Umkehrfunktionen

12.09.2022, 11:25

Kognitivist

Umkehrfunktionen

Meine Frage:
Umkehrfunktionen bilden
(Aufgabe 1 Meyberg & Vachenauer, Höhere Mathematik 1, S. 146)

$\begin{eqnarray*} f(x) = x^{5} + x; <br /> f(x) = tanx - x \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich habe versucht, bei diversen online-Umkehrfunktions-Rechenprogrammen die Umkehrfunktionen von u.a. Funktionen zu berechnen, die Bearbeitung wird aber mit "nicht möglich" etc. verweigert;

die Aufgaben finden sich aber in Meyberg & Vachenauer (Höhere Mathemtik 1, S. 146, Aufg. 1).

Wer kennt ein online-Rechenprogramm das diese Funktionen umkehrt?

12.09.2022, 12:06

adiutor62

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RE: Umkehrfunktionen
https://www.wolframalpha.com/input?i=invert+x%5E5%2Bx

https://www.wolframalpha.com/input?i=invert+tanx+-x

12.09.2022, 12:17

HAL 9000

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Ist die Aufgabe wirklich "Umkehrfunktion explizit darstellen" oder doch nur "Nachweis, dass eine Umkehrfunktion existiert" ? Letzteres beinhaltet ja nur den Nachweis, dass die Funktion injektiv ist.

Bei $\begin{eqnarray*} f(x)=\tan(x)-x \end{eqnarray*}$ muss man dazu aber ohnehin den Definitionsbereich einschränken, z.B. auf $\begin{eqnarray*} D = \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) \end{eqnarray*}$ , sonst kann man das mit der Umkehrfunktion gleich vergessen.

12.09.2022, 15:25

Finn_

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Im Artikel Bringsches Radikal wären weitere Lösungsformeln zu finden.

13.09.2022, 08:49

Kognitivist

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Danke erstmal.

Ich frage mich gerade, welchen Sinn es macht, so etwas als Übungsaufgaben in einem Lehrbuch anzubieten, denn zumindest tan(x) - x scheint nicht als Umkehrfunktion darstellbar zu sein, insofern waren meine Versuche über die online-Rechenprogramme die keine Lösung generieren konnten doch nicht ganz sinnlos.

Als Umkehrfunktion für x^5 + x erhielt ich von einem online-Rechenprogramm (mathway.com) den Lösungsvorschlag

( (-1)^0.25)y und somit eine einfachere Formel als die von wolfram......

13.09.2022, 08:58

HAL 9000

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Das verstehe ich dann so, dass deine Antwort auf meine Nachfrage

Zitat:

Original von HAL 9000
Ist die Aufgabe wirklich "Umkehrfunktion explizit darstellen" oder doch nur "Nachweis, dass eine Umkehrfunktion existiert" ?

ganz klar ist: Ersteres.

Versetzt mich allerdings auch in Erstaunen.

13.09.2022, 09:13

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Kognitivist
tan(x) - x scheint nicht als Umkehrfunktion darstellbar zu sein

Wenn man, wie vorgeschlagen, den Bereich einschränkt, könnte es möglich sein:

Zitat:

Original von Kognitivist
Als Umkehrfunktion für x^5 + x erhielt ich von einem online-Rechenprogramm (mathway.com) den Lösungsvorschlag( (-1)^0.25)y

Aber das ist doch nur eine Gerade (wenn auch mit komplexer Steigung).

Viele Grüße
Steffen

13.09.2022, 11:40

IfindU

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Ich war heute in der Uni-Bibliothek. Das hier ist die eigentliche Aufgabe
[attach]55932[/attach]

Zusätzlich hat man nachdem man die Ableitung der Umkehrabbildung hergeleitet hat, sogar die erste Funktion abgeleitet:
[attach]55933[/attach]

13.09.2022, 13:14

HAL 9000

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Also wie gehabt: Es wird auf die Aufgabensteller eingedroschen, obwohl man sich erstmal an die eigene Nase fassen sollte. Augenzwinkern

13.09.2022, 17:22

Finn_

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Ein aus der Verkürzung der Aufgabenstellung entspringendes XY-Problem, im inhaltlichen wie im wörtlichen Sinn.

@Kognitivist Eigentlich geht es um nicht viel mehr als die Umkehrregel der Differentialrechnung.

13.09.2022, 17:35

HAL 9000

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Man könnte übrigens - ohne all die impliziten Ableitungen der Umkehrfunktion aufwändig zu berechnen - auch so vorgehen:

Umkehrfunktion $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} f(x)=x^5+x \end{eqnarray*}$ lässt sich lokal in $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ in eine Potenzreihe $\begin{eqnarray*} g(x) = \sum_{k=0}^{\infty} a_kx^k \end{eqnarray*}$ entwickeln. Mit $\begin{eqnarray*} x = g(f(x)) = g(x^5+x) \end{eqnarray*}$ folgt damit

$\begin{eqnarray*} x = a_0 + a_1(x^5+x) + a_2(x^5+x)^2 + a_3(x^5+x)^3 + a_4(x^5+x)^4 + O(x^5) \end{eqnarray*}$

Durch Koeffizientenvergleich erkennt man unmittelbar $\begin{eqnarray*} a_0=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_1=1 \end{eqnarray*}$ , und ebenso rasch sukzessive $\begin{eqnarray*} a_2=a_3=a_4=0 \end{eqnarray*}$ , da die Potenzen $\begin{eqnarray*} x^2,x^3,x^4 \end{eqnarray*}$ vorher da nicht vorkommen - erst mit $\begin{eqnarray*} a_5 \end{eqnarray*}$ ändert sich das, aber das interessiert uns nicht mehr: Denn es geht hier nur um $\begin{eqnarray*} g^{(k)}(0) = a_k\cdot k! \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k=0,1,\ldots,4 \end{eqnarray*}$ .

13.09.2022, 22:03

Ulrich Ruhnau

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RE: Umkehrfunktionen
Über Umkehrfunktionen habe ich auch schon mal nachgedacht. Da wurden mir prima Formeln geliefert.

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Umkehrfunktionen

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