Übergangskern

13.09.2022, 19:33	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Übergangskern Hallöchen ich versuche gerade eine Definition zu begreifen; der Übergangskern. Folgende Definition ist gegeben: Seien $\begin{eqnarray} (\Omega, Pot(\Omega)) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (\Omega', Pot(\Omega')) \end{eqnarray}$ diskrete messbare Räume, die Abbildung $\begin{eqnarray} K : \Omega \times Pot(\Omega') \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray}$ heißt Übergangskern, von $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} \Omega' \end{eqnarray}$ , falls für jede feste erste Komponente $\begin{eqnarray} \omega \in\Omega \end{eqnarray}$ die Abbildung $\begin{eqnarray} K(\omega, -):Pot(\Omega')\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray}$ ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf dem messbaren Raum $\begin{eqnarray} (\Omega', Pot(\Omega')) \end{eqnarray}$ ist Dann gibt es noch ein Beispiel: Bei einem zweistufigen Zufallsexperiment wird zuerst eine Münze geworfen, fällt Wappen, wird die Münze nochmal geworfen, fällt Zahl würfelt man mit einem sechsseitigen Würfel. Der zugehörige Übergangskern wird gegeben als: $\begin{eqnarray} K: \Omega_1 \times Pot(\Omega_2) \rightarrow [0,1] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} K(W, \{\omega_2\}):=\left\{\begin{array}{ll} \frac{1}{2}, & \omega_2\in \{W,Z\} \\ 0, & \omega_2\in \{1,\cdots,6\}\end{array}\right. \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} K(Z, \{\omega_2\}):=\left\{\begin{array}{ll} o, & \omega_2\in \{W,Z\} \\ \frac{1}{6}, & \omega_2\in \{1,\cdots,6\}\end{array}\right. \end{eqnarray}$ Ich hab so grob die Idee verstanden, aber nicht ganz genau... Wär super wenn mir jemand nochmal erklären könnte, was dieses Objekt eigentlich ist und wann man es braucht Gruß, eure HiBee
14.09.2022, 10:01	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit dem Übergangskern beschreibt man Übergangswahrscheinlichkeiten, beispielsweise bei Markovketten. Dein angeführtes Beispiel mit dem Zielraum $\begin{eqnarray} \Omega_2 = \{1,2,3,4,5,6,W,Z\} \end{eqnarray}$ ist schon etwas ungewöhnlich, aber ja, auch für solche Anwendungsfälle kann man das gebrauchen. Mit deiner Quasi-Einschränkung auf abzählbare $\begin{eqnarray} \Omega,\Omega' \end{eqnarray}$ (als Sigma-Algebren die Potenzmengen zu nehmen, ist für überabzählbare Grundmengen i.d.R. zu "fett", um da noch vernünftige W-Maße drauf zu konstruieren) kann man mit einem gegebenen W-Maß $\begin{eqnarray} P_1 \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} (\Omega,\wp(\Omega)) \end{eqnarray}$ das durch $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ induzierte W-Maß $\begin{eqnarray} P_2 \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} (\Omega',\wp(\Omega')) \end{eqnarray}$ so angeben: $\begin{eqnarray} P_2(A) = \sum_{\omega\in \Omega} P_1(\{\omega\})\cdot K(\omega,A) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} A\in\wp(\Omega') \end{eqnarray}$ , Strukturell entspricht das der totalen Wahrscheinlichkeit, mit $\begin{eqnarray} K(\cdot,\cdot) \end{eqnarray}$ in der Rolle als bedingte Wahrscheinlichkeit.
14.09.2022, 11:51	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah okay. Also ist der Übergangskern einfach eine bedingte WSK? wobei wir ein zweistufiges Zufallsexperimen betrachten und die Erste Stufe festsetzen?
14.09.2022, 12:21	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
So in etwa, ja. Bei homogenen Markov-Ketten fungiert ein solcher Kern aber nicht nur für einen Übergang (etwa von Zeitpunkt $\begin{eqnarray} 1\to 2 \end{eqnarray}$ ), sondern dann für alle sukzessiven Übergänge $\begin{eqnarray} 1\to 2\to 3\to \ldots \end{eqnarray}$ wirkt derselbe Kern. In diesem Fall ist dann natürlich $\begin{eqnarray} \Omega'=\Omega \end{eqnarray}$ .
14.09.2022, 12:33	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, prima Dankeschön!

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