Elliptische Kurve |
10.09.2022, 10:12 | Jive Bunny | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Elliptische Kurve Hallo Folgendes Der Definitionsbereich einer elliptische Kurve seien die rationalen Zahlen Die Lösungsmenge bilden jetzt doch eine oder mehrere abelsche Gruppen Jetzt kann die Anzahl der Elemente einer solche Gruppe endlich oder unendlich sein Die Frage Gibt es Kurven auf der es sowohl endliche als auch unendliche Gruppen gibt? MfG Meine Ideen: Der Rang einer elliptischen Kurve gibt die Anzahl der unendlichen Gruppen an die sich auf der Kurve befinden Es ist mir aber nicht klar,ob es es zusätzlich noch endliche Gruppen geben kann Den Wendepunkt soll man hier mal nicht beachten |
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10.09.2022, 11:17 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Elliptische Kurve Siehe https://web.math.pmf.unizg.hr/~duje/tors/z2z8.html |
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10.09.2022, 23:04 | Jive Bunny | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Danke Es ist dann offenbar so,dass die Torsionspunkte stellvertretend für eine endliche Gruppe stehen |
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11.09.2022, 07:19 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja. |
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11.09.2022, 10:58 | Jive Bunny | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Da wären noch ein paar Fragen 1.Woran erkennt man dass ein Punkt zu einer unendlichen Gruppe gehört? 2.Was bedeutet im Zusammenhang mit den endlichen Punkten dieser Ausdruck? 2*8=16 scheint die Anzahl der Torsionspunkte zu sein 3. Wieso steht bei den Torsionspunkten Anfang immer die Null. Das ist doch kein Punkt Danke schon mal für die ein oder andere Antwort |
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11.09.2022, 22:26 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das kann ich dir nicht sagen. Ich weiß über elliptische Kurven nur das, was man halt so weiß. Edit: Inzwischen weiß ich es. Nach dem Satz von Mazur können Torsionspunkte maximal die Ordnung haben. Man muss also nur für 12 bilden. Wenn dabei nie der Punkt im Unendlichen auftaucht, dann gehört zu einer unendlichen Gruppe. könnte man auslassen, denn die Ordnung ist nicht möglich.
Das bedeutet, dass die Torsionsgruppe isomorph zu der Gruppe ist. ist die Restklassengruppe der ganzen Zahlen mod und die mod . Das heißt, diese spezifische Torsionsgruppe hat 2 erzeugende Elemente und , welche rationale Punkte der elliptischen Kurve sind mit Dabei steht für das neutrale Element der Gruppe und das ist bei elliptischen Kurven der Punkt im Unendlichen. Man betrachtet diese ja üblicherweise in der projektiven Ebene. Alle Elemente der Gruppe lasen sich darstellen als mit und .
Das soll der Punkt im Unendlichen sein. |
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12.09.2022, 22:58 | Jive Bunny | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Danke |
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13.09.2022, 09:33 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hier noch ein Link zu einer Liste von Links zu elliptischen Funktionen mit hohem Rang: https://web.math.pmf.unizg.hr/~duje/tors/tors.html Daneben enthält der Link eine lange Quellenliste und weitere Links. Mein voriger Link ist der letzte Link in dieser Linkliste. |
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13.09.2022, 23:36 | Jive Bunny | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das ist schon erstaunlich was man so alles herausfindet Etwas interessanter finde ich allerdings zB Da gibt es ein endliche Gruppe mit 7 Elementen und die kann man selbst finden Beim Rang wird es etwas schwieriger Da ist es wohl so dass man sich die Lösungen von betrachtet |
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