Abbildung ins Tensorprodukt

08.09.2022, 19:32

HiBee123

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Abbildung ins Tensorprodukt

Hi

Wink

es gilt zu zeigen oder zu wiederlegen:
Seien U,V endlich-dimensionale K-Vektorräume die bilineare Abbildung $\begin{eqnarray*} \iota: V X W \rightarrow V\otimes W \end{eqnarray*}$ ist surjektiv

Meine Idee:
irgendwie über die universelle Eigenschaft Argumentieren...

Gruß ,
HiBee

08.09.2022, 19:35

IfindU

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RE: Abbildung ins Tensorprodukt
Es heißt "widerlegen" (ohne e), das kartesische Produkt geht mit \times und die Aussage ist falsch Augenzwinkern

Augenzwinkern

Such ein Gegenbeispiel!

Tipp: Betrachte $\begin{eqnarray*} V = W = \mathbb Z_2^2 \end{eqnarray*}$ .

08.09.2022, 19:44

HiBee123

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RE: Abbildung ins Tensorprodukt
Was ist $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}^2_2 \end{eqnarray*}$ ?
Die Menge der 2x1 Matrizen in den ganzen Zahlen?

08.09.2022, 19:47

IfindU

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RE: Abbildung ins Tensorprodukt
Vermutlich bist du die Notation $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z/ 2\mathbb Z)^2 \end{eqnarray*}$ vertrauter. Also zwei-elementige Vektoren mit Werten aus $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/ 2\mathbb Z \end{eqnarray*}$

08.09.2022, 19:52

HiBee123

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RE: Abbildung ins Tensorprodukt
Ach so ja, der $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_2^2 \end{eqnarray*}$ gut ich versuchs mal damit.

08.09.2022, 20:05

HiBee123

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RE: Abbildung ins Tensorprodukt
Ah da! Wir haben da so ein Theorem, dass wenn (b_i)_{i \in I}eine Basis von M_i ist
$\begin{eqnarray*} b_1 \otimes b_2 \end{eqnarray*}$ eine Basis des Tensorprodukts ist.
somit hätten wir Elemente, wie $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\0\end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 0\\1\end{pmatrix} \oplus \begin{pmatrix} 0 \\1\end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 1\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ die nicht unbedingt im Spann der Abbildung liegen.

p.s.: Soll ich meinen ersten Beitrag editieren, damit man ihn besser lesen kann? Aber dann bliebe dein Hinweis zusammenhanglos. Oder soll ich mir das einfach für die Zukunft merken?

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08.09.2022, 20:12

IfindU

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RE: Abbildung ins Tensorprodukt
Passt! Man kann sogar zeigen, dass $\begin{eqnarray*} b_i \otimes b_j \end{eqnarray*}$ für Vektoren $\begin{eqnarray*} b_i \end{eqnarray*}$ immer eine (höchstens) Rang-1 Matrix bildet. Und man kann zeigen, dass jede Rang-1 sich als Tensorprodukt zweier Vektoren darstellen lässt. Wie du bemerkt hast, sind im Tensorprodukt z.B. auch invertierbare Matrizen.

Zitat:

Original von HiBee123
p.s.: Soll ich meinen ersten Beitrag editieren, damit man ihn besser lesen kann? Aber dann bliebe dein Hinweis zusammenhanglos. Oder soll ich mir das einfach für die Zukunft merken?

Kannst du dir fürs nächste Mal merken.

08.09.2022, 20:18

HiBee123

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RE: Abbildung ins Tensorprodukt
Nur noch ne kleine Nachfrage: injektiv ist dieses iota auch nicht, oder?

Im Fall $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ ist unser Tensorprodukt ja einfach der Nullraum. also alles bildet auf die Null ab, also nicht injektiv.

08.09.2022, 20:26

IfindU

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RE: Abbildung ins Tensorprodukt
Im Allgemeinen ist $\begin{eqnarray*} \iota \end{eqnarray*}$ nicht injektiv, z.B. $\begin{eqnarray*} (\mathbb F_3)^2 \end{eqnarray*}$ . Ich glaube bei $\begin{eqnarray*} (\mathbb F_2)^2 \end{eqnarray*}$ könnte es sogar injektiv sein.

Zu deinem Produkt: Was ist denn der zugrundeliegende Körper deiner Vektorräume? Ich kenne sinnvoll definierte Kreuzprodukte/Tensorprodukte nur, wenn die Vektorräume den gleichen zugrundeliegenden Körper haben. Sonst ist das Kreuzprodukt kein Vektorraum und ich weiß nicht einmal wie man das Tensorprodukt definiert.

08.09.2022, 20:37

HiBee123

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RE: Abbildung ins Tensorprodukt
Ach so? geschockt

geschockt

Wir hatten das etwas anders definiert. Die Zugrunde liegenden Körper sind der $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_3 \end{eqnarray*}$ und das Tensorprodukt definiert man jetzt einfach über die inneliegenden Eigenschaften, also sei phi multilineare Abbildung von $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_2\times\mathbb{F}_3\rightarrow P \end{eqnarray*}$ dann ist
$\begin{eqnarray*} \phi([0],a)=0 \end{eqnarray*}$

und
$\begin{eqnarray*} \phi([1],a)=\phi([1+2],a)=3.\phi([1],a)=\phi([1],3.a)=\phi([1],[0])=0 \end{eqnarray*}$

und so kommt man dann darauf dass das Tensorprodukt nur der Nulltraum sein kann...

08.09.2022, 20:45

IfindU

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Ich und Wikipedia kennen nur die Definition mit gemeinsamen Körper. Vlt kennt jester eine allgemeinere Definition. Und wie definierst du die Struktur beim Kreuzprodukt?

08.09.2022, 20:53

HiBee123

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Welche Struktur meinst du jetzt genau?
Es wird in dem Beispiel hier nicht näher darauf eingegangen. Man definiert einfach eine multilineare Abbildung und stellt fest das es die Nullabbildung sein muss.

In der ursprünglichen Aufgabe waren K-Vektorräume gefordert, das habe ich jetzt ignoriert. Hier stehen nur noch R-Moduln. löst das den Konflikt?

09.09.2022, 08:24

IfindU

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Was ich meinte: Wenn du zwei $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ -Vektorräume $\begin{eqnarray*} V, U \end{eqnarray*}$ nimmst, besitzt $\begin{eqnarray*} V \times U \end{eqnarray*}$ eine $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ Vektorraumstruktur.

Dann macht es Sinn über lineare Abbildungen/Homomorphismus hier zu reden. Wenn du nun $\begin{eqnarray*} K_i \end{eqnarray*}$ Vektorräume $\begin{eqnarray*} V_i \end{eqnarray*}$ hast. Was ist $\begin{eqnarray*} V_1 \times V_2 \end{eqnarray*}$ für ein Vektorraum? Über welchem Körper? Wie ist die skalare Multiplikation $\begin{eqnarray*} \lambda (v_1, v_2) \end{eqnarray*}$ definiert? Klassischerweise ist $\begin{eqnarray*} \lambda (v_1, v_2) = (\lambda v_1,\lambda v_2) \end{eqnarray*}$ , aber das rechte ist potentiell auch nicht definiert.

Auch für Moduln finde ich nichts, du schreibst sogar $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ -Moduln...als ob es ein "gemeinsames" $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ gibt.

09.09.2022, 17:47

HiBee123

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mmh... V1 x V2 ist kein Vektorraum, sondern einfach nur eine Menge von (x,y) wobei x in V1 und y in V2, skalare Multiplikation ist gar nicht definiert, nur wenn man eine multilineare Abbildung in einen Raum P hat, dann ist $\begin{eqnarray*} \lambda \phi(x,y)=\phi(\lambda x,y)=\phi(x,\lambda y) \end{eqnarray*}$

In meinem Beispiel gibt es dieses gemeinsame R ja auch, Z/2Z und Z/3Z sind beides Z-Moduln.

09.09.2022, 18:52

IfindU

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Zitat:

Original von HiBee123
$\begin{eqnarray*} \lambda \phi(x,y)=\phi(\lambda x,y)=\phi(x,\lambda y) \end{eqnarray*}$

In meinem Beispiel gibt es dieses gemeinsame R ja auch, Z/2Z und Z/3Z sind beides Z-Moduln.

Z/2Z hat Z/2Z als R, Z/3Z hat Z/3Z als R. Was ist das gemeinsame R an der Stelle?

09.09.2022, 19:13

HiBee123

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Ne... Z ist der Ring, soweit ich das verstanden hab verwirrt

verwirrt

, anbei einfach mal der Ausschnitt dazu:

09.09.2022, 19:16

IfindU

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Ah! Man nimmt $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ als Ring und damit ist die skalare Multiplikation dann $\begin{eqnarray*} \lambda \cdot x = x + x+\ldots + x \end{eqnarray*}$ , genau $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ mal. Dann kann man damit natürlich arbeiten. Du solltest aber wirklich sorgfältig sein wie die Räume definiert sind!

09.09.2022, 19:20

HiBee123

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Ja. ich arbeite dran. smile

smile

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