Symmetrie in gekürzten Brüchen

10.09.2022, 13:22

Robert Matzke

Symmetrie in gekürzten Brüchen

Hallo in die Runde,
ähnlich, wie bei meinen ersten Post, habe ich mich einem mathematischen Sachverhalt mit grafischen Hilfsmitteln genähert - und würde mich freuen, wenn mir jemand den mathematischen Hintergrund erläutern könnte.

Es geht um Regelmäßigkeiten beim Kürzen von Brüchen. Dafür habe ich ein Diagramm gezeichnet, das in Bild 1 erläutert werden soll: Vertikal gibt es eine Skala der Natürlichen Zahlen (logarithmisch, was in dem Fall wohl nicht wichtig ist). Darin habe ich Brüche eingezeichnet, gruppiert nach gleichen Zahlen im Nenner. Die Schwarzen Linien zeigen mit dem unteren Ende auf die Zahl im Nenner und mit dem oberen Ende auf den Zähler. Die Grauen Linien zeigen jeweils auf die Zahl mit der sich der Bruch kürzen lässt.

Im Bild 2 habe ich dieses Prinzip auf alle Brüchen von 1 bis 16 im Nenner angewendet - also die, wo der Zähler kleiner wie der Nenner ist. Gruppiert sind die Brüche mit gleichem Nenner. Wenn man darauf achtet, welche Brüche sich in den Gruppen kürzen lassen, sieht man eine Symmetrie in jeder Gruppe. (Die roten Linien heben das hervor)
- Kann man mathematisch erklären, warum das so ist? Vielleicht auch beweisen, ob diese Symmetrie auf alle natürlichen Zahlen im Nenner zutrifft?

Im Bild 3 habe ich die schwarzen Linien der Größe nach geordnet und die oberen Enden gleich ausgerichtet. (sich wiederholende Brüche sind nur einmal aufgeführt). Schaut man hier auf die rote Verbindungskurve (die zeigt, welche Brüche mit welcher Zahl gekürzt wurden), dann ist das wieder eine symmetrische Verteilung.
- Wie lässt sich das erklären?

10.09.2022, 13:54

Robert Matzke

Auf diesen Beitrag antworten »

Kleine Korrektur: Die schwarzen Linien zeigen mit dem oberen Ende auf den Nenner und dem unteren Ende auf den Zähler.

10.09.2022, 16:52

Finn_

Auf diesen Beitrag antworten »

Im zweiten Bild zeigt die jeweilige rote Linie die Funktion

$\begin{eqnarray*} f\colon \{1,\ldots,m-1\}\to\mathbb R,\quad f(n):=\mathrm{ggT}(n,m). \end{eqnarray*}$

Sie soll immer symmetrisch zur Achse $\begin{eqnarray*} m/2 \end{eqnarray*}$ sein. Symmetrie zur Achse $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ besteht allgemein, wenn $\begin{eqnarray*} f(n) = f(2a-n) \end{eqnarray*}$ gilt. Dies führt hier zur Gleichung

$\begin{eqnarray*} \mathrm{ggT}(n,m) = \mathrm{ggT}(m-n,m). \end{eqnarray*}$

Edit: Hatte unnötig den Logarithmus eingebracht; revert auf meine ursprüngliche richtige Formulierung. Die Achseneinteilung ist ja bereits logarithmisch.

10.09.2022, 18:25

Robert Matzke

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \mathrm{ggT}(n,m) = \mathrm{ggT}(m-n,m). \end{eqnarray*}$

Vielen Dank für das Aufstellen der Gleichung. (ich glaube das kann ich so weit nachvollziehen)
Wäre das zunächst eine mathematische Behauptung oder hat die Gleichung in sich eine Überprüfung, dass die Aussage richtig ist?

Kann es damit zu tun haben, dass die symmetrischen Paare der Brüche, addiert immer 1 ergeben?
Das trifft auch auf Bild 3 zu.

10.09.2022, 20:41

Finn_

Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst ist es nur eine Behauptung. Erst einmal vom Computer abklappern lassen:

code:
1: 2: 3: 4: 5:	from math import gcd N = 100; X = range(-N, N + 1) print(all(gcd(n, m) == gcd(m - n, m) for n in X for m in X))

Klappt. Dann wird es wohl stimmen. Dennoch könnte bei $\begin{eqnarray*} N=10^{1000} \end{eqnarray*}$ irgendwann ein Gegenbeispiel auftreten. Eine Untersuchung muss her.

Die Relation » $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ ist ein Teiler von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ « ist definiert durch $\begin{eqnarray*} \exists k\in\mathbb Z\colon n = kd, \end{eqnarray*}$ also dass eine ganze Zahl $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ existiert, für die $\begin{eqnarray*} n=kd \end{eqnarray*}$ gilt.

Demnach ist der größte gemeinsame Teiler definiert als

$\begin{eqnarray*} \mathrm{ggT}(n,m) := \max\{d\mid (\exists k\colon n=kd)\land (\exists l\colon m=ld)\}. \end{eqnarray*}$

Zu zeigen ist, dass dies mit

$\begin{eqnarray*} \mathrm{ggT}(m-n,m) := \max\{d\mid (\exists k\colon m-n=kd)\land (\exists l\colon m=ld)\} \end{eqnarray*}$

übereinstimmt. Die Gleichung unter der ersten Quantifizierung lässt sich äquivalent zu $\begin{eqnarray*} n=m-kd \end{eqnarray*}$ umformen. Weil laut der zweiten Bedingung ein Zeuge $\begin{eqnarray*} l \end{eqnarray*}$ für die Faktorisierung $\begin{eqnarray*} m=ld \end{eqnarray*}$ existieren muss, erhält man

$\begin{eqnarray*} n = m-kd = ld-kd = (l-k)d. \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} k':=l-k \end{eqnarray*}$ ist also ein Zeuge für $\begin{eqnarray*} \exists k'\colon n=k'd \end{eqnarray*}$ gefunden.

Rückwärts muss das auch klappen, dies verbleibt noch zu zeigen. Gegeben ist nun $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n=kd. \end{eqnarray*}$ Wir wissen, dass $\begin{eqnarray*} l \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} m=ld \end{eqnarray*}$ existiert und finden damit

$\begin{eqnarray*} n=kd\iff m-n = m-kd\iff m-n = ld-kd = (l-k)d. \end{eqnarray*}$

Also ist $\begin{eqnarray*} k':=l-k \end{eqnarray*}$ ein Zeuge für $\begin{eqnarray*} \exists k'\colon m-n=k'd. \end{eqnarray*}$

10.09.2022, 21:16

Robert Matzke

Auf diesen Beitrag antworten »

Wow, jetzt bin ich beeindruckt smile

Danke, dass Du den Beweis so gut dargelegt hast - und schön, dass die Aussage mit der Symmetrie wahr ist.

Neue Frage »

Antworten »

Symmetrie in gekürzten Brüchen

Verwandte Themen