Winkelgeschwindigkeit

09.09.2022, 01:15	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Winkelgeschwindigkeit Vorbemerkung: Gegeben sei eine zeitabhängige Drehmatrix D(t), welche die Rotation eines starren Körpers beschreibt. Jeder Punkt, der zur Zeit t=0 die Position $\begin{eqnarray} \vec x(0) \end{eqnarray}$ hat, befindet sich zur späteren Zeit t in der neuen Position $\begin{eqnarray} \vec x(t)=D(t)\vec x(0) \end{eqnarray}$ _____________________(1) Die Geschwindigkeit jedes Punktes ist die zeitliche Ableitung von (1), also $\begin{eqnarray} \tfrac{d\vec x(t)}{dt}=\tfrac{D(t)}{dt}\vec x(0) \end{eqnarray}$ ____________(2) Stellt man Formel (1) um gemäß $\begin{eqnarray} \vec x(0)=D^T(t)\vec x(t) \end{eqnarray}$ und setzt dies in Formel (2) ein, ergibt sich die wichtige Formel $\begin{eqnarray} \tfrac{d\vec x(t)}{dt}=\Omega(t)\vec x(t) \end{eqnarray}$ ___________(3) Dabei wurde folgende zeitabängige Matrix $\begin{eqnarray} \Omega(t) \end{eqnarray}$ eingeführt $\begin{eqnarray} \Omega(t)=\tfrac{D(t)}{dt}D^T(t) \end{eqnarray}$ ________________(4) Die Matrix $\begin{eqnarray} \Omega(t) \end{eqnarray}$ , die man als Tensor der Winkelgeschwindigket bezeichnet, ordnet gemäß Formel (3) jedem Punkt $\begin{eqnarray} \vec x(t) \end{eqnarray}$ seine momentane Bahngeschwindigkeit zu. $\begin{eqnarray} \Omega(t) \end{eqnarray}$ ist somit ein Maß für die Schnelligkeit und Richtung der Drehung. Man kann leicht beweisen, dass die Matrix $\begin{eqnarray} \Omega(t) \end{eqnarray}$ schiefsymmetrisch ist, indem man die Beziehung $\begin{eqnarray} E=DD^T \end{eqnarray}$ differenziert $\begin{eqnarray} 0=\tfrac{dD}{dt}D^T+D\tfrac{dD^T}{dt}=\tfrac{dD}{dt}D^T+\left (\tfrac{dD}{dt}D^T \right )^T=\Omega+\Omega^T \end{eqnarray}$ Aufgrund der Schiefsymmetrie hat $\begin{eqnarray} \Omega(t) \end{eqnarray}$ nur drei unabhängige Matrixelemente, die wir bezeichnen mit $\begin{eqnarray} \Omega_{32}=\omega_1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \Omega_{13}=\omega_2 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \Omega_{21}=\omega_3 \end{eqnarray}$ . Mit dieser Bezeichnung kann man die rechte Seite von Formel (3) als Vektorprodukt schreiben gemäß $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \tfrac{dx_1}{dt} \\ \tfrac{dx_2}{dt} \\ \tfrac{dx_3}{dt} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & -\omega_3 & \omega_2 \\ \omega_3 & 0 & -\omega_1 \\ -\omega_2 & \omega_1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \omega_1 \\ \omega_2 \\ \omega_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ --------------------------------------------- Frage: Angenommen wir kennen für jeden Zeitpunkt die Winkelgeschwindigkeit $\begin{eqnarray} \Omega(t) \end{eqnarray}$ . Mit anderen Worten - wir kennen den zeitabhängigen Vektor der Winkelgeschwindigkeit $\begin{eqnarray} (\omega_1\|\omega_2\|\omega_3) \end{eqnarray}$ , welcher die gleiche Information enthält. Wie kann man daraus rückwärts die 9 Matrixelemente der zeitabhängigen Drehmatrix D(t) berechnen? Die Umkehrung der Frage ist einfach, wie Formel (4) zeigt.

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