Gleichheit der Skalarprodukte zeigen

15.09.2022, 10:31

Stud15092022

Gleichheit der Skalarprodukte zeigen

Hallo,

wenn $\begin{eqnarray*} x_1,...,x_n \end{eqnarray*}$ linear unabhängige Vektoren des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R^m} \end{eqnarray*}$ sind und die Vektoren $\begin{eqnarray*} \bar{x_1},...,\bar{x_n} \end{eqnarray*}$ durch Anwendung des Gram-Schmidt Verfahrens aus den Vektoren $\begin{eqnarray*} x_1,...,x_n \end{eqnarray*}$ entstehen.
Warum kann man dann folgendes vereinfachen $\begin{eqnarray*} \langle\sum_{i=1}^{j}x_i, \bar{x_j} \rangle = \langle \bar{x_j}, \bar{x_j} \rangle \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} j \leq n \end{eqnarray*}$ ?

Ist es möglich das rechnerisch zu zeigen? verwirrt

17.09.2022, 14:51

HAL 9000

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Gram-Schmidt sorgt dafür, dass $\begin{eqnarray*} \bar{x}_j \end{eqnarray*}$ orthogonal zu allen Vektoren der linaren Hülle $\begin{eqnarray*} \operatorname{span}\left(x_1,\ldots,x_{j-1}\right) = \operatorname{span}\left(\bar{x}_1,\ldots,\bar{x}_{j-1}\right) \end{eqnarray*}$ steht.

Ebenfalls aus dem Verfahren folgt $\begin{eqnarray*} \bar{x}_j = x_j - \sum_{i=1}^{j-1} \alpha_i \bar{x}_i \end{eqnarray*}$ mit irgend welchen reellen Koeffizienten $\begin{eqnarray*} \alpha_i \end{eqnarray*}$ . Beides in den ersten Operanden von $\begin{eqnarray*} \left\langle \sum_{i=1}^j x_i,\bar{x}_j\right\rangle \end{eqnarray*}$ eingesetzt ist man dann rasch am Ziel.

19.09.2022, 12:32

Stud15092022

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Hallo,

wenn du sagst, Beides in den ersten Operanden einzusetzen, was meinst du dann genau? Für mich wäre der erste Operand in $\begin{eqnarray*} \left\langle \sum_{i=1}^j x_i,\bar{x}_j\right\rangle \end{eqnarray*}$ die Summe also $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^j x_i \end{eqnarray*}$ , hier kann ich aber nur etwas einsetzen, wenn ich z.B. $\begin{eqnarray*} \bar{x}_j = x_j - \sum_{i=1}^{j-1} \alpha_i \bar{x}_i \end{eqnarray*}$ umstelle zu $\begin{eqnarray*} x_j = \bar{x}_j + \sum_{i=1}^{j-1} \alpha_i \bar{x}_i \end{eqnarray*}$ , meintest du das vielleicht?

19.09.2022, 13:40

HAL 9000

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Ja genau. Und wegen

Zitat:

Original von HAL 9000
Gram-Schmidt sorgt dafür, dass $\begin{eqnarray*} \bar{x}_j \end{eqnarray*}$ orthogonal zu allen Vektoren der linaren Hülle $\begin{eqnarray*} \operatorname{span}\left(x_1,\ldots,x_{j-1}\right) = \operatorname{span}\left(\bar{x}_1,\ldots,\bar{x}_{j-1}\right) \end{eqnarray*}$ steht.

wissen wir nun mal, dass $\begin{eqnarray*} \langle x_i,\bar{x}_j\rangle = \langle \bar{x}_i,\bar{x}_j\rangle = 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} i=1,2,\ldots,j-1 \end{eqnarray*}$ gilt.

19.09.2022, 13:46

Stud15092022

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Danke für deine Antwort,

dann würdest du also so weitermachen:

$\begin{eqnarray*} \left\langle \sum_{i=1}^j x_i,\bar{x}_j\right\rangle = \left\langle \sum_{i=1}^j \left(\bar{x}_i + \sum_{k=1}^{j-1} \alpha_k \bar{x}_k\right),\bar{x}_j\right\rangle = \sum_{i=1}^j\left\langle \bar{x}_i + \sum_{k=1}^{j-1} \alpha_k \bar{x}_k,\bar{x}_j\right\rangle \end{eqnarray*}$

richtig?

19.09.2022, 13:49

HAL 9000

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Nein, ich würde nur $\begin{eqnarray*} x_j \end{eqnarray*}$ so umwandeln, die anderen nicht!!! Also keine Doppelsumme, sondern schlicht und einfach nur

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^j x_i = \left(\sum_{i=1}^{j-1} x_i\right) + \bar{x}_j + \left( \sum_{i=1}^{j-1} \alpha_i\bar{x}_i \right) \end{eqnarray*}$ .

Das reicht doch.

19.09.2022, 14:48

Stud15092022

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Ah ok ich verstehe deine Umformung. Das macht Sinn!

Dann läuft dies auf Folgendes hinaus:

$\begin{eqnarray*} \left\langle \sum_{i=1}^j x_i,\bar{x}_j\right\rangle = \left\langle \left(\sum_{i=1}^{j-1} x_i\right) + \bar{x}_j + \left( \sum_{i=1}^{j-1} \alpha_i\bar{x}_i \right),\bar{x}_j\right\rangle \end{eqnarray*}$

und da $\begin{eqnarray*} \langle \bar{x}_i , \bar{x}_j \rangle = 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i \neq j \end{eqnarray*}$ bedeutet das dann für die große Summe im Skalarprodukt, dass dann nur der $\begin{eqnarray*} \bar{x}_j \end{eqnarray*}$ Teil übrig bleibt, richtig?

Hier müsste man dann aber bestimmt noch eine Regel des Skalarprodukts anwenden: $\begin{eqnarray*} \langle a+b,c \rangle = \langle a,c \rangle + \langle b,c \rangle \end{eqnarray*}$

19.09.2022, 17:35

HAL 9000

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Zitat:

Original von Stud15092022
Hier müsste man dann aber bestimmt noch eine Regel des Skalarprodukts anwenden: $\begin{eqnarray*} \langle a+b,c \rangle = \langle a,c \rangle + \langle b,c \rangle \end{eqnarray*}$

Na klar doch. Augenzwinkern

19.09.2022, 17:57

Stud15092022

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Super, dann danke für deine Hilfe!! Freude

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