Elliptische Kurve

Neue Frage »

Jive Bunny Auf diesen Beitrag antworten »
Elliptische Kurve
Meine Frage:
Hallo

Folgendes
Der Definitionsbereich einer elliptische Kurve seien die rationalen Zahlen
Die Lösungsmenge bilden jetzt doch eine oder mehrere abelsche Gruppen
Jetzt kann die Anzahl der Elemente einer solche Gruppe endlich oder unendlich sein

Die Frage
Gibt es Kurven auf der es sowohl endliche als auch unendliche Gruppen gibt?

MfG

Meine Ideen:
Der Rang einer elliptischen Kurve gibt die Anzahl der unendlichen Gruppen an die sich auf der Kurve befinden
Es ist mir aber nicht klar,ob es es zusätzlich noch endliche Gruppen geben kann
Den Wendepunkt soll man hier mal nicht beachten
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Elliptische Kurve
Siehe

https://web.math.pmf.unizg.hr/~duje/tors/z2z8.html
Jive Bunny Auf diesen Beitrag antworten »

Danke

Es ist dann offenbar so,dass die Torsionspunkte stellvertretend für eine endliche Gruppe stehen
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.
Jive Bunny Auf diesen Beitrag antworten »

Da wären noch ein paar Fragen

1.Woran erkennt man dass ein Punkt zu einer unendlichen Gruppe gehört?

2.Was bedeutet im Zusammenhang mit den endlichen Punkten dieser Ausdruck?

2*8=16 scheint die Anzahl der Torsionspunkte zu sein

3. Wieso steht bei den Torsionspunkten Anfang immer die Null.
Das ist doch kein Punkt

Danke schon mal für die ein oder andere Antwort
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Jive Bunny
1.Woran erkennt man dass ein Punkt zu einer unendlichen Gruppe gehört?

Das kann ich dir nicht sagen. Ich weiß über elliptische Kurven nur das, was man halt so weiß.
Edit: Inzwischen weiß ich es. Nach dem Satz von Mazur können Torsionspunkte maximal die Ordnung haben. Man muss also nur für 12 bilden. Wenn dabei nie der Punkt im Unendlichen auftaucht, dann gehört zu einer unendlichen Gruppe. könnte man auslassen, denn die Ordnung ist nicht möglich.

Zitat:
2.Was bedeutet im Zusammenhang mit den endlichen Punkten dieser Ausdruck?

2*8=16 scheint die Anzahl der Torsionspunkte zu sein

Das bedeutet, dass die Torsionsgruppe isomorph zu der Gruppe ist. ist die Restklassengruppe der ganzen Zahlen mod und die mod . Das heißt, diese spezifische Torsionsgruppe hat 2 erzeugende Elemente und , welche rationale Punkte der elliptischen Kurve sind mit





Dabei steht für das neutrale Element der Gruppe und das ist bei elliptischen Kurven der Punkt im Unendlichen. Man betrachtet diese ja üblicherweise in der projektiven Ebene. Alle Elemente der Gruppe lasen sich darstellen als



mit und .

Zitat:
3. Wieso steht bei den Torsionspunkten Anfang immer die Null.
Das ist doch kein Punkt

Das soll der Punkt im Unendlichen sein.
 
 
Jive Bunny Auf diesen Beitrag antworten »

Danke smile
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Hier noch ein Link zu einer Liste von Links zu elliptischen Funktionen mit hohem Rang:

https://web.math.pmf.unizg.hr/~duje/tors/tors.html

Daneben enthält der Link eine lange Quellenliste und weitere Links. Mein voriger Link ist der letzte Link in dieser Linkliste.
Jive Bunny Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist schon erstaunlich was man so alles herausfindet

Etwas interessanter finde ich allerdings zB

Da gibt es ein endliche Gruppe mit 7 Elementen und die kann man selbst finden

Beim Rang wird es etwas schwieriger
Da ist es wohl so dass man sich die Lösungen von

betrachtet
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »