Geburtstagsproblem |
| 08.09.2022, 16:58 | LeaMath | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Geburtstagsproblem Folgendes Problem: Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter 5 Freunden 2 dabei sind, die am gleichen Wochentag Geburtstag haben? Mir ist schon klar, dass ich "5 über 2" Möglichkeiten habe, diese 2 Freunde auszuwählen. Auch weiss ich, dass Person Nr. 3 dann noch 6/7, Person Nr. 4 5/7 und Person Nr. 5 4/7 Möglichkeiten haben, einen Tag zu wählen. Wie aber füge ich all das zusammen? |
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| 08.09.2022, 17:14 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich kann mit solchen Fragestellungen nichts anfangen. Was heißt denn "unter 5 Freunden 2 dabei sind"? Wenn alle Freunde am 12. Oktober Geburtstag haben, ist dieser Ausgang für das Ereignis günstig? Oder wenn zwei der Freunde am 8. Februar und drei am 30. Mai Geburtstag haben, ist dieser Ausgang für das Ereignis günstig? Wie ist es, wenn zwei der Freunde am 2. Januar, zwei am 24. Juni und 1 am 26. Juli Geburtstag hat? Ist dieser Ausgang günstig? Worauf will ich hinaus? Darauf, daß die Fragestellung nicht präzise genug ist. Deswegen sollte zuerst geklärt werden, wie die Formulierung zu verstehen ist. Es bringt überhaupt nichts, hier mit irgendwelchen Formeln herumzuhantieren, denn zu guter Letzt kommt jeder mit seinen Formeln zu einem anderen richtigen Ergebnis, weil er schlicht die Fragestellung anders versteht. |
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| 08.09.2022, 17:24 | LeaMath | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Vielen Dank Leopold. Ich verstehe das Problem wie folgt: Wir haben 5 Freunde und suchen nach der Wahrscheinlichkeit, dass genau 2 von ihnen am gleichen Wochentag Geburtstag haben. Mit Wochentag verstehe ich Sonntag, Montag, ... ohne genaues Datum. |
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| 08.09.2022, 18:22 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Sollten die Freunde schon mindestens zehn Jahre alt sein, dann hatte jeder schon mal an jedem der sieben Wochentage mindestens einmal Geburtstag. 
Spaß beiseite: Die Frage oben ist vermutlich unter der Einschränkung "im selben Jahr" gemeint. Oder aber im Wortsinne "Geburtstag = Tag der Geburt", dann ist es auch eindeutig mit dem Wochentag. Man betrachtet am besten das Gegenereignis, was da lautet: Alle 5 haben an verschiedenen Wochentagen Geburtstag. (Siehe auch Geburtstagsparadoxon, hier aber mit 7 statt 365 gerechnet.) |
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| 09.09.2022, 08:14 | LeaMath | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Stimmt, die Einschränkung "im selben Jahr" ist schon ziemlich wichtig... Ich habe gerade die Musterlösungen konsultiert, da steht folgendes: Versteht man die Aufgabe so, dass mind. 2 Freunde am gleichen Tag Geburtstag haben, gilt: 1 - (7/7 * 6/7 * 5/7 * 4/7 * 3/7) Sollen genau 2 am gleichen Wochentag im Jahr Geburtstag haben, gilt: "5 über 2" * 7! / (3! * 7^5) --> Stimmt das? Wenn ja, woher kommen die Werte beim Bruch? |
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| 09.09.2022, 08:35 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dazu hatte ich ja den Tipp
gegeben: Der erste kann an einem beliebigen Wochentag Geburtstag haben, Wahrscheinlichkeit 1 = 7/7. Der zweite darf nicht an dem Wochentag des ersten Geburtstag haben, bleiben nur noch 6 von 7 Tagen, Wahrscheinlichkeit 6/7. Der dritte darf an beiden Wochentagen der ersten beiden Freunde nicht Geurtstag habe, bleiben 5 von 7, Wahrscheinlichkeit 5/7, usw. Und da dies das Gegenereignis zum eigentlich gesuchten Ereignis ist, steht am Ende bei der Wahrscheinlichkeit 1-(...) . |
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| 09.09.2022, 09:32 | LeaMath | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Lieber HAL Das mit dem Gegenereignis ist mir klar - aber das würde ja die Wahrscheinlichkeit beschreiben, dass _mindestens_ 2 am gleichen Wochentag Geburtstag haben. Die Variante "genau 2 am selben Wochentag" mit dem Ergebnis "5 über 2" * 7! / (3! * 7^5) ist mir noch nicht so klar. Also der Binomialkoeffizient am Anfang schon, aber dann die Werte im Bruch...? |
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| 09.09.2022, 11:23 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wer redet denn von "genau zwei"? Kann ich der Aufgabenstellung nicht entnehmen: Dort steht nur, dass man unter den fünf Freunden zwei findet - das ist auch dann der Fall, wenn es noch einen dritten solchen gibt, oder wenn es gar ein zweites Paar mit gleichem Geburtstag gibt. Beispiel: Wenn die fünf Freunde in der Reihenfolge an den Wochentagen Mittwoch, Freitag, Montag, Freitag, Freitag Geburtstag haben, dann findet man zwei, die Freitag Geburtstag haben, etwa die beiden rot markierten. Dass es auch noch einen dritten Freitag-Geburtstag gibt, ist für die Frage dieses Findens komplett unerheblich. |
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| 09.09.2022, 20:26 | Ulrich Ruhnau | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Als ganz in diesem Sinne! Die Bezeichnung "Wochentag" macht die Aufgabe eindeutig. Es gibt Möglichkeiten wer von den 5 Freunden an welchem Wochentag seinen Geburtstag hat. Davon gibt es Möglichkeiten wer an welchem Wochentag Geburtstag hat, ohne daß zwei am selben Wochentag Geburtstag haben. Also würde ich darauf tippen, daß die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist. |
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