R als Vektorraum

09.09.2022, 13:28

Jive Bunny

R als Vektorraum

Meine Frage:
Hallo

Mich würde interessieren,ob der Körper der irrationalen Zahlen R
ein eindimensionaler Vektoraum ist?

MfG

Meine Ideen:
Habe etwas wenig Ahnung

09.09.2022, 13:44

Finn_

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Es ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ eine irrationale Zahl. Würden die irrationalen Zahlen einen Körper bilden, wäre die Multiplikation abgeschlossen, womit $\begin{eqnarray*} \sqrt{2}\cdot\sqrt{2} = 2 \end{eqnarray*}$ ebenfalls irrational wäre, was absurd ist.

09.09.2022, 13:45

Helferlein

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Jeder Körper ist ein eindimensionaler Vektorraum über sich selbst, über einem Teilkörper ändert sich die Dimension.

10.09.2022, 09:33

Jive Bunny

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Danke

Zitat:

Original von Finn_
Es ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ eine irrationale Zahl. Würden die irrationalen Zahlen einen Körper bilden, wäre die Multiplikation abgeschlossen, womit $\begin{eqnarray*} \sqrt{2}\cdot\sqrt{2} = 2 \end{eqnarray*}$ ebenfalls irrational wäre, was absurd ist.

Der Frage ist
Gibt es einen Körper der irrationalen Zahlen?
Die Addition müsste schon mal gehen wenn man die 0 dazunimmt
Die Multiplikation geht nicht
Aber muss das die Multiplikation sein? So wie ich das verstanden habe kann man eine Verknüpfung frei wählen
Die Frage wäre dann ob es ein weitere Verknüpfung gibt

10.09.2022, 09:44

Huggy

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Zitat:

Original von Jive Bunny
Die Addition müsste schon mal gehen wenn man die 0 dazunimmt

Auch die Addition geht nicht. Sei $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ eine beliebige rationale Zahl. Dann sind $\begin{eqnarray*} a=\sqrt 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=r+\sqrt 2 \end{eqnarray*}$ irrationale Zahlen. Also müsste auch $\begin{eqnarray*} b-a=r \end{eqnarray*}$ in dem Körper liegen, also jede rationale Zahl.

10.09.2022, 09:45

HAL 9000

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Zitat:

Original von Jive Bunny
Die Addition müsste schon mal gehen wenn man die 0 dazunimmt

Extrem kurz gedacht. $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ ist irrational, und $\begin{eqnarray*} 1-\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ auch, aber $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} + \left(1-\sqrt{2}\right) = 1 \end{eqnarray*}$ ist es nicht.

Jetzt kannst du also auch nach einer neuen Addition suchen...

Es gibt eine Lösung für dein Problem: Da die Mengen der reellen und irrationalen Zahlen gleichmächtig sind, betrachte man irgendeine Bijektion $\begin{eqnarray*} f:~\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ zwischen beiden und definiert für $\begin{eqnarray*} x,y\in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ die beiden Operationen

$\begin{eqnarray*} x\oplus y := f^{-1}\left(f(x)+f(y)\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x\odot y := f^{-1}\left(f(x)\cdot f(y)\right) \end{eqnarray*}$ .

Dann ist $\begin{eqnarray*} \left(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q},\oplus,\odot\right) \end{eqnarray*}$ ein Körper.

10.09.2022, 22:59

Jive Bunny

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Vielen Dank smile

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