Hermite-Interpolation

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Bxno01 Auf diesen Beitrag antworten »
Hermite-Interpolation
Meine Frage:
Guten Tag,

ich wäre sehr dankbar über Lösungsvorschläge, Erklärungen und ggf. Lösungsansätze zu den folgenden beiden Aufgaben.



Meine Ideen:
Sehe grade leider nur nicht wie explizit hierbei vorzugehen ist. Ist die Interpolierte mit den dividierten Differenzen auszurechnen? Wie gehe ich damit um, dass zum Beispiel "x_0=0 (doppelt)" angegeben ist? Bedeutet das hier, dass f(x_0) = 0 & f´(x_0) = 0 ?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hermite Interpolationsaufgabe
Zitat:
Original von Bxno01
Ist die Interpolierte mit den dividierten Differenzen auszurechnen?

Das kann man zwar machen, aber dann muss man sich erst mal schlau machen, wie das mit den mehrfachen Stützstellen zu handhaben ist. Man kann ja nicht durch Null dividieren.

Ich würde einfach das lineare Gleichungssystem lösen. Das geht hier relativ einfach, weil man einen Teil der Koeffizienten des Interpolationspolynoms sofort bekommt.

Zitat:
Wie gehe ich damit um, dass zum Beispiel "x_0=0 (doppelt)" angegeben ist? Bedeutet das hier, dass f(x_0) = 0 & f´(x_0) = 0 ?

Nein, aber vielleicht hast du es richtig gemeint. Es bedeutet





Dabei soll das Interpolationspolynom sein.
Bxn1995 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hermite Interpolationsaufgabe
Bezogen auf die erste Aufgabe (e^-x):

Also stelle ich das LGS folgendermaßen auf?

Da ein Polynom 3. Grades gesucht ist hat unser Polynom gerade die Form a_0+a_1*x+a_2*x^2+a_3*x^3

Die Bedingungen für die Hermite Interpolation sind uns gegeben als

x_0 = 0 ; x_1 = 1

=> f(x_0) = f(0) = p(x_0) = p(0) wobei p unser gesuchtes Polynom

f´(x_0) = f´(0) = p´(x_0) = p´(0)

analog für f (x_1) und f´(x_1)

Also folgt das LGS

für x_0 = 0


e^-0 = a_0 + a_1 * 0 + a_2 * 0^2 + a_3 * 0^3

e^-1 = a_0 + a_1 * 1 + a_2 * 1^2 + a_3 * 0^3

-e^-0 = a_1 + a_2 * 0 + a_3 * 0^2

-e^-1 = a_1 + a_2 *1 + a_3 * 1^2


wobei recht schnell folgt dass a_0 = 1 und a_1 = -1

Bestimme ich also unser gesuchtes Hermite Polynom indem ich es in der Form a_0 + a_1*x + a_2 * x^2 + a_3*x^3 mit den jeweiligen Parametern für die a_i angebe?

In meinem Skript finde ich wenig aufschlussreiches für die Hermite Interpolation. Siehe Anhang


Willkommen im Matheboard!
Du bist hier nun zweimal angemeldet, Bxno01 wird daher demnächst gelöscht.
Viele Grüße
Steffen
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hermite Interpolationsaufgabe
Zitat:
Original von Bxn1995
Bezogen auf die erste Aufgabe (e^-x):

Also stelle ich das LGS folgendermaßen auf?

Da ein Polynom 3. Grades gesucht ist hat unser Polynom gerade die Form a_0+a_1*x+a_2*x^2+a_3*x^3

Ja.

Zitat:
wobei recht schnell folgt dass a_0 = 1 und a_1 = -1

Richtig.

Zitat:
Bestimme ich also unser gesuchtes Hermite Polynom indem ich es in der Form a_0 + a_1*x + a_2 * x^2 + a_3*x^3 mit den jeweiligen Parametern für die a_i angebe?

Ja. So sieht das Zielpolynom aus, egal auf welchem Weg man es bestimmt.
Bxn1995 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hermite Interpolationsaufgabe
Super, ich danke dir!
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