Funktion Holomorphie

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Holomorphie23 Auf diesen Beitrag antworten »
Funktion Holomorphie
Meine Frage:
Zeigen Sie, dass die Funktion holomorph auf ihrem Definitionsbereich ist.




Meine Ideen:
Hallo,

ich hatte als Idee, dass ich zeige . Ich bekomme dabei

ich komme irgendwie nicht weiter, da ich nicht weis, was ich zeigen soll. Kann mir jemand helfen,bitte?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke, man wird hier nicht mit der originalen Definition von Holomorphie arbeiten, sondern mit Reihenkriterien. Die Glieder der Reihe sind offenbar holomorph für . Ein Kriterium, das oft funktioniert, ist die kompakte Konvergenz einer Reihe holomorpher Funktionen. Die kompakte Konvergenz garantiert, daß die Reihe eine holomorphe Funktion darstellt.
Für die kompakte Konvergenz ist die gleichmäßige Konvergenz der Reihe auf jeder kompakten Teilmenge des Einheitskreises nachzuweisen. Da jede solche kompakte Teilmenge in einer abgeschlossenen Kreisscheibe mit einem festgewählten liegt, läuft es daher auf Folgendes hinaus:

Man gibt sich ein vor und weist die gleichmäßige Konvergenz der Reihe für nach. Dann ist die Reihe kompakt konvergent in . Am besten sucht man eine von unabhängige Majorante. Dann ist die gleichmäßige Konvergenz garantiert.

Für die konkrete Rechnung beachte die umgekehrte Dreiecksungleichung:

für
Holomorphie23 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Leopold,

dank dir vielmals für deine nette und kompetente Antwort, danke!

ich habe im Skript diese Sätze gefunden und ich weis nicht genau, welcher der beiden Sätze gleich zu deiner @Leopold Vorgehensweise ist.

Satz 1:
Satz von Weierstrass. Seien offen und , holomorphe Funktionen. Die Funktionenfolge konvergiere lokalgleichmäßig gegen eine Funktion . Dann ist ebenfalls holomorph und für jedes konvergiert die Funktionenfolge der -ten Ableitungen ebenfalls lokal gleichmäßig gegen

Satz 2:

Ist eine Bemerkung:
a) ein relativ einfach anwendabares Kriterium für glm. Konvergenz von Fktionenreihen
auf ist das Weierstrasssche Majorantenkriterium. Gibt es reelle Zahlen , der dass für alle , und ist konvergent, dann ist glm konvergent auf .

Satz:3 Seien offen und , Funktionen. Dann sind äquivalent:

(i) Die Funtkionenfolge konvergiert lokal glm, d.h zu jedem existiert ein mit , sodass glm konvergiert.

(ii)
Die Funktionenfolge konvergiert auf jedem Kompaktum in glm.


Kann ich einen dieser drei Sätze für das Lösen solcher Aufgabentypen in einer Klausur verwenden?

Zur Lösung der Aufgabe:

Du hast ja jetzt als Hinweis gegeben für

Also wäre es dann

aber jetzt komme ich nicht weiter....

könnte man nicht einfach

, da ?


danke für deine Hilf und Antwort!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Leopold hat (ii) vorgeschlagen, d.h., man betrachtet mit für ein vorgegebenes - das ist ausdrücklich etwas ANDERES als die Betrachtung aller mit !!!

Die Abschrätzung läuft dann einfach über .

Da sollte einem dann schon die Geometrische Reihe als Schranke anlachen.
Holomorphie23 Auf diesen Beitrag antworten »

Hey, dank dir für deinen Hinweis und deine Antwort Hal9000.

Dann habe ich doch . Dann ziehe ich vor die Summe, da dieser Bruch nicht von abhängig ist und mache eine Indizes Verschiebung von zu , da ich die geo.Reihe anwenden will.


da r definiert ist als komme ich auf folgende Abschätzung

also konvergiert die Majorante gegen und deshalb konvergiert die Funktionenfolge auch auf dem jedem Kompaktum in und ist holomorph.

Kann man so argumentieren?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist so nana. Auf jeden Fall viel zu umständlich. Du bist schon in der ersten Zeile fertig. Daß die Summation nicht mit , sondern mit beginnt, ist für die Konvergenz völlig unerheblich, denn die Abänderung endlich (!) vieler Glieder einer Reihe hat keine Auswirkungen auf die Konvergenz, nur auf den Reihenwert. Und der Reihenwert der Majorante ist , und nicht 1. Aber der Wert der Reihe ist sowieso nicht von Interesse. Der Nachweis der Konvergenz genügt.

Aber noch ein paar Bemerkungen zu deinem ersten Beitrag. Vorsicht! Du schätzt falsch ab. Bei einem Bruch mit positivem Zähler und Nenner wird der Zahlenwert größer, wenn man den Zähler vergrößert, er wird auch größer, wenn man den Nenner verkleinert. Keinesfalls aber darf man es wie du machen. Du hast den Nenner verkleinert und geglaubt, dadurch würde der Zahlenwert kleiner. Das ist offensichtlich falsch. Bei deinem eigenen Vorschlag zum Schluß dagegen hast du den Nenner vergrößert. Dadurch wird aber der Zahlenwert kleiner. Du dagegen hast ihn vergrößert. Also wieder falsch. Wie man es richtig macht, siehe bei HAL. Das hast du für deinen letzten Beitrag ja übernommen.

Ein interessanter zahlentheoretischer Aspekt. Wenn man die geometrische Reihe



ansetzt, erhält man für eine Doppelreihe. Kehrt man die Summationsreihenfolgen um, erkennt man:



Wenn man dagegen die Doppelreihe nach Potenzen von anordnet, erhält man die Potenzreihe



wobei die Koeffizientenfunktion die zahlentheoretische Funktion

(EDIT: nach Hinweis von HAL korrigiert)

ist. Diese Summenkonstruktion kennt man aus der Zahlentheorie. Sie liefert eine multiplikative zahlentheoretische Funktion, da die Funktion multiplikativ ist.

Möglicherweise hast du noch keine Vorlesung über Zahlentheorie besucht. Dann ignoriere diese Bemerkungen.
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Winzige Korrektur: Es ist .
holomorphie23 Auf diesen Beitrag antworten »

Also sage ich dann

.

Dann kann ich sagen, dass der Reihenwert der Majorante mit und damit nach dem Weierstrass'schen Majoranten kriterium die Funtkionen folge holomorph ist?

Da ich diese Aufgabe für eine Klausur bearbeitet habe, habe ich noch ein paar Fragen zur allgemeinen Lösungsstrategie dieser Aufgabentypen.

Also ist es meistens so, dass man versucht die Holomorphie der Funktionenfolge damit zu zeigen, dass eine Funktionenfolge auf jedem Kompaktum in glm. konvergiert und dadurch holomorph ist. Diese Konvergenz zeigt man mit Hilfe des Majorantenkriterium nach Weißerstrass oder?

Wenn ich noch zwei Aufgaben posten darf. Kann ich die von mir obige Strategie auch auf diese beiden Funktionenfolgen anwenden?

A1)

und

A2) . Zeigen sie, dass

holomorph und wohldefiniert ist.


kann ich auf diese beiden Aufgaben auch obige Strategie anwenden?

Liebe Grüße

Jan
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Winzige Korrektur: Es ist .


Richtig. Habe ich auch so in meinem Gekritzel. Und im Schlußsatz war es dann wieder richtig.

Zitat:
Original von Leopold
Sie liefert eine multiplikative zahlentheoretische Funktion, da die Funktion multiplikativ ist.


Ich werde es oben ausbessern.
holomorphie23 Auf diesen Beitrag antworten »

Außerdem vielen Dank für die Zahlentheoretische Darstellungsweise. Da ich bisher noch keine Zahlentheoreiveranstaltung gehört hab, nehme ich diese Hinweis unfassbar gerne als Hilfe auf!

Danke Leopold!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

@Leopold

Die Funktion ähnelt sehr stark der Teileranzahlfunktion :

Beide sind multiplikativ, und für beide gilt gleichermaßen für ungerade Primzahlen . Während ebenfalls gilt, haben wir jedoch hier vorliegen.

Damit ist sowie für alle ungeraden . Außerdem gilt für alle .
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

@HAL

Ich kenne für die Teileranzahlfunktion die Bezeichnung , weswegen ich die Bezeichnung gewählt habe, da ich auf die Schnelle dafür nichts Standardmäßiges im Netz gefunden habe.

Die Funktion , die ich fälschlicherweise zuerst in meiner Formel hatte, ist übrigens nicht multiplikativ (Gegenbeispiel ), die mit einem Minus weniger: , dagegen schon. Für teilerfremde natürliche Zahlen sieht man Folgendes:



Daß beide zugleich gerade sind, würde der Teilerfremdheit widersprechen. Eine der beiden Zahlen muß daher ungerade sein, weswegen ) gerade, also im obigen Produkt überflüssig ist.


@holomorphie23

Bei A1) habe ich mir Folgendes überlegt. Man gibt sich zunächst ein vor. Es gibt nur endlich viele natürliche Zahlen . Sei deren größte. Dann kann man die Reihe entsprechend aufspalten:



Der Reihenanfang mit den endlich vielen Gliedern definiert eine in holomorphe Funktion. Der Reihenrest - und das wäre zu zeigen - ist in der Kreisscheibe gleichmäßig konvergent, stellt also dort eine holomorphe Funktion dar. Damit hat man im Schnittbereich eine holomorphe Funktion. Und da man beliebig groß wählen kann, definiert die Reihe eine in holomorphe Funktion.

Jetzt hoffe ich nur, daß ich nichts übersehen habe.
holomorphie23 Auf diesen Beitrag antworten »

hey Leopold,

vielen Dank für deine Hilfe. Aber wie kommst du auf solche Ansätze? Mir wäre es im Leben nicht eingefallen, dass ich das so aufsplitte..
Hast du nicht irgendeine "Denkanleitung" was ich bei solchen Aufgaben beachten muss?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, ich bin nicht halb so klug wie Leopold, doch ich denke mir, wenn man z.B. Reinhold Remmert, "Funktionentheorie 1+2" (https://de.wikipedia.org/wiki/Reinhold_Remmert) und Jürgen Neukirch "Algebraische Zahlentheorie" (https://de.wikipedia.org/wiki/J%C3%BCrgen_Neukirch) nebst ein paar Dutzend weiteren Lehrbüchern und Originalarbeiten 30 bis 50 Jahre lang studiert hat und mit den großen Denkern der letzten 300 Jahre einigermaßen vertraut ist, dann kommt man manchmal auf die eine oder andere Idee. smile
holomorphie23 Auf diesen Beitrag antworten »

Oha aber ich hab leider nur zwei Wochen bis zur FunkTheo I Klausur und ich kann Leopold leider nicht mit in die Klausur nehmen:/


Aber ich probier's trotzdem!
Möchte ich zeigen, dass glm konvergent in .

Dazu habe ich



Daraus folgt, dass konvergiert und die Majorante der Geo.Reihe konvergiert also mit dem Majorantenkriterium die Reihe auf konvergiert

klappt das so?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das stimmt so nicht. In der dritten Zeile deiner Rechnung verschwindet alles in einem Schwarzen Loch. Du hast die umgekehrte Dreiecksungleichung nicht korrekt angewendet. Für gilt:



Beide Varianten zuletzt sind richtig. Da steckt nur dahinter, daß sowohl als auch für alle gilt. Ein Problem entsteht, wenn du das Ganze in den Nenner eines Bruches verfrachtest. Sobald du bei der 0 die Seiten wechselst, kommt es zur Katastrophe. Schau dir einmal das folgende primitive Beispiel an:



Nun wissen wir doch: Verkleinert man einen Nenner, wird der Bruchwert größer. Dann los:



AUA!

Einmal ganz abgesehen davon, daß nicht definiert ist, ist einfach falsch. Wenn du daher in einem Bruch mit positivem Zähler und Nenner den Nenner verkleinerst (vergrößerst), wird der Bruchwert größer (kleiner), aber nur, solange er dabei positiv bleibt.

Nun ist in deiner Rechnung zwar richtig, aber falsch, denn der letzte Nenner ist negativ! Und warum? Weil wir vorausetzen, aber ist (, und war die größte natürliche Zahl mit ). Mit einer kleinen Umformung ist es also zur Katastrophe gekommen. Da ist wirklich nichts mehr zu retten.

Noch ein paar Kleinigkeiten. Schon das erste Gleichheitszeichen deiner Rechnung ist falsch. Dort muß stehen. Am besten läßt du das Vorhergehende weg und beginnst gleich mit der Reihe der Beträge. Und laß Betragsstriche weg, wenn das Betragsinnere offensichtlich positiv ist. Man kann schreiben, sogar , denn ist eine natürliche Zahl.

Mein erstes Gefühl bei deinem Vorgehen ist: Du denkst zu formal. Denke inhaltlich! Drück also nicht auf den roten Knopf, weil du immer auf den roten Knopf gedrückt hast, wenn du einen gesehen hast. Vielleicht ist es ja dieses Mal der Atomknopf. Und bevor man diesen drückt, sollte man noch einmal kurz nachdenken...
holomorphie23 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Leopold,

danke für deine Antowort. Ich werde heute Abend meine Lösung zu A1) als auch A2) posten, ich muss jedoch über eine Stelle noch nachdenken wie ich sie begründen kann.

Jedoch vielen Dank für deine Hilfe!
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man sich in A2) um die Konvergenzfragen gekümmert hat, kann man an die Berechnung des Integrals gehen:



Für eine saubere Begründung wird man erst einmal reelle betrachten. Mit der Substitution (mit als Variable, als Parameter) kann man das aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung bekannte Integral



ins Spiel bringen und erhält die eingangs erwähnte Formel, zunächst nur für reelle . Nimmt man nun für die komplexe Wurzel den Hauptzweig, so definiert die rechte Seite oben, für sich betrachtet, für alle der rechten Halbebene eine eindeutige holomorphe Funktion. Da diese Funktion für reelle mit dem Integral übereinstimmt, muß die Formel nach dem Identitätssatz für alle der rechten Halbebene gelten.
holomorphie23 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mir mal versucht einen eigenen Ansatz zu den beiden Aufgaben A1) und A2) zu erarbeiten. Ich möchte apriori sagen, dass ich damit nicht deine hervorragend Idee Leopold abweisen möchte, ich möchte mich lediglich bemühen solche Lösungskompetenzen mir selbst zu erarbeiten.

A1)

Betrachtet man A1) ist festzustellen, dass für alle nur dann undefiniert ist, wenn wird. Dazu muss einerseits oder sein. Da ist, gilt und folgt . Das heißt ist als Kompositum von holomorphen Funktion selbst holomorph und wohldefiniert auf . Sei nun und , muss außerdem gelten, dass , für alle .

Das heißt, wir haben eine Kreisscheibe um mit dem Radius , welche keine natürlichen Zahlen beinhaltet.

Des weiteren gilt und , da eine natürliche Zahl ist, die größer als ist und außerhalb der Kreischeibe liegt.

Dann gilt

Daraus folgt und für alle bis auf endliche viele gilt

. Das heißt die Reihe konvergiert nach dem Weierstrasschen Majorantenkriterium glm. auf also lokal glm. auf und ist deshalb holomorph

A2)

Sei und also mit .

Sein nun .
ist als komposition von holomorphen Fktionen auch holomorph auf und außerdem wohldefiniert.

Sei außerdem , für alle

Betrachtet man nun

Da beliebig groß gewählt werden kann, fest aber beliebig ist und ist, konvergiert bzw. lokal glm nach dem Weierstrass Majo.Krit auf und damit auch glm auf . Daraus folgt ist holomroph und wohldefiniert


kann ich die beiden Aufgaben so lösen?

Danke für eure Hilfe!
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Du verwendest Floskeln der mathematischen Beweissprache oft in einer undeutlichen Weise, so daß man mehr erraten muß, was du meinst, als daß du es tatsächlich so gesagt hättest. Wenn man zum Beispiel "sei" sagt, trifft man eine Festlegung. Bei einer Folgerung darfst du daher niemals "sei" sagen. Du schreibst zum Beispiel:

Zitat:
Original von holomorphie23
Sei außerdem , für alle


Bei so etwas stolpere ich. Richtig wäre:

Sei . Für solche gilt (insbesondere): .

So wäre das richtig. Aber A2) ist sowieso verunglückt. Du scheinst mir hier den Integranden abschätzen zu wollen. Du mußt aber das Integral abschätzen. (Bei der Reihe kannst du auch nicht bloß das Reihenglied abschätzen. Auch dort mußt du die gesamte Reihe abschätzen.) Die Argumentation ist damit hinfällig.

Für die Abschätzung des Integrals mußt du beachten, daß es sowohl an der unteren als auch an der oberen Grenze uneigentlich ist. Man zerlegt solche Integrale mit irgendeinem endlichen Zwischenwert in zwei Teile. Man kann zum Beispiel 1 nehmen:



Dann untersucht man die kompakte oder lokale Konvergenz der beiden Summanden einzeln. Finde dazu geeignete, das heißt von unabhängige Integralmajoranten. Da müssen also tatsächlich irgendwo Integrationen stattfinden. Sonst ist das nichts. (Tip: Beim ersten Summanden hilft eine grobe Abschätzung des Zählers nach oben. Beim zweiten Summanden kannst du den Nenner grob nach unten abschätzen. Betrachte nur in einer Halbebene mit vorgegebenem . Dann kannst du auch den Zähler abschätzen und von oder seinen Bestandteilen frei machen, so daß du eine von unabhängige Majorante erhältst. Auf diese Weise zeigst du die gleichmäßige Konvergenz in der Halbebene . Da aber jedes in der Halbebene enthaltene Kompaktum ganz in einer Halbebene liegt (man muß nur genügend klein wählen), bekommst du auf diese Weise die kompakte Konvergenz des Integrals.)

Weiter scheinst du eine fehlerhafte Umformung vorgenommen zu haben:



So etwas gibt es nicht. Nimm als Beispiel und . Dann kommt Folgendes heraus:



Richtig ist für kanonisch :



Diesen Zusammenhang benötigst du bei der Abschätzung der Integrale.

Holomorphie auf ? So kenne ich das nicht. Du meinst vermutlich: Für jedes fest gedachte ist der Integrand in Abhängigkeit von holomorph.

Noch zu Aufgabe A1). Da sind richtige Gedanken drin. Insgesamt ist die Argumentation aber nicht stimmig. Es mag auch hier daran liegen, daß du solche kleinen Wörter wie "sei" oder "da" falsch verwendest, so daß der Sinn verunklart wird. Die Abschätzung, die du in der Reihe vornimmst, gilt nicht für alle ab 1, sondern erst für alle (soweit ich das durchschaue). Bei deiner Argumentation verschwimmt es gänzlich, ob das nun vorausgesetzt wird oder nicht. Auch hier genau überlegen, was du voraussetzt ("sei") und was du folgerst ("deshalb"). Beseitige auch kleinere Schreibfehler wie fehlende Betragsstriche um .
holomorphie23 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Leopold,

sorry erstmal für meine fehlerhafte Lösung und danke für deine Unterstützung und deine Hilfestellung!

Zunächst möchte ich festhalten, dass ich nur in der Halbebene betrachte mit .

Außerdem zerlege ich das Integral mit dem Zwischenwert 1 in folgende Integrale:



Dann schätze ich den ersten Summanden ab mit



ist die Abschätzung so richtig? mir macht der Schritt von



ein wenig Sorge

Das zweite Integral wollte ich mit für alle abschätzen. Ist das sinnvoll?



hat das so Sinn?

Danke für deine Hilfe!
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Mit dem Parameter ist die reelle Funktion streng monoton wachsend. Die Abschätzung ist daher falsch. Es wäre hier gerade anders herum: . Das hast du richtig gespürt. Und so können wir das gar nicht gebrauchen. Der entscheidende Fehler ist schon vorher passiert:



Beide Gleichheitszeichen sind falsch. Richtig ist Folgendes:

, wobei der Realteil von ist (das gilt für alle komplexen )

Ich will dir nicht vorrechnen, warum das so ist. Das solltest du alleine hinbekommen. Und dann nie mehr vergessen.

Und jetzt klappt es auch. Hier die Abschätzung, die du für das zweite Integral brauchst:

(denn die reelle Funktion ist streng monoton fallend)

Die Idee, nach unten durch 1 abzuschätzen, war richtig und zielführend.

Beim ersten Integral kannst du ähnlich vorgehen und gröbstmöglich abschätzen (die -Geschichte brauchst du hier nicht). Den Nenner läßt du stehen. Berechne dann das uneigentliche Integral mit Hilfe einer Stammfunktion. Entscheidend ist, daß du eine von unabhängige Majorante gefunden hast. "Majorante" sorgt für Konvergenz des Integrals, "von z unabhängig" sorgt für gleichmäßige Konvergenz des Integrals. Und "gleichmäßige Konvergenz holomorpher Funktionen" sorgt für Holomorphie der durch das Integral definierten Funktion.
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