Linksmodul=Rechtsmodul

05.09.2022, 11:22

HiBee123

Linksmodul=Rechtsmodul

Hallo!

ich hab gerade drüber nachgedacht, wann ein Linksmodul ein Rechtsmodul ist....
also offensichtlich gilt dies, wenn r.m=m.r ist,
aber gibt es noch andere oder schwächere Bedingungen?

Die Kommutativität des Rings wird wohl nicht reichen...

05.09.2022, 12:51

jester.

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Du schreibst einfach $\begin{eqnarray*} r.m = m.r \end{eqnarray*}$ , aber wenn $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ein Linksmodul über einem Ring $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ist, dann ist doch gar nicht definiert, was $\begin{eqnarray*} m.r \end{eqnarray*}$ überhaupt heißen soll.

Sei also $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ -Linksmodul. Dann wird $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ zu einem $\begin{eqnarray*} R^{op} \end{eqnarray*}$ -Rechtsmodul durch
$\begin{eqnarray*} M\times R^{op}\to M ~:~ (m,r) \mapsto m*r := r.m \end{eqnarray*}$
Dabei ist $\begin{eqnarray*} R^{op} \end{eqnarray*}$ der "Opposite Ring" mit zugrunde liegender Menge $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ , Addition von $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ und Multiplikation $\begin{eqnarray*} \circ \end{eqnarray*}$ definiert durch $\begin{eqnarray*} x\circ y = yx \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x,y \in R \end{eqnarray*}$ .

Wenn jetzt $\begin{eqnarray*} R\cong R^{op} \end{eqnarray*}$ ist, dann sind also Links- und Rechtsmoduln quasi dasselbe. Genau genommen geht es an dieser Stelle in die Kategorientheorie und es liegen äquivalente(?) Kategorien vor. Ich bin an der Stelle leider nicht mehr ganz sattelfest - deswegen schrieb ich "quasi".

Ist $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ kommutativ, so ist sicherlich $\begin{eqnarray*} R\cong R^{op} \end{eqnarray*}$ . Das ist aber auch für viele nichtkommutative Ringe erfüllt. Z.B. ist jeder Matrixring zu seinem Opposite Ring isomorph, der Isomorphismus ist durch das Transponieren gegeben.

05.09.2022, 14:03

HiBee123

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Uff. Kategorientheorie... klingt kompliziert. geschockt

Also reicht die Kommutativität des Ringes doch! wegen:

Zitat:

Original von jester.

Ist $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ kommutativ, so ist sicherlich $\begin{eqnarray*} R\cong R^{op} \end{eqnarray*}$ .

Nur das "Wieso" sehe ich noch nicht ganz... ich könnte mir Beispiele vorstellen, wo R kommutativ ist, aber m * r != r.m ist...

05.09.2022, 14:12

jester.

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Jo, die Kommutativität von $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ist hinreichend für $\begin{eqnarray*} R\cong R^{op} \end{eqnarray*}$ , und somit auch für die Äquivalenz der Modulkategorien.
Der Matrixring ist aber ein Beispiel dafür, dass Kommutativität nicht notwendig ist.

Zitat:

Original von HiBee123
Nur das "Wieso" sehe ich noch nicht ganz... ich könnte mir Beispiele vorstellen, wo R kommutativ ist, aber m * r != r.m ist...

Ich bin mir nicht ganz sicher, was du meinst. Aber meine Wahl $\begin{eqnarray*} m*r := r.m \end{eqnarray*}$ ist ja nur ein Weg, aus einem $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ -Linksmodul einen Rechtsmodul über $\begin{eqnarray*} R^{op} \end{eqnarray*}$ zu gewinnen.
Ist $\begin{eqnarray*} R=\mathbb{C} \end{eqnarray*}$ , so könnte man ja zum Beispiel mit der komplexen Konjugation auch sowas wie $\begin{eqnarray*} m*r := \overline{r}.m \end{eqnarray*}$ machen.

05.09.2022, 14:29

HiBee123

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Ich bin mir gerade selbst unsicher was ich gemeint habe... verwirrt

Ich dachte halt es gibt vielleicht kommutative Ringe wo der Rechtsmodul anders als der Linksmodul ist...

05.09.2022, 14:41

jester.

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Hmm, ich glaube ich beginne zu verstehen, wo dein Problem herkommt. Ich versuche nochmal, den Knoten zu lösen. Es gibt nicht "den" Links- oder "den" Rechtsmodul. Es gibt einen Ring $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ und eine Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ zusammen mit - beispielsweise - einer $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ -Linksmodulstruktur. Das ist dann eine Abbildung $\begin{eqnarray*} R\times M \to M \end{eqnarray*}$ mit den bekannten Eigenschaften.
Das war es dann aber auch schon. Es gibt da dann keine Rechtsmodulstruktur. Zwar kann man über "gutartigen" Ringen einfach auch mal so etwas wie $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}5 = 5 \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\15 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ machen, ohne in große Schwierigkeiten zu kommen. Damit kann man sich also so eine Vorstellung aneignen, dass Links- und Rechtsmoduln "irgendwie" dasselbe seien. Aber das ist halt komplett unsauber und man sollte es trennen, damit man nicht an einer Stelle wie der, an der wir jetzt sind, verwirrt wird.

Vielleicht hilft auch dieses Gegenbeispiel noch: Sei $\begin{eqnarray*} R=\mathbb{Q}^{2\times 2} \end{eqnarray*}$ , also die $\begin{eqnarray*} 2\times 2 \end{eqnarray*}$ -Matrizen über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} M:=\left\{ \begin{pmatrix} a & 0 \\ b & 0 \end{pmatrix} ~|~ a,b \in \mathbb{Q} \right\} \end{eqnarray*}$ .
Dann ist $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ -Linksmodul (die Linksmodulstruktur ist einfach durch Matrixmultiplikation mit Elementen aus $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ von links gegeben), aber kein $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ -Rechtsmodul, was man schon durch Multiplikation von rechts mit $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0&1 \\ 0&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ sieht.

Ich hoffe das macht das Ganze etwas klarer...

05.09.2022, 14:54

HiBee123

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Ja super.

Vielen Dank! smile

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