Funktion mit merkwürdiger Null"stelle"

08.09.2022, 13:47	willyengland	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktion mit merkwürdiger Null"stelle" Ich bin gerade über eine interessante Funktion gestolpert, die mir so noch nicht bekannt war: $\begin{eqnarray} y=\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}-1 \end{eqnarray}$ Die Null"stelle" dieser Funktion ist $\begin{eqnarray} 5\leq x_0\leq 10 \end{eqnarray}$ . Ich vermute, dieses "Abschneiden" hängt irgendwie mit komplexen Zahlen zusammen? Kann mir das einer erklären?
08.09.2022, 13:58	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Funktion mit merkwürdiger Null"stelle" Substituieren wir $\begin{eqnarray} x = z -1 \end{eqnarray}$ sieht man $\begin{eqnarray} y = \sqrt{ z+ 4 - 4\sqrt{z}} + \sqrt{z + 9 - 6 \sqrt z} - 1 \end{eqnarray}$ . Jetzt ist $\begin{eqnarray} z+ 4 - 4\sqrt{z} = (\sqrt z - 2)^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} z + 9 - 6 \sqrt z = (\sqrt z - 3)^2 \end{eqnarray}$ . Damit also $\begin{eqnarray} y = \sqrt{ z+ 4 - 4\sqrt{z}} + \sqrt{z + 9 - 6 \sqrt z} - 1 = \|\sqrt z - 2\| + \|\sqrt z - 3\| - 1 = \|\sqrt {x-1} - 2\| + \|\sqrt {x-1} - 3\| - 1 \end{eqnarray}$ . D.h. für $\begin{eqnarray} x-1 \geq 2^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x-1 \leq 3^2 \end{eqnarray}$ sind die Terme in den Beträgen positiv bzw. negativ und damit $\begin{eqnarray} \|\sqrt {x-1} - 2\| + \|\sqrt {x-1} - 3\| - 1 = \sqrt {x-1} - 2 - (\sqrt {x-1} - 3) - 1 =0 \end{eqnarray}$ .
08.09.2022, 14:25	willyengland	Auf diesen Beitrag antworten »
Hui, sehr cool! Vielen Dank!
08.09.2022, 14:42	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Verblüffend, dass kein Quadrat des Arguments vorkommt. Sind Quadrate erlaubt, ermöglichen $\begin{eqnarray} \|x\| = \sqrt{x^2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \max(x,y) = \frac{x+y + \|x-y\|}{2} \end{eqnarray}$ unschweres Basteln. Mit der Trickserei $\begin{eqnarray} (a\sqrt{x}+b)^2 = a^2 x + 2ab\sqrt{x}+b^2 \end{eqnarray}$ lassen sich Quadrate nun offenbar außer Sichtweite bringen. Es findet sich beispielsweise die Konstruktion $\begin{eqnarray} x\mapsto \sqrt{x}-1+\|\sqrt{x}-1\| = \sqrt{x}+\sqrt{x-2\sqrt{x}+1}-1. \end{eqnarray}$

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