesung über Differentialgleichungen beim Thema "Lineare Differentialgleichungen". In diesem speziellen Fall gibt es aber einen Trick, wie man das ohne große Theorie sehen kann.
Dazu nehmen wir ein $\begin{align*} f \end{align*}$ mit $\begin{align*} \varphi(f)=0 \end{align*}$ und bilden damit die Funktionen

$\begin{align*} u = fc - f's \, , \ \ v = fs + f'c \end{align*}$

Es gilt: $\begin{align*} u' = f'c - fs - f''s - f'c = - \left( f'' + f \right)s = 0 \end{align*}$

Damit ist $\begin{align*} u \end{align*}$ konstant, etwa $\begin{align*} u = \lambda \end{align*}$ .
Analog zeigt man: $\begin{align*} v'=0 \end{align*}$ , womit auch $\begin{align*} v \end{align*}$ konstant ist, etwa $\begin{align*} v = \mu \end{align*}$ . Es bestehen daher die zwei Gleichungen

$\begin{align*} fc - f's = \lambda \, , \ \ fs + f'c = \mu \end{align*}$

Die erste Gleichung wird mit $\begin{align*} c \end{align*}$ , die zweite mit $\begin{align*} s \end{align*}$ multipliziert, dann werden die Gleichungen addiert. Dabei fallen die gemischten Glieder weg, und mit dem trigonometrischen Pythagoras bekommt man

$\begin{align*} f \cdot \left( c^2 + s^2 \right) = \lambda c + \mu s \end{align*}$

$\begin{align*} f = \lambda c + \mu s \end{align*}$

Der Kern von $\begin{align*} \varphi \end{align*}$ ist damit tatsächlich ein zweidimensionaler Unterraum von $\begin{align*} V = C^2 \end{align*}$ , der von den trigonometrischen Funktionen $\begin{align*} c \end{align*}$ und $\begin{align*} s \end{align*}$ aufgespannt wird.

04.09.2022, 19:05

prime

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antworten

Neue Frage »

Antworten »

Abbildung

Verwandte Themen