Menge aller wahren Aussagen

06.09.2022, 21:03

Pippen

Menge aller wahren Aussagen

Gerade eine spontane Idee: Es gibt ja die Menge aller wahren Aussagen. Diese Menge ist abzählbar (unendlich), denn eine wahre Aussage können wir als Ax codieren, d.h. die wahren Aussagen wären immer eine Liste der Form: A1, A2, A3, …. Aber für alle abzählbaren Mengen müsste es theoretisch einen Algorithmus geben können, die Aussagen zu notieren. Das widerspräche aber den Ergebnissen von Gödel und Turing, nach denen das unmöglich ist. Liegt das daran, dass die Menge wahrer Aussagen doch inkonsistent ist oder liegt es daran, weil Gödel und Turing sagen nur, dass ein Algorithmus unmöglich ist, der alle Aussagen in endlicher Zeit auflistet.

06.09.2022, 21:57

Elvis

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Wenn es einen Algorithmus gibt, der die Elemente einer abzählbar unendlichen Menge in unendlich langer Zeit aufschreiben kann, dann nennt man die Menge aufzählbar unendlich. Die Klasse der aufzählbaren Mengen ist eine echte Teilklasse der Klasse der abzählbaren Mengen. Wahre Aussagen sind wohl abzählbar, aber nicht aufzählbar, wie schon Gödel und Turing uns in ihrer Weisheit bewiesen und gelehrt haben, die unsere Weisheit übersteigt.

07.09.2022, 09:04

IfindU

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Ich verstehe nicht wie die Menge aller wahren Aussage abzählbar sein soll. Die Aussage " $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist eine reelle Zahl" liefert für jedes $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ eine wahre Aussage. Damit hat man bereits überabzählbar-viele wahre Aussagen.

Die Argumentation klingt wie "Die Menge der reellen Zahlen ist abzählbar, weil ich die mit x1, x2, x3, ... nummerieren kann".

07.09.2022, 15:11

Elvis

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@IfindU
Stimmt.
@Elvis
Tatsächlich ist alles ganz anders, und ich muss wesentlich präziser formulieren, wenn ich wahre Aussagen machen will.
@Pippen
Deine Ideen und Aussagen zu Gödel und Turing sind nicht präzise genug und mit Wahrscheinlichkeit >0,999 falsch.

Ende der Durchsage. (Ich habe keine Lust, immer wieder für dich nachzudenken, weil du mir sowieso nicht glauben willst.)

07.09.2022, 16:48

zweiundvierzig

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Jede abzählbar unendliche Menge hat überabzählbar viele Teilmengen. Diese sind fast alle nicht entscheidbar, da es nur abzählbar viele Turingmaschinen gibt.

Die Menge der allgemeingültigen Aussagen in FO ist wegen Vollständigkeit rekursiv aufzählbar, aber nicht entscheidbar: Eine Formel ist allgemeingültig gdw wenn ihr Negat nicht erfüllbar ist. Das Erfüllbarkeitsproblem für FO ist aber nicht rekursiv aufzählbar.

07.09.2022, 17:47

Pippen

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RE: Menge aller wahren Aussagen

Zitat:

Original von IfindU
Ich verstehe nicht wie die Menge aller wahren Aussage abzählbar sein soll. Die Aussage " $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist eine reelle Zahl" liefert für jedes $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ eine wahre Aussage. Damit hat man bereits überabzählbar-viele wahre Aussagen.

Die Argumentation klingt wie "Die Menge der reellen Zahlen ist abzählbar, weil ich die mit x1, x2, x3, ... nummerieren kann".

Nunja, eine Aussage ist ein einfaches Objekt wie eine natürliche Zahl, das kann aufgrund seiner Form nur abzählbar vorkommen, denn wie willst du Variablen aus Einzelbuchstaben mit Index nicht abzählbar aufstellen? Mir scheint eher, die Menge aller wahren Aussagen ist widersprüchlich, eben weil sie überabzählbar sein müsste, aber nur abzählbar sein kann. Könnte das sein?

07.09.2022, 17:55

Elvis

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Eine Menge M heißt abzählbar unendlich, wenn es eine bijektive Abbildung von den natürlichen Zahlen auf M gibt. Eine Menge A heißt überabzählbar, wenn es keine solche Abbildung gibt. Dafür ist es nicht erforderlich, die Elemente der Menge A aufzustellen oder abzählbar aufzustellen, zu indizieren oder aufzuzählen.

07.09.2022, 20:19

Pippen

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Ich behaupte aber, Aussagenmengen sind ihrer Natur nach nur abzählbar. Wie sähe denn eine Menge (wahrer) Aussagen aus:

{ „Paris ist eine Stadt“, „2 ist eine Primzahl“, „2 ist eine Primzahl und Paris ist eine Stadt“, usw. usf.}

Ich sehe hier nur eine abzählbare Struktur, überabzählbar kann das irgendwie gar nie werden, dafür bräuchte man Zeichenketten mit unendlich vielen Zeichen, wie eben zB reelle Zahlen, meinst du nicht auch? Dann wäre eben die Menge aller wahren Aussagen inkonsistent, weil Aussagenmengen nur abzählbar, es aber überabzählbar viele Wahrheiten gäbe.

07.09.2022, 21:57

Elvis

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Deine Behauptung ist falsch. IfindU hat schon am Beispiel der reellen Zahlen bewiesen, dass es überabzaehlbar viele wahre Aussagen gibt. Deine Vorstellung von reellen Zahlen als Zeichenketten ist nicht hinreichend und verhindert schon bei diesem einfachen Zusammenhang das Verständnis.
Man kann das in beliebig große Unendlichkeiten von wahren Aussagen steigern, wenn man für große unendliche Mengen M (siehe Beispiele bei Cantor und Deiser), die wir denken aber nicht mehr verstehen können, nur die Aussagen $\begin{eqnarray*} x\in M \end{eqnarray*}$ für jedes einzelne x betrachtet.
Betrachten meint hier nicht jede Aussage dieser Art einzeln und nacheinander, sondern alle gleichzeitig. Aussagen im Sinne der mathematischen Aussagenlogik sind nicht einzelne Sätze, die ein Subjekt formuliert, vielmehr sind Aussagen mathematische Objekte mit eigener Existenz, die wir uns als Einheit der Klasse aller Aussagen vorstellen.

08.09.2022, 18:43

Pippen

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ME gibt es keine Menge aller wahren Aussagen. Das widerspricht nicht IfindU‘s These, dass diese Menge nicht abzählbar sein kann, aber eben nicht, weil sie überabzählbar ist, sondern weil sie gar nicht existiert.

Ich habe da auch einen schönen Beweis gefunden, leider im Netz (da gibt es auch viel Unseriöses) und leider anhand des Satzes von Cantor, der jetzt erst bei Deiser kommt, so dass ich mich nicht 100% kompetent fühle. Aber das Argument des Schreibers überzeugt mich. Wink

Euch auch? Wäre das keine Riesensache, denn dann könnte man zu Gödel sagen: lieber Kurt, wir können nicht nur nicht alle Wahrheiten beweisen, es gibt schon gar nie „alle Wahrheiten“.

Hier der Link auf den kurzen Aufsatz: http://www.pgrim.org/articles/grim_no_set_of_all_truths.pdf

08.09.2022, 19:29

IfindU

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@Pippen Der Autor ist notationell super unsauber, aber benötigt nirgends, dass es abzählbar viele Wahrheiten gibt. Das ganze Argument ist: Wir können Wahrheiten beliebig kombinieren und erhalten wieder Wahrheiten. Und das sind zu viele.

Hier " $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ist eine reelle Zahl", " $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ ist eine reelle Zahl" würde zur der weiteren Wahrheit " $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ ist reelle Zahlen und $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ist reelle Zahlen".

Und egal wie viele Wahrheiten wir in unsere All-Wahrheitsmenge mitnehmen, wir könnten immer neue Aussagen konstruieren.

Ich bin noch unschlüsslig, wie ich das Argument finde. In meinem Beispiel starten wir mit $\begin{eqnarray*} \tau = \{ x \text{ ist eine reelle Zahl } | x \in \mathbb R\} \end{eqnarray*}$ .

Jetzt finden wir die Kombinationen oben. Wenn wir $\begin{eqnarray*} \tau' = \tau \cup \mathcal P(\tau) \end{eqnarray*}$ definieren, hätten wir formal wieder das Problem mit den Kombinationen. Soweit ich sehe aber auch nur, weil wir Mengen in $\begin{eqnarray*} \mathcal P (\mathcal P (\tau)) \end{eqnarray*}$ nicht mit $\begin{eqnarray*} \mathcal P(\tau) \end{eqnarray*}$ identifizieren.

Beispiel: Eine "neue" Wahrheit wäre " $\begin{eqnarray*} 1, \pi \end{eqnarray*}$ sind reelle Zahlen sowie $\begin{eqnarray*} 2, e \end{eqnarray*}$ sind reelle Zahlen". Wir haben zwar die Wahrheit " $\begin{eqnarray*} 1, \pi, 2, e \end{eqnarray*}$ sind reelle Zahlen" bereits in $\begin{eqnarray*} \mathcal P(\tau) \end{eqnarray*}$ , aber an der Stelle eben nicht "dasselbe".

08.09.2022, 20:03

Elvis

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Es gibt nicht zu wenig Aussagen sondern zu viele, als dass sie eine Menge bilden könnte. Jede algebraische Struktur kann mit der wahren Aussage geschmückt werden: "Dies ist eine algebraische Struktur". Algebraische Strukturen bilden keine Mengen sondern Klassen.
Gegen Gödel kann man damit nicht argumentieren, denn der hat bewiesen, dass es formale Systeme der Arithmetik gibt, die unvollständig sind, d.h. nicht jede wahre Aussage dieser Systeme ist formal beweisbar. Das sagt nichts über die Gesamtheit aller Aussagen aus.
Es hat gewisse Vorteile, wenn man in seinen Gedanken nicht immer alles zusammenrührt, wovon man mal etwas gehört hat.

08.09.2022, 20:26

Pippen

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Also ich finde den Beweis wasserdicht, er ist ja auch einfach. Aber mich wundert, wie unbekannt er ist, denn sind nicht die Folgen gravierend? Gibt es keine Menge aller Wahrheiten, dann bedeutet das nichts anderes, als dass es die Wahrheit (so) nicht gibt.

@elvis: Es gibt aber - falls der Beweis stimmt - nicht nur nicht die Menge aller wahren Aussagen, sondern dann auch keine Menge aller arithmetisch wahren Aussagen. Damit erübrigte sich die Suche nach einem entsprechenden formalen System, welches korrekt und vollständig ist, von Vornherein. Denn aus „Es gibt keine Menge aller arithmetischen Wahrheiten“ folgt doch bereits „Es gibt kein korrektes, vollständiges (arithmetisches) Kalkül“, oder? D.h. Gödel wäre überflüssig gewesen. verwirrt

08.09.2022, 20:29

IfindU

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@Pippen: Du überschätzt wie Elvis sagte den Begriff einer Menge. Nur weil man "Objekte" nicht derart gruppieren kann, dass sie die tollen Eigenschaften einer Menge erfüllen, heißt es nicht, dass es die Objekte nicht gibt oder dass man sie nicht anders gruppieren kann (z.B. allgemein als Klasse).

Edit: Ich kling mich mal aus.

08.09.2022, 22:12

Elvis

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@Pippen
Du drehst dich immer wieder im Kreis.
Erst redest du von der abzählbaren Menge aller Aussagen. Deren Existenz soll Gödel widerlegen. Sie existiert nicht und widerlegt nichts, und auch ihre Nichtexistenz beweist nichts.
Nun schüttest du das Kind mit dem Bade aus und glaubst schon wieder, damit Gödel widerlegen zu können. Das ist nicht so, weil es unmöglich ist, einen Beweis zu widerlegen. In den relevanten formalen Systemen der Arithmetik ist Beweisbarkeit ein Prädikat ist und Wahrheit nicht. Die Unvollständigkeitssaetze sind und bleiben wahr, völlig unabhängig davon, ob sie jemand begreifen kann oder nicht.
Tipp : Bescheide dich zunächst auf Deisers Einführung in die Mengenlehre, wenn du die eines Tages verstanden haben wirst, dann sind deine Voraussetzungen erheblich besser, Hoffmanns Nacherzaehlung der Gödelschen Beweise zu verstehen. (Ich glaube nicht, dass heute noch viele Mathematiker das Original verstehen oder auch nur lesen können.)

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