Unzerlegbarer K[x]-Modul

04.09.2022, 21:41

HiBee123

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Unzerlegbarer K[x]-Modul

Schönen guten Abend !

Wir haben einen K[x] Modul $\begin{eqnarray*} K^n_A \end{eqnarray*}$ folgendermaßen definiert: A ist eine nxn Matrix.
und $\begin{eqnarray*} K[x] X K^n \rightarrow K^n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (p,v) \mapsto p(A)\cdot v \end{eqnarray*}$

und die Frage ist:
Wann ist dieser Modul unzerlegbar

Meine Idee:

Also ich würde sagen, wenn n=1 ist. Dann hat K^n dimension 1 und ist somit unzerlegbar.

Gruß

05.09.2022, 08:50

jester.

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Ja, $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ ist eine richtige Antwort. Aber es gibt noch mehr:
Sieh dir mal für $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ die Varianten $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} K=\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ an.

05.09.2022, 10:28

HiBee123

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Hallo Jester.

Ich hab mich am Beweis versucht, aber scheitere. So bin ich vorgegangen:

$\begin{eqnarray*} p^0(A)\cdot \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p^1(A)\cdot \begin{pmatrix}a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p^2(A)\cdot \begin{pmatrix}a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -a \\ b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p^3(A)\cdot \begin{pmatrix}a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b \\ -a\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also sind die Elemente in meinem Modul Linearkombinationen davon
$\begin{eqnarray*} <\begin{pmatrix} b \\ -a\end{pmatrix},\begin{pmatrix} a \\ b\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -a \\ b\end{pmatrix}> \end{eqnarray*}$

und jetzt hab ich irgendwo einen Denkfehler unglücklich

unglücklich

: Ich würde meinen man kann das in 2 Untermoduln zerlegen, wobei der eine von Elementen wo nur ein Eintrag a und der andere 0 ist und der andere von Elementen, wo nur ein Eintrag b und der andere 0 ist aufgespannt wird...

05.09.2022, 12:40

jester.

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Ich merke gerade, ich hätte vielleicht verschiedene Buchstaben für die zwei Matrizen benutzen sollen.
Also für das erste $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ bist du eigentlich nah dran zu erkennen, dass der zugehörige Modul sogar einfach ist (d.h. es gibt keine nichttrivialen Untermoduln). Daraus folgt insbesondere, dass der Modul unzerlegbar ist (denn in was soll er zerlegt werden, wenn es keine echten Untermoduln gibt?).

Die zweite Matrix nenne ich jetzt mal $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ . Rechnen wir mal $\begin{eqnarray*} B\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}b\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Wir suchen einen Untermodul, der als $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ -Vektorraum eindimensional ist, also $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}b\\0\end{pmatrix} \in \langle\begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}\rangle \end{eqnarray*}$ .
Man findet $\begin{eqnarray*} b=0 \end{eqnarray*}$ , d.h. der Untermodul ist genau der Kern der Matrix $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ , der z.B. von $\begin{eqnarray*} e_1 := \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ erzeugt wird.
Man kann keinen weiteren Untermodul finden und somit ist $\begin{eqnarray*} 0\leq \langle e_1 \rangle \leq \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ eine komplette Übersicht über alle Untermoduln.
Der nun betrachtete Modul ist also nicht einfach (es gibt einen nichttrivialen Untermodul), aber schon aus "Anzahlgründen" kann er nicht zerlegbar sein.

Worauf ich dich mit diesen Beispielen bringen wollte, ist das folgende: Betrachte $\begin{eqnarray*} K_A^n \end{eqnarray*}$ (wie in deiner Notation) und sei $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} K[X] \end{eqnarray*}$ -Untermodul.
Dann gilt insbesondere $\begin{eqnarray*} Au \in U \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} u\in U \end{eqnarray*}$ - manchmal schreibt man auch $\begin{eqnarray*} AU\subseteq U \end{eqnarray*}$ .
Diese Eigenschaft kennst du. Wie kann man solche Teilräume abhängig von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ finden?

05.09.2022, 14:09

HiBee123

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Zitat:

Original von jester.
bist du eigentlich nah dran zu erkennen, dass der zugehörige Modul sogar einfach ist

ach bin ich das?

Also bei B seh ich das ein. das mit den "Anzahlgründen" leuchtet mir ein. (aber wieso nicht einfach? Was gibt es denn für einen nicht-trivialen Untermodul? Meinst du sowas wie Spann über e2? )

A muss ein Ideal sein?

05.09.2022, 14:15

jester.

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Zitat:

Original von HiBee123
Also bei B seh ich das ein. das mit den "Anzahlgründen" leuchtet mir ein. (aber wieso nicht einfach? Was gibt es denn für einen nicht-trivialen Untermodul? Meinst du sowas wie Spann über e2? )

Nein, der nichttriviale Untermodul ist genau der von $\begin{eqnarray*} e_1 = \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ erzeugte Untermodul.

Edit: Vielleicht noch als Nachtrag, der von $\begin{eqnarray*} e_2 \end{eqnarray*}$ aufgespannte $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ -Untervektorraum ist kein Untermodul. Das liegt daran, dass $\begin{eqnarray*} e_2 \end{eqnarray*}$ als Untermodul den ganzen Raum erzeugt, da ja $\begin{eqnarray*} Ae_2 = e_1 \end{eqnarray*}$ ist.

Zitat:

A muss ein Ideal sein?

Was meinst du? $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist doch eine $\begin{eqnarray*} n\times n \end{eqnarray*}$ -Matrix, das schreibst du doch selbst in deinem ersten Beitrag so.

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05.09.2022, 14:42

HiBee123

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Ach so!

smile

und weil es nur einen Untermodul gibt, kann der Modul nicht in 2 nicht-triviale Untermoduln zerlegt werden.

Ach, und jetzt hab ich meinen Denkfehler bei Matrix A entdeckt: Wenn ich irgendein Element aus meinem Spann nehme und sage, dass mir damit jetzt ein Untermodul erzeugt wird krieg ich nach Anwendung von p aus dem K[x], p(A) jedes andere Element im Span, somit kann es keine nicht-trivialen Untermoduln geben.

Ja, sorry das mit dem Ideal war Unfug. Da bin ich leider noch am rätseln, wie man solche Teilräume finden kann...

05.09.2022, 14:45

jester.

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Das sind $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ -invariante Unterräume. Die einfachsten Unterräume dieser Art sind die Eigenräume, die "komplizierteren" nennt man auch Haupträume.
Tipp: Man findet diese Unterräume, indem man sich bestimmte Polynome anschaut Augenzwinkern

Augenzwinkern

05.09.2022, 15:56

HiBee123

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Oh weh... Meinst du charakteristische Polynome? verwirrt

verwirrt

Aber das A was du mir gegeben hast hat x^2+1 als charakteristisches Polynom... Huch.... Also komplexe Eigenwerte?
Ich glaub jetzt drifte ich total ab...

05.09.2022, 17:04

jester.

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Ja, du bist schon ziemlich in der richtigen Richtung unterwegs. Es geht etwas konkreter um das Zusammenspiel von charakteristischem und Minimalpolynom.

Komplexe Eigenwerte haben damit irgendwie nur indirekt was zu tun, ich hatte mich schon mit voller Absicht für $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ als Grundkörper entschieden. In der Regel hält man den Grundkörper auch erstmal fest, denn die Eigenschaften der betrachteten Objekte ändern sich ggf. massiv, wenn man zu einem anderen Grundkörper übergeht.
Ich reiche hierzu noch einen Link nach.
Edit: Hier ist der Link zu einem Post, in dem das Thema mit dem Grundkörper auch noch einmal erläutere: Jordan-Normalform
Ich habe oft das Gefühl, dass gerade dadurch, dass sehr häufig $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ in Übungsaufgaben verwendet werden, und man $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ "ganz einfach" (durch Adjunktion von $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ ) erhält, eine Tendenz besteht, sehr "leichtfertig" von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ überzugehen.
Wäre die Aufgabe über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ gestellt, kämen vermutlich weniger Leute auf die Idee, zu $\begin{eqnarray*} \overline{\mathbb{Q}} \end{eqnarray*}$ überzugehen. Selbiges gilt wahrscheinlich, wenn die Aufgabe über einem endlichen Körper gestellt gewesen wäre. Bzw. ersetze "Aufgabe" durch "Beispiel" - das war ja von mir. Beim nächsten Mal benutze ich einen endlichen Körper Big Laugh

Big Laugh

Ende Edit

Im konkreten Fall von $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ hatten wir ja festgestellt, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}[X] \end{eqnarray*}$ -Modul einfach und somit auch unzerlegbar ist.
Geht man zu $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ über, so ist mit demselben $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ der $\begin{eqnarray*} \mathbb{C}[X] \end{eqnarray*}$ -Modul $\begin{eqnarray*} \mathbb{C}^2 \end{eqnarray*}$ als direkte Summe zweier eindimensionaler Unterräume zerlegbar: $\begin{eqnarray*} \mathbb{C}^2 = \langle \begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix} \rangle \oplus \langle \begin{pmatrix}1\\-i\end{pmatrix}\rangle \end{eqnarray*}$ ist eine Zerlegung als $\begin{eqnarray*} \mathbb{C}[X] \end{eqnarray*}$ -Moduln.

05.09.2022, 18:39

HiBee123

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Toll wie locker du zu allem Beispiele findest! Freude

Freude

Das würde ich auch gerne...

Also, ich tappe immer noch im Dunklen, aber mir ist aufgefallen, dass bei deinen Beispielpolynomen Minimalpolynom und charakteristisches gleich sind. Aber ob das immer so seien muss und wieso...

dein Erstes Polynom ist eine Begleitmatrix, aber das ist vermutlich Zufall, das zweite ist schließlich keine...

05.09.2022, 19:48

jester.

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Zitat:

Original von HiBee123
Toll wie locker du zu allem Beispiele findest! Freude

Freude

Das würde ich auch gerne...

Das wirst du, wenn du das hier alles mal verstanden hast, und selber genug Beispiele gesehen hast. Am Anfang kannte ich auch all diese Beispiele nicht, bzw. konnte sie nicht so locker finden.

Zitat:

Also, ich tappe immer noch im Dunklen, aber mir ist aufgefallen, dass bei deinen Beispielpolynomen Minimalpolynom und charakteristisches gleich sind. Aber ob das immer so seien muss und wieso...

Jo, im Fall von $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix}0&-1 \\ 1&0\end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{2\times 2} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \chi_A = \mu_A \end{eqnarray*}$ , aber das reicht noch nicht ganz aus für die Unzerlegbarkeit.
Bei $\begin{eqnarray*} B=\begin{pmatrix} 1 \\ & 2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ haben wir auch $\begin{eqnarray*} \chi_B = \mu_B = X^2-3X+2 \end{eqnarray*}$ , aber da dieses Polynom sich als $\begin{eqnarray*} (X-1)(X-2) \end{eqnarray*}$ faktorisiert, können wir den zugehörigen Modul in die direkte Summe der zwei Eigenräume von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ zerlegen. Die Eigenräume sind $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}[X] \end{eqnarray*}$ -Untermoduln.
Nun erinnern wir uns wieder an $\begin{eqnarray*} C=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} \chi_C = \mu_C = X^2 \end{eqnarray*}$ . Hier ist der Modul wieder unzerlegbar (hatten wir ja schon gesehen).
Wir suchen also eine weitere Eigenschaft, neben $\begin{eqnarray*} \chi = \mu \end{eqnarray*}$ , aus der die Unzerlegbarkeit folgt.

In der Hoffnung, dass ich dich hiermit in die richtige Richtung stupsen kann: Ich mache mal einen kleinen gedanklichen Sprung und nehme an, dass wir einen Vektor $\begin{eqnarray*} 0\neq v \in K^n \end{eqnarray*}$ finden können, sodass $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ den ganzen $\begin{eqnarray*} K^n \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} K[X] \end{eqnarray*}$ -Modul für die Matrix $\begin{eqnarray*} A\in K^{n\times n} \end{eqnarray*}$ erzeugt.
Betrachten wir dann die Abbildung
$\begin{eqnarray*} f ~:~ K[X] \to K^n, ~ p\mapsto p(A)v \end{eqnarray*}$
Der Kern von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist dann das von $\begin{eqnarray*} \mu_A \end{eqnarray*}$ erzeugte Hauptideal und es ist $\begin{eqnarray*} K[X]/(\mu_A) \cong K^n \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} K[X] \end{eqnarray*}$ -Moduln. Der Homomorphiesatz sagt uns dann bekanntlich, dass der Untermodulverband von $\begin{eqnarray*} K^n \end{eqnarray*}$ isomorph ist zum Verband der Ideale von $\begin{eqnarray*} K[X] \end{eqnarray*}$ , welche $\begin{eqnarray*} (\mu_A) \end{eqnarray*}$ enthalten. Letzter ist wiederum isomorph zum Teilerverband von $\begin{eqnarray*} \mu_A \end{eqnarray*}$ . Mach dir mal Gedanken, wie der Untermodulverband aussehen darf, damit der Modul unzerlegbar ist - und wie sich das als Eigenschaft des Polynoms formulieren lässt (deswegen der Sprung zum Teilerverband des Minimalpolynoms).

Zitat:

dein Erstes Polynom ist eine Begleitmatrix, aber das ist vermutlich Zufall, das zweite ist schließlich keine...

Hier wirfst du leider wieder Begriffe durcheinander. Ein Begleitmatrix ist eine Matrix, aber ein Polynom ist ein Polynom.

05.09.2022, 22:07

HiBee123

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Zitat:

Original von jester.

Das wirst du, wenn du das hier alles mal verstanden hast, und selber genug Beispiele gesehen hast.

Boah, das wäre so großartig! Ich wollte schon immer Mathematikerin werden!! Tanzen

Tanzen

ich hab so das Gefühl, das unsere Matrix maximal einen Eigenwert haben darf, da sich sonst unser zugehöriger Modul immer zerlegen lassen wird. aus Cayley-Hamilton folgt, dass das charakteristische Polynom der Matrix 0 sein muss. Gäbe es jetzt ein kleineres Polynom, welches 0 sein muss... Ich seh noch keinen Widerspruch, warum also müssen charakteristisches Polynom und minimalpolynom übereinstimmen... mmhh... Vielleicht reicht es ja wenn nur die obige Eigenwerteigenschaft erfüllt ist? Ach ne- ich weiß! Weil unser Kern maximale Dimension haben soll. Also auch unser Minimalpolynom. Deshalb sind die also gleich!

Ach so, ich meinte dass das die Begleitmatrix zu einem Polynom ist.

Ich hoffe ich hab jetzt nicht zu viel Quatsch erzählt...

05.09.2022, 22:49

jester.

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Da steckt jetzt wieder eine richtige Erkenntnis drin, aber irgendwie ist alles immer noch ganz ungenau.
Nur mal zur Einordnung, bist du Student/-in? Und wenn ja, dann in Mathematik oder in einem anderen Fach?

Zur Sache: Das mit den zwei verschiedenen Eigenwerten ist einerseits richtig, andererseits noch nicht die ganze Wahrheit. Ist $\begin{eqnarray*} \mu_A = p\cdot q \end{eqnarray*}$ als Polynom faktorisierbar als Produkt zweier teilerfremder Polynome (dies ist insbesondere eben bei zwei verschiedenen Eigenwerten der Fall), so zerlegt sich $\begin{eqnarray*} K[X]/(\mu_A) \cong K[X]/(p) \oplus K[X]/(q) \end{eqnarray*}$ (das ist der chinesische Restsatz).

Deine Überlegungen zur Eigenschaft $\begin{eqnarray*} \chi_A = \mu_A \end{eqnarray*}$ - die ich ja extra erstmal einfach vorausgesetzt hatte - gehen aber auch in eine ganz gute Richtung. Denn wenn z.B. $\begin{eqnarray*} \chi_A = X^3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mu_A=X^2 \end{eqnarray*}$ ist, dann ist $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ähnlich zu $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0&1\\&0 \\ &&0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} K^3 \end{eqnarray*}$ ist als $\begin{eqnarray*} K[X] \end{eqnarray*}$ -Modul zerlegbar als $\begin{eqnarray*} \langle e_1, e_2 \rangle \oplus \langle e_3 \rangle \end{eqnarray*}$ .

Ich finde das alles am leichtesten einzusehen, indem man den Hauptsatz über e.e. Moduln über Hauptidealbereichen ins Spiel bringt.
Der besagt nämlich, dass es Polynome $\begin{eqnarray*} f_1,...,f_n \in K[X] \end{eqnarray*}$ (ja, das ist dasselbe $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ wie die Dimension von $\begin{eqnarray*} K^n \end{eqnarray*}$ ) gibt mit $\begin{eqnarray*} f_i \mid f_{i+1} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} 1\leq i \leq n \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} K^n \cong \bigoplus_{i=1}^n K[X]/(f_i) \end{eqnarray*}$ .
Dabei ist $\begin{eqnarray*} f_n = \mu_A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \prod_{i=1}^n f_i = \chi_A \end{eqnarray*}$ .
Damit findet man dann die folgende Charakterisierung heraus:
Der $\begin{eqnarray*} K[X] \end{eqnarray*}$ -Modul $\begin{eqnarray*} K^n \end{eqnarray*}$ ist genau dann unzerlegbar, wenn es ein irreduzibles Polynom $\begin{eqnarray*} p\in K[X] \end{eqnarray*}$ und eine natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} \ell \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} \chi_A = \mu_A = p^\ell \end{eqnarray*}$ .

Jetzt habe ich also "aufgelöst". Aber ich wusste nicht, wie ich dich noch besser zum Ziel hätte führen können.
Ich hoffe das hilft dir weiter.

05.09.2022, 23:08

HiBee123

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Ich studiere Mathe an der RWTH, smile

smile

Okay, prima Freude

Freude

Jetzt weiß ich etwa wie das ganze funktioniert, danke! (Ein ganz klein wenig verwunderlich bleibt es trotzdem... mit irreduziblen Polynomen hatten wir noch nicht so viel am Hut)

P.s: Ich hätte da auch mal ne Frage: Ich hab gesehen du hast mehrere Artikel geschrieben. Ab wann darf man Artikel schreiben? Wenn ich etwas weiter in meinem Studium bin, darf ich dann vielleicht auch mal sowas schreiben? - Das wäre schon ziemlich cool! Ich find das Matheboard echt toll und würde liebend gern auch mal was dazu beitragen! Macht echt Spaß hier mit euch! Big Laugh

Big Laugh

06.09.2022, 09:04

jester.

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Ja dann passen auf jeden Fall Motivation und Interesse. Ich hoffe ich trete dir nicht zu nahe, wenn ich dir den Rat gebe, dir noch eine etwas präzisere Arbeitsweise anzueignen.

Das mit den Artikeln weiß ich nicht mehr genau, sprich doch mal einen der Moderatoren an.

06.09.2022, 09:48

HiBee123

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Zitat:

Original von jester.
Ich hoffe ich trete dir nicht zu nahe,

Ne Quatsch. ich bin ja da um zu lernen! Danke für alles Blumen

Blumen

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